北京林业大学20102011第二学期B卷概率论与数理统计评分标准

北京林业大学20 10--2011学年第二学期考试试卷

试卷名称： 数理统计B （B 卷） 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩

参考答案及评分标准

一、填空（每题2分，共10分）

1．设,,A B C

ABC ABC ABC 。 2．()0.5()0.3P A P A B =-=，

3．某车间共有5台机床开工的概率等于 0.2048（128/625） 。

4．设X 的密度函数||

1()2

x X f x e -=，则21Y X =-的密度函数()Y f y =1||214y e +- 。

5．设随机变量X Y 和相互独立且都服从标准正态分布，则22~X Y + 2

(2)χ 。

二、（10分）已知甲、乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中有3件产品而且都是正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，（1）从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率；（2）若已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中恰有2件次品的概率。

解：（1）设i A 表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i 件次品”，（i=0,1,2,3） 设B 表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；

32112311

13333333

1233131311

66666661()()(|)04n

i i i C C C C C C C C C P B P A P B A C C C C C C C ===⋅+⋅+⋅+⋅=∑ 5分

（2）22()

(|)0.6()

P A B P A B P B =

=

10分 三、（10分）一袋中装有5张编号为1到5的卡片，从袋中同时抽取3张卡片，以X 表示所取的3张卡片中的最小号码数。(1)求X 的概率分布律; (2)求X 的方差DX 。

5分

（2） 631

1233/2101010EX =⨯+⨯+⨯=

22

2263112327/10101010

EX =⨯+⨯+⨯= 8分

22()0.45DX EX EX =-= 10分

四、（10分）已知连续型随机变量X 的分布函数为3

0, 1

()(1), 111,x F x A x x x <-⎧⎪=+-≤<⎨⎪≥1⎩

，

(1)求常数A ； (2)求概率{}0.4P X =； (3)求概率{}0.3 2.5P X ≤<；（4）求X 的密度函数。

解：（1）因为F(x)在x=1处必连续， 1

1

lim ()1lim ()2x x F x F x A +-

→→===, 2分 所以A=1/2 3分

(2)连续型随机变量在任意一个孤立点概率为0，所以，{}0.4P X ==0； 5分 （3）{}31

0.3 2.5(2.5)(0.3)1(0.31)0.48652

P X F F ≤<=-=-

+= 7分 （3）X 的密度函数2

3,11()()20, X x x f x F x ⎧-≤<⎪

'==⎨⎪⎩

其它 10分

五、（10分）X Y 和的分布律分别如下所示, 且X Y 和相互独立，

（1）求二维随机变量X Y （，）的分布律；（2）求概率{}2P X Y +=；（3）求2X Y -的分布律； （4）求X Y 和的相关系数 解：（1）

4分

（

2）{}{}{}21,13,10.180.080.26P X Y P X Y P X Y +====+==-=+= 6分 （3 8分 （4）因为X Y 和相互独立，所以，X Y 和的相关系数为0。 10分

六、（10分）设二维连续型随机变量(X , Y )的密度函数为：

⎩⎨

⎧<<<=其它

108),(y x xy

y x f .

(1)求X 和Y 各自的边缘密度函数; （2）判断X 和Y 是否独立； (3)求概率{1}P X Y +<。

解：（1）128,01,010,04(1)(),其它其它x X x x f x xydy x x ⎧⎧<<<<⎪-⎪

=⎨⎨⎪=⎩⎪⎩

⎰； 3分

038,01,010,0,4()其它其它Y y xy f d y y y x y ⎧⎧<<<<⎪⎪

=⎪⎩

=⎨⎨⎩⎪⎰ 6分

（2）；因为(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X 和Y 不独立 8分

（3）0.510{1}8x x P X Y dy xydy -+<==⎰⎰1

6

10分

七、（10分）计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立且都服从数学期望为

零、方差为

1

12

的同一种概率分布。现将1500个数相加，用中心极限定理求误差总和的绝对值超过15的概率（结果用标准正态分布函数()x Φ表示）。

解：用k V 表示第k 个误差 ，V 表示总误差，则0,k EV =1/12,k DV =(1,2,,1500),k =

由极限定理知道：∑==

20

1

k k V V 1

~(150001500)12

N ⨯⨯近似

，

，

=~(01)N 近似

， 5分

所以 {15}=1-{15}P P >≤V V 6分

1=1-22P ⎧⎡⎤=-≤≤ΦΦ=-Φ⎨⎢⎥

⎩⎣⎦（- =2-2(1.34)Φ 10分

八、（10分）设12,,

,n X X X 为来自X 的一个样本,且X 的密度函数2, 0

()0, x

x e x f x θ

θ-⎧>⎪=⎨⎪⎩

其它,

其中未知参数0θ>。(1)求参数θ的最大似然估计量； (2) 当样本均值X 的观察值1000x =时,求θ的最大似然估计值。

解：（1）似然函数 1

212

1

()()n

i

i

i x x n

n

i

n i x L e

x x e

θθ

θθ

θ

=-

--=∑=

=∏ 2分

对数似然函数 1

1

1

ln ()2ln ln n

n

i

i

i i L n x x θθθ===-+

-∑∑ 4分

求导得对数似然方程

21

l n ()21

0n

i i L n x d θθθθ=-=+=∑ 6分 解出 1ˆ2x θ=; 所以最大似然估计值 1ˆ2

x θ=. 8分 最大似然估计量 1ˆ2

X θ= 10分 (2) 当样本均值X 的观察值1000x =时，显然1ˆ10005002

θ=⨯=

九、（（10分）设某自动化包装机包装每袋重量2

~(,)X N μσ (单位:g),从中抽取容量为n=9的一组样本,其样本均值为400，样本方差为8。(1)求

μ的置信度为0.95的置信区间。(2)求2σ的置信度为0.95的置信区间

（2

2

0.0250.0250.975(8) 2.306, (8)17.534, (8) 2.18t χχ===）。

解：.，μ的置信度为95%的置信区间为

/2/2 [(([397.88,402.1741]X t n X t n αα--+-= 5分

（2）2σ置信度为95%的估计： []22

221122(1)(1)8 2.618 2.61,, 3.65,29.358(1)(1)17.53 2.18n s n s n n ααχχ--

⎡⎤--⨯⨯⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦

10分