积分因子的求法及简单应用

积分因子的求法及简单应用

1. 恰当微分方程的概念及判定

1.1恰当微分方程的概念

我们可以将一阶方程

写成微分形式

f x, y dx dy 0

或把x,y 平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程

M X, y dx N x, y dy 0

这里假设M(x,y) , N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数，且具有连续的一阶

M x, y dx N x, y dy du x, y

则称方程⑴为恰当微分方程.1

1.2恰当微分方程的判定

定理1假设函数M(x,y)和N(x,y)在某矩形域内是x ，y 的连续函数且具有 连

续的一阶偏导数，则方程⑴是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域内恒有

利用定理1我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方程

2. 积分因子

如果对于方程⑴在某矩形域内 y x

，此时方程⑴就称为非恰当微分方

程。对于非恰当微分方程，如果存在某个连续可微的函数

偏导数，如果方程⑴的左端恰好是某个二元函数

u(x,y)的全微分.

u u — dx —dy x y

u(x,y)工0,使得

U x

，

y M x

，

y dx U x

，

y N x

，

y dy 0

为恰当微分方程，则称

的1个积分因子.

注可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在, 定理2函数u(x,y)是方程⑴的积分因子的充要条件是

N 丄M 丄卫上u x y y x

3. 积分因子求法举例

3.1观察法

对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子

1

⑴ ydx xdy 0有积分因子xy

1

1

1 1 1

⑵ ydx xdy 0

有积分因子7

—2

y

2 2 2 2

xy x y x y

例1 找出微分方程1 2 xy ydx 1

xy xdy 0的一个积分因子.

解将原方程各项重新组合可以写成

ydx xdy xy ydx xdy 0

1 1

由于xy 是ydx xdy 的积分因子，xy 也是ydx xdy 的积分因子，从而原方程

1

2

有积分因子xy

观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的 需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出

3.2公式法

2 2

引理1微分方程⑴存在形如：u X ，u y ，

u x y

，

u xy

，

u x y

u(x,y)为方程⑴

并且不是唯一的.

y

x

的积分因子的充要条件有:

1 M

x 一——

N

y

方程⑴存在仅与 x 有关的积分因子的充要条件:

方程⑴存在仅与 y 有关的积分因子的充要条件:

③ 方程⑴有形如u

x y 的积分因子的充要条件： M N

X y y x

N M x y 是仅与x+y 有关的函数, M N

x y y x

N M x y 是仅与x-y 有关的函数; ④ 方程⑴有形如u

xy

的积分因子的充要条件：

M N

y x

x Ny Mx

y 是仅与y 有关的函数; xy

是仅与xy 有关的函数;

2

方程⑴有形如

的积分因子的充要条件:

y x 2Nx 2My M N

y x 2Nx 2My M N 2 y 2

y x 2 方程⑴有形如 2

y

是仅与 2 y 是仅与 u / x

的积分因子的充要条件:

x 2

2

y 有关的函数, 2 y

有关的函数; x

是仅与x 有关的函数;

y X

1 1 Ny 為M -

x x

y

是仅与x有关的函数。

若方程⑴中的M(x,y) ,

N(x,y) x的关系满足以上6个充要条件

之一时，则方程⑴的积分因子u(x,y) 都可由一阶线性齐次微分方程

d ln u x, y dz

z -

求得(其中z是z的函数).z可以取x，y，x

y xy

z dz

，由此可得u z e

我们将上述引理归结为求积分因子的公式法

2 3

例2求解微分方程x y

y dx x3y2 xdy 0的积分因子.

卫卫2 N

解由于y x，N x,y y M x, y x 2xy 观察可得：N x,y y M x,y X xy是关于xy的函数

u x, y e 故原方程有积分因子：1

—d xy

xy

1

xy

3.3 分组求积分因子法

定理3若u为方程⑴的一个积分因子, 且uMdx uNdy dv 则u

也是

方程⑴的积分因子，其中v是V的任一连续可微函数.

也可以说

微分方程M1dx gdy M2dx ^dy

u1是第一部分的积分因子，即u-i M

1dx

U i N1dy du1

u2是第二部分的积分因子，即u2 M

2dx

u2N2dy

从1 u1， 2 u2中选择满足u2 2 u2的1 u1和2 u2，其中u-