二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法

二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
原 迦
摘 要 微分算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法, 基于算子多项式的理论, 针对二阶常系数线性微分方程, 论文给出了非线性项为指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数的微分算子特解公式, 实例表明特解公式在解题中具有可应用性、有效性和简捷性。

关键词 线性微分方程 常系数 微分算子 特解
常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次 线性方程的通解，再求一特解。

前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。

多数教材中采用的是待定系数法求其特解, 这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理, 而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。

因此, 微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法, 基于上述考虑, 文章针对非线性项的不同情况, 给出微分算子法求 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式, 具有记忆方便, 计算简单的特点。

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为
()y py qy f x '''++=， （1）
其中,p q 为常数.
为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法 见下表
表中()n R x 为待定的n 次多项式，()k R x , ()k S x 为系数待定的k 次多项式，max k =
{},n m .
引入微分算子
,d
D dx
= 222,d D dx =
则有
,dy
y Dy dx
'== 222,dy y D y dx ''==
于是式（1）可化为
()
()2D pD q y f x ++= （2）
令
()2,F D D pD q =++
称为算子多项式，则式（2）即为
()()F D y f x =，
其特解为
()
()1
,y f x F D =
这里，
()
1
F D 称为逆算子.
1．算子多项式
1.1 算子多项式的性质
引理[]
61 设算子多项式()F D 如上定义，()f x ,()g x 为可微函数，则有 (1)()()()()()()()F D f x g x F D f x F D g x αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦; (2) 设 ()()()12F D F D F D =; 则有
()()()()()()1221F D F D f x F D F D f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；
(3) 设()()()12F D F D F D =+，
则有
()()()()()()12F D f x F D f x F D f x =+.
证明略.
1.2算子多项式的公式
引理[]
72 设算子多项式()F D 如上定义，,k a 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下列结论成立
（1） ()()kx kx F D e e F k =；
（2） ()()
22sin sin F D ax axF a =-； ()()
22cos cos F D ax axF a =-； （3） ()()()()kx kx F D e v x e F D k v x =+; （4）()()()()()()F D xv x xF D v x F D v x '=+. 证明略.
1.3逆算子多项式的性质
引理[]73 设算子多项式()F D 如上定义，,R αβ∈，()f x ,()g x 为可微函数，则有 （1）
()
()()()1
F D f x f x F D =； （2）
()()()()()()
()111
f x
g x f x g x F D F D F D αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦ ； （3）设 ()()()12F D F D F D =， 则有
()()()()()()()()122111111
f x f x f x F D F D F D F D F D ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
.
2. 特解公式
利用上述性质，可以得到下面的特解公式。

2.1 非线性项是指数函数的情形
定理1 设算子多项式()F D 如上定义，k 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下述结论成立。

(1)逆算子移位原理
()()()
()11
kx kx e v x e v x F D F D k =+；
(2)若0)(≠k F ，则有()
k F e e D F kx kx
=)(1； (3)若0)(=k F ，不妨设k 为0)(=k F 的m 重根(1,2m =)，则有
()()()
11,kx kx m kx m
m m
e e x e x F D F D F k == 其中，()m
F
D 表示对D 求m 阶导数.
证明：（1）（2）由引理1易证，下面只证（3），依题意可令()()()F x x k x θ=-， 其中()0k θ≠，则有()!m
F
k m =()k θ，故可得
()()()
11
kx kx m
e e F D D k D θ=-（由逆算子移位原理：此时()1v x =） = ()
11
1kx m
e D D k θ+ ()
11
kx
m
e D k θ= ()!kx m
e x m k θ=
()
kx m
m
e x
F
k =.
例1 223x
y y y e '''+-=. 方法1 待定系数法 因为特征方程为
2230r r +-=，
得特征根为
121,3r r ==-，
由于2不是特征方程的特征根，故可设特解为
2x y be =，
代入原方程可得
225x x be e =,
所以
15
b =
， 故特解为
21
5
x y e =.
方法2 算子法 因为
()()223,250,F D D D F =+-=≠
所以
()()22211125
x
x x
y e e F D e F =
==. 例2 2.x
y y y e '''-+= 方法1 待定系数法 因为特征方程为
2210,r r -+=
得特征根为
121==r r ,
由于1为特征方程的二重根，故可设特解为
2x y bx e =, 22,x x y bxe bx e '=+
224x
x
x
y be bxe bx e ''=++,
将,,y y y '''代入原方程得
2x x be e =,
比较两边同类项系数得
1
,2
b =
故特解为
212
x y x e =
. 方法2 算子法 因为
()221,F D D D =-+
1为()10F =的二重根，此时2m =，所以
()2
22
1
12
21x x y x e x e D
D ==
''
-+. 2.2 非线性项是三角函数的情形
定理2 设算子多项式()F D 如上定义，a 为任意实数，则有下述结论成立; (1) 当()
20F a -≠时有
()()22
1sin sin ax
ax F D F a =-, ()()
22
1cos cos ax
ax F D F a =-, (2) 当()
20F a -=时有
()()()22
11sin sin ,m
m ax x ax F D F D = ()()()
22
11cos cos m
m ax x ax F D F D =， 这里，()
()m F
D 表示对D 求m 阶导数.
（3）()()1
sin Im iax e ax F D F ia ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
， ()()1
cos Re iax e ax F D F ia ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
， 这里，()0F ia ≠.
证明：（1）由引理2易证，略. （2）因为(
)2
0F a
-=，不妨设()2
2
2,F D D
a =+则有
()()22
11sin Im iax
ax e F D F D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
221Im iax e D a ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦
11Im iax e D ai D ai ⎡⎤
=⎢
⎥-+⎣⎦
1Im 2iax e D ai ai ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
1Im 12iax e ai D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Im 2iax xe ai ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
11Im sin cos 22x ax ix ax a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
1
cos 2x ax a
=-. 又
()
2
111
sin sin cos ,22x
ax x ax x ax D a F D ==-' 故
()()
22
11sin sin ax x ax F D F D ='. 类似可证第2个等式.
(3) 利用（1）（2）和复数的相关性质易证. 例3 45sin 2.y y y x '''++= 方法1 待定系数法 因为特征方程为
2450r r ++=,
而2i 不是特征方程的根，故可设特解为
cos 2sin 2,y a x b x =+ 2sin 22cos 2y a x b x '=-+, 4cos 24sin 2y a x b x ''=--,
()()cos28sin 2sin 2a b x b a x x ++-=,
比较两端同类项系数得
8,65a =-
1
65
b =
. 故特解为
()1
8cos 2sin 2.65
y x x =-
- 方法2 算子法 因为
()()2245,50,F D D D F a =++-=≠
所以
()211
sin 2sin 245
y x x F D D D =
=++ 2
1sin 2245x D =--++ 1
sin 241
x D =+ 2
41sin 2161D x D -=
-()1
4sin 2sin 265D x x =-- ()1
8cos 2sin 265
x x =-
-. 例4 cos .y y x ''+= 方法1 待定系数法 因为特征方程为
210λ+=，
得特征根
λ±=i ,
由此可知，原方程的特解可设为
()cos sin ,y x a x b x =+
()cos sin sin cos ,y a x b x x a x b x '=++-+
()()2sin cos cos sin ,y a x b x x a x b x ''=-+-+
2sin 2cos cos a x b x x -+=,
比较两端同类项系数得
20,21a b -==,
即
2
1,0=
=b a , 故原方程的一个特解为
1
sin 2
y x x =
. 方法2 算子法 因为
()21,F D D =+ ()2110,F a -=-+=
所以
()2
1
11
cos cos sin ,22
1y x
x x
x x x D D
==='
+ 2.3 非线性项是幂函数以及幂函数与其他函数乘积的情形
定理3 设算子多项式()F D 如上定义，k 为任意实数，()v x 为二阶可导函数，则 (1)
()
()()()1
;m m m P x Q D P x F D = (2)
()()()()()
()11
1.xV x x F D V x F D F D F D ⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦ 其中, ()();m m P x Q D = 表示x 的
m 次多项式. 证明： （1）因为 ()()()1;m m F D Q D R D =+ 其中 ()m R D 表示余式，两端同乘以()m P x 可得
()()()()()()()()()m m m m m m m P x F D Q D P x R D P x F D Q D P x =+=,
其中，()1
212...m m m m m R D c D c D ++++=++，最低次幂为1m D +，对()m P x 的运算为零，
所以
()
()()()1
m m m P x Q D P x F D =. (2)
()()()()()()()()()1111
xV x F D x V x F D V x F D F D F D F D ⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦
()
()()()()()()()()()
()1111
xF D V x F D V x F D F D V x F D F D F D F D ''=+-()()()()
()1
1xV x x F D V x F D F D ⎡⎤'==-⎢⎥⎣⎦.
例5 256.x
y y y xe '''-+= 解 因为
()256,F D D D =-+
所以
22
156x y xe D D =
-+()()2212526
x
e x D D =+-++ ()()2211
11x
x e x e D x D D D
==---
()()22211
12.2
x
x e x x x e D =--=-+ 例6 cos 2.y y x x '''+= 解法1 因为
()21,F D D =+
所以
21cos 21y x x D =+2
211
2cos 211x D x D D ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭
2
112cos 213x D x D ⎛⎫⎛⎫
=-
- ⎪⎪+⎝
⎭⎝⎭
2
141
cos 2sin 2331
x x D =--
+
1
4cos 2sin 2.39
x x =-+ 解法2 用算子移位原理来转而求解2.ix y y xe '''+=的实数部分即为所求.
因为
()21,F D D =+
所以
()222211Re Re 121ix ix y xe e x D D i ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥+⎣⎦++⎢⎥⎣⎦
221Re 43ix e x D iD ⎡
⎤=⎢⎥+-⎣⎦
214Re 39ix e iD x ⎡
⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
()14Re cos 2sin 239x i x i ⎡
⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ 14cos 2sin 2.39
x x x =-+ 解法3 该方程对应的其次方程为
0,y y ''+= 特征方程为
210,r +=
得特征根
r i =±，
由于 2i 不是特征方程的根，所以设特解
()()cos2sin 2,y ax b x cx d x =+++
()()2sin 22cos 2y c ax b x a cx d x '=-++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,
()()42sin 244cos 2y a cx d x c ax b x ''=--++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,
将,,y y y '''代入原方程得
()()334cos2334sin 2cos2,ax b c x cx d a x x x --+-++=
比较两端同类项的系数得
1,3a =- 0,b = 0,c = 4,9
d = 于是求得的一个特解为
14cos 2sin 2.39
y x x x =-+ 通过上例, 当二阶常系数微分方程非线性项为a x x f sin )(=或()cos f x x a =时, 可以用三种解法求出其特解, 利用微分算子法的两种解法,避免了待定系数法中复杂的求导运算和方程组的求解, 计算量比较小, 求解过程简单, 利于学生的理解和掌握.
3.结束语
从以上三个定理和例子可以看出, 微分算子法可以方便快捷的求解二阶常系数线性微分方程的特解,而待定系数法只有当非线性项满足某种特定形式时才可以写出特解的形式, 故算子法的应用范围不仅比待定系数法广泛，而且该方法具有计算简单, 记忆方便的特点, 进而深化了微分方程的理论和方法, 开阔了学生的视野, 提高了学生的学习兴趣。

因此, 这种探索与实践对教师和学生是有借鉴意义的。

参考文献:
[1] 葛正洪. 算子法求非齐次常系数线性微分方程组的特解[J ]. 北方工业大学学报,
1998, 10 (3) : 40246.
[2] 徐安农, 段复建. 全微分方程与积分因子法[J ]. 桂林电子工业学院学报,
2002, 22 (2) : 10212.
[3] 周展宏. 求常系数线性非齐次微分方程特解的微分算子级数法[J ]. 高等数学研究,
2004, 7 (3) : 28230.
[4] 陈新明. 二阶常系数线性微分方程的通解公式[J ]. 高等数学研究,
2007, 10 (3) : 15218.
[5] 赵士银, 二阶常系数线性微分方程的特解公式[J ]. 甘肃联合大学学报,
2008, 22 (1) : 36239.
[6] 叶彦谦. 常微分方程讲义[M ]. 北京: 人民教育出版社,
1982.
[7] M R 施皮格尔. 高等数学的理论与习题[M ]. 上海: 上海科学技术出版社,
1978.
致谢
本篇论文的完成,得到了指导老师、同学以及朋友们的关心和帮助.在这里,我要向他们表示衷心的感谢．
指导老师李长江从本文的选题、开题到写作、修改以及审阅定稿都给予了我悉心的指导,特别是论文的内容和格式方面, 李老师一丝不苟地校正论文中的错误，哪怕一个标点的问题也不放过，这种严谨的治学作风使我深受感染.在李老师的耐心指导下,我不仅顺利地完成了毕业论文, 而且学到了许多东西.在这里, 我要向李老师致以最诚挚的谢意．
最后我要感谢我慈爱朴实的父母.这么多年来,他们对我倾注了无限的关爱和支持,他们的宽厚博爱是我顺利完成学业的巨大动力.我将继续努力去迎接人生中新一轮的挑战！
Differential operator method for particular solution for second-order constant
coefficientlinear differential equation
Yuanjia directed by Prof. Lichangjiang
Abstract Differential operator method is an effective approach for solving inhomogeneous linear differential equation with constant coefficients. Based on the theory of operator polynomial and aiming at second order inhomogeneous linear differential equation with constant coefficients, differential operator particular solutions formula are given where the nonlinear item has several types of function such as exponential, trigonometry, power, mixture. The examples proved that the particular solution formula had the properties of application, validity and conciseness in solving problems.
Key words linear differential equation constant coefficient differential
operator particular solution。