双曲线离心率习题课

立方程yxa＝－bcbyx＝＋0b，，
得点 Qc－aca，c－bca，
联立方程yxa＝＋bcbyx＝＋0b，，
得点 P－c＋aca，c＋bca，
所以 PQ 的中点坐标为ab22c，cb2. 所以 PQ 的垂直平分线方程为 y－cb2＝－bcx－ab22c. 令 y＝0，得 x＝c1＋ba22，所以 c1＋ab22＝3c.
所以 a2＝2b2＝2c2－2a2，即 3a2＝2c2.所以 e＝ 26.故选 B [答案] B
[优美解法] 不妨设 c＝1，则直线 PQ：y＝bx＋b，两渐近线 为 y＝±bax，因此有交点 P－a＋a 1，a＋b 1，Q1－a a，1－b a， 设 PQ 的中点为 N，则点 N 的坐标为1－a2a2，1－b a2，因为 线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M，|MF2|＝|F1F2|，所 以点 M 的坐标为(3,0)，因此有 kMN＝11－－ab2aa22－－03＝－1b，
,则双曲线的离心
2
率是 5 .
直线方程为 x y a 0
B( a2 , ab ),C( a2 , ab ) ab ab ab ab
uuur AB
1
uuur BC
2
yB
1 2
(
yC
yB )
yC
3 yB
b 2a e 5.
5
题型三 离心率问题
【2】（09
浙江）过双曲线 x2 a2
y2 b2
[解析]
(1)由yy＝ ＝babcxx，＋c，
可解得 x＝c－aca，
y＝c－bca，即 Qc－aca，c－bca.由yy＝ ＝b－cxba＋x，c，
可解得
x＝－ ac ，y＝ bc ，即 c＋a c＋a
P－c＋aca，c＋bca.
设 PQ 的中点为 N，则 Nc2a－2ca2，c2b－c2a2，而 M(3c,0)， ∴kMN·bc＝－1，即4a2cb－c2 3c3＝－bc，
点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线
分别交于 P，Q 两点，线段 PQ
的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|＝|F1F2|，则 C 的
离心率是
( )．
A.2 3 3
B.
6 2
C. 2
D. 3
[教你审题] 第1步 求出直线F1B的方程； 第2步 求出点P、Q的坐标，及PQ的中点坐标； 第3步 求出PQ的垂直平分线方程，令y＝0得M点的坐标； 第4步 由|MF2|＝|F1F2|建立等式关系，从而求得双曲线离 心率． [一般解法] 依题意，知直线 F1B 的方程为 y＝bcx＋b，联
解析 设双曲线方程为ax22－yb22＝1(a>0，b>0)，不妨设一个焦 点为 F(c,0)，虚轴端点为 B(0，b)，则 kFB＝－bc.又渐近线的 斜率为±ba，所以由直线垂直关系得－bc·ba＝－1(－ba显然不符 合)，即 b2＝ac，又 c2－a2＝b2，所以 c2－a2＝ac，两边同除 以 a2，整理得 e2－e－1＝0，解得 e＝ 52＋1(负值舍去)． 答案 D
所以 3－4a2＝b2＝1－a2，所以 a2＝23，所以 e＝ 26.
(1)(2012 年高考浙江卷)如图，F1，F2 分别是双曲线 C：ax22－by22＝ 1(a，b>0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线 分别交于 P，Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M，若|MF2| ＝|F1F2|，则 C 的离心率是( )
BC
(a2
b2
,
a2
b2
),
AB
(
a
b
,
a
) b
uuur AB
1
uuur BC
2
2a 2b a2 b2
2 ab ab
b2
ab 2a2
0
b 2a e 5.
题型三 离心率问题
【3】设a＞1, 则双曲线
x2 a2
(a
y2 + 1)2
=1的离心率e的
取值范围是__(__2__, __5_)_.
【训练 3】 (2013·杭州质检)双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的
左、右焦点分别为 F1，F2，渐近线分别为 l1，l2，点 P
在第一象限内且在 l1 上，若 l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲
线的离心率是
( )．
A. 5
B．2
C. 3
D. 2
解析 如图，由 l2⊥PF1，l2∥PF2， 可得 PF1⊥PF2，则|OP|＝12|F1F2| ＝c，设点 P 的坐标为m，bam，则
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2020年3月30日星期一
【例3】►设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，
如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此
双曲线的离心率为
( )．
A. 2
B. 3
3＋1 C. 2
5＋1 D. 2
[审题视点] 设出双曲线的方程，由两直线垂直可以确 定一个关于a，b，c的关系式，结合c2－a2＝b2可解．
1 (a,b 0) 的右顶点 A 作斜率为 1的直线,
该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
B,C
.若
uuur AB
1 2
uuur BC
,则双曲线的离心
率是 5 .
直线方程为 x y a 0
B(
a2 a
b
,
ab ab
),
C
(
a2 a
b
,
ab ab
)
uuur 2a2b 2a2b uuur
ab ab
离心率为 1 3 .
| AF1 | c, | AF2 | 3c,
3c c 2a
c a
2 3 1
31
题型三 离心率问题
【2】（09
浙江）过双曲线 x2 a2
y2 b2
1(a,b 0) 的右顶点 A 作斜率为 1的直线,
该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
B,
C
.若
uuur AB
1
uuur BC
m2＋bam2＝acm＝c，解得 m＝a， 即得点 P 的坐标为(a，b)，则由 kPF2＝a－b c＝－ba，可得 2a＝c，即 e＝ac＝2，故应选 B. 答案 B
【真题探究】► (2012·浙江)如图，F1， F2 分别是双曲线 C：xa22－by22＝1(a， b>0)的左，右焦点，B 是虚轴的端
整理得 2c3＝3a2c，即 e2＝32，解得 e＝
6 2.
题型三 离心率问题
【1】如图， F1 和 F2 分别是双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0) 的
两个焦点， A 和 B 是以 O 为圆心，以 OF1 为半径的圆与该双
曲线左支的ຫໍສະໝຸດ Baidu个交点，且△ F2 AB 是等边三角形，则双曲线的