18.1.1.探究勾股定理(讲课用)公开课
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
R
32+42=52 ∴ a2+b2=c2
猜想:两直角边如果是a、b，斜边为c ， a、b、 C之间有什么关系？
探究与猜想
c a
b
如何证明这个命题？
a2+b2=c2
2 2
命题1 如果直角三角形的两直角边长分 别为a, b, 斜边长为c, 那么a b c .
2
看课本P71-72页阅读与 思考，小组讨论得出一种 证明方法！看哪小组最先 研究明白一种证法！！！
现实中你是谁？
☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了____步路, 却 4 踩伤了花草。 （假设1米为2步） 4米 B C 5米 “路” 3米
A
几何画板演示
1、勾股定理：
勾股定理 : 如果直角三角形的两直角边长分
2 2 2
别为a,b,斜边长为c,那么a + b = c .
学习重点：
体验勾股定理的发现过程和运用勾股定理解决简单问题.
学习难点：
利用方格纸计算面积发现并证明勾股定理的方法.
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
2
所以，在直角三角形中已知任意两条边都 可求出第三条边。
18
勾股定理
作
业
习题18.1
1.2.3.10
《打好基础》18.1 第1课时P33-34
再见！
验证勾股定理方法1： a 毕达哥拉斯证法
b
a aa b
b
a
c
c c
c
c
b
毕达哥拉斯拼 b 出如图1和图2两个 面积相等的正方形？
b
b
图1
a
a
a 图2
1 1 2 2 ab c 2 2
。
∴ a2+b2=c2
A的面积+B的面积=C的面积 C A
B
D C
B A
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x X=12
12
x
X=15
X=13
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
如图，池塘边有两 点A、B，无法直接测 量AB之间的距离，请 B 你运用所学过的知识 设计一种方法，来测 量AB间的距离。
朱实
黄实
爽 弦 图
朱实
c
朱实
c
c2
。
赵爽弦图中的大正方形的面积可表示为：
大正方形的面积还可表示为： 4个朱实加一个黄实 。
1 2 4 ab (a - b) 2ab a2 2ab b2 a2 b2 2
∴ a2+b2=c2
验证勾股定理方法4： 美国第二十任总统茄菲尔德证法
a
要求：1、画出设计图
2、若涉及到角度，请直接标在设计图中 3、若涉及到长度，请用a、b、c等字母
A
比一比，哪位同学的方法既多又好？
如图，池塘边有两 点A、B，点C是与BA 方向成直角的AC方向 B 上一点，现在测得 CB=60m，AC= 20m ， 请你求出A、B两点间 的距离。(结果保留整 数）
c 2ab
2
a2 2ab b2 c2 2ab源自∴ a2+b2=c2
验证勾股定理方法3： 赵爽弦图
c c
a b
c c
验证勾股定理方法1： a 毕达哥拉斯证法
b
a aa b
b
a
c
c c
c
c
b
毕达哥拉斯拼 b 出如图1和图2两个 面积相等的正方形？
b
b
图1
a
a
a 图2
b
图1和图2的面积都是(a+b)2 图1的面积还可以表示为：a2 +b2 +2ab
图2的面积还可以表示为： 4×1/2ab +c2
a
C=5 b=8
c
b
c a
b
求阴影总分面积（结果带π）
S=8π
2. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上 (如图),这时梯脚与墙的距离是多少? A 2.4米 2.5米
0.7米
2 2
C
2 2
B
BC AB AC 2.5 2.4 6.25 5.76 0.49 0.7
赵 爽 线 图
c
朱实
朱实
c
a
黄实
朱实
b
朱实
c c2
。
c
赵爽弦图中的大正方形的面积可表示为： 大正方形的面积还可表示为： 4个朱实加一个黄实 。
1 2 4 ab (a - b) 2ab a2 2ab b2 a2 b2 2
∴ a2+b2=c2
美国第20任总统加菲尔德证法 验证勾股定理方法3：
。
∴ a2+b2=c2
经过证明被确认正确的命题叫做定理. 命题1 如果直角三角形的两直角边长分 勾股定理 : 如果直角三角形的两直角边长分
别为 斜边长为c, 那么a c 别为a, b,a, b, 斜边长为c, 那么a b b c . .
2
2 2 2
2 2
a2+b2=c2
注意：勾股定理的变式！
变式1：a c b ,b c a
2 2 2 2 2
2 2 2
弦 c
2
2
股 b
变式2：a c b ,b c a
a 勾
C a2 b2
所以，在直角三角形中已知任意 两条边都可求出第三条边。
1、如图，你能解决这个问题吗？
5
3 ┓ x
X=4
x = 52 - 32 = 25 - 9 = 16 = 4
b
a
b
c
c c
c
a
1 又可以表示为：——————— c2+ ab×4b 2
a
a 2ab b c 2ab
2 2
(a+b)²= a 2ab b
2
2
b2
1 c2+ ab×4 c2 2ab 2
∴ a2+b2=c2
对比两种表示方法，你得到勾股定理了吗？
验证勾股定理方法2：赵爽证法
2、勾股定理的三种证法：
验证勾股定理方法1：毕达哥拉斯证法： 验证勾股定理方法2：赵爽证法 验证勾股定理方法3：美国第20任总统加 菲尔德证法
3、勾股定理的变式！
变式1：a c b ,b c a
2 2 2 2 2
2 2 2
2
变式2：a c b ,b c a
C a2 b2
b
a
c
c
a
c
c
b
又可以表示为：——————— c2+ ab×4 2
a
b
(a+b)²= a 2ab b
2
2
a2 2ab b2 c2 2ab
1 c2+ ab×4 c2 2ab 2
∴ a2+b2=c2
对比两种表示方法，你得到勾股定理了吗？
验证勾股定理方法3： c
赵
c
a b 朱实
试试你的能力 和注意力！
a
c
b
2、如图直角三角形的三边为 a、b、c,完成下列问题：
现实中你是谁？
☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。
现实中你是谁？
☞
如图，学校有一块长方形花圃，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。
实验
在方格纸上,画 一个顶点都在格点 上的直角三角形;并 分别以这个直角三 角形的各边为一边 向三角形外作正方 形,仿照上面的方法 计算以斜边为一边 的正方形的面积.
学以致用
如图直角三角形的三边为a、 b、c,完成下列问题：
1、已知：a＝3， b＝4，求c 2、已知： c ＝10，a＝6，求b 3、已知： c ＝10，a＝6，
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
16
P 6
9 6
25 C R 49
P Q 6
C R 6 6
Q
6
6
6
用了“补”的方法 用了“割”的方法 如图，小方格的边长为1. (1)你能求出正方形P、Q和R的面积吗？ 小组讨论！看哪组最先得出方法！
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ P a 9
9+16=25
SP+SQ=SR
16 Q b
c 25
a
图中梯形的面积可表示为： 1/2（a+b)(a+b) 。
b
c
a
c
b
1 1 2 梯形的面积还可表示为: 2 ab c 2 2 1 2 (a 2ab b2 ) 1/2（a+b)(a+b) 2 1 2 2 (a b ) ab 2 1 1 2 2 ab c ab 1 c 2 2 2 2 1 2 2 1 2 (a b ) ab ab c 2 2
勾股定理到底有哪些证法呢？
让我们一起来讨论讨论吧！
Let' s go!
b a c c
b
a
c
b c a b b
a
c
c
c
c
b
b a
c c
a
a 图2 b
哪位同学能根据老师给出的这三个图 讲一讲你们组的讨论的成果？
验证勾股定理方法1：毕达哥拉斯证法：
毕达哥拉斯用这4个直角三角 形拼出了右图，你能用两种方法 a 表示大正方形的面积吗？ 大正方形的面积可以表示 为 —————————— (a+b)²
图中梯形的面积可表示为： 1/2（a+b)(a+b) 。 梯形的面积还可表示为:
b
c
a
c
b
1 2 (a 2ab b2 ) 1/2（a+b)(a+b) 2 1 2 2 (a b ) ab 2 1 1 2 2 ab c ab 1 c 2 2 2 2 1 2 2 1 2 (a b ) ab ab c 2 2
第十八章 勾股定理
北京市剑桥中学
田放
直角三角形中有哪些性质？ 在△ABC中，∠C=90°.
B
a
C
c
b
A
耐心想一想： ☞
(1)两锐角互余: ∠A + ∠B= 90°; (2) 斜边大于直角边;
(3) 30°角所对的直角边等于斜边的一半;
今天我们来探究直角三角形的另一个性质！
学习目标：
1、能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单问题. 2、探索勾股定理的得出过程，发展合情推理的能力，体 会数形结合的思想. 3、会用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学 的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力， 感受勾股定理的文化价值.
A 20 60 C
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
576
③
P
P Q C R C R
Q
用了“补”的方法 用了“割”的方法 如图，小方格的边长为1. (1)你能求出正方形R的面积吗？
实验
在方格纸上,画 一个顶点都在格点 上的直角三角形;并 分别以这个直角三 角形的各边为一边 向三角形外作正方 形,仿照上面的方法 计算以斜边为一边 的正方形的面积.
b
图1和图2的面积都是(a+b)2 图1的面积还可以表示为：a2 +b2 +2ab
图2的面积还可以表示为： 4×1/2ab +c2
c 2ab
2
a2 2ab b2 c2 2ab
∴ a2+b2=c2
毕达哥拉斯令种证法 验证勾股定理方法2：
有人利用这4个直角三角形拼a 出了右图，你能用两种方法表示 大正方形的面积吗？ 大正方形的面积可以表示 为 —————————— (a+b)² b 1
自学课本P64-66，讨论解决以下问题： 1、毕达哥拉斯通过朋友家的地板砖发现了什么？ 探究出什么？ 2、通过阅读P65页探究，会算图中的正方形的面积； 3、我国汉代数学家赵爽通过什么图形证明了毕达 哥拉斯的发现？ 4、阅读课本P71-72阅读与思考：小讨论勾股定理 的证法。
你学会了什么？
是否任意直角三角形的三边都具备这个关系呢？
32+42=52 ∴ a2+b2=c2
猜想:两直角边如果是a、b，斜边为c ， a、b、 C之间有什么关系？
探究与猜想
c a
b
如何证明这个命题？
a2+b2=c2
2 2
命题1 如果直角三角形的两直角边长分 别为a, b, 斜边长为c, 那么a b c .
2
看课本P71-72页阅读与 思考，小组讨论得出一种 证明方法！看哪小组最先 研究明白一种证法！！！
现实中你是谁？
☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了____步路, 却 4 踩伤了花草。 （假设1米为2步） 4米 B C 5米 “路” 3米
A
几何画板演示
1、勾股定理：
勾股定理 : 如果直角三角形的两直角边长分
2 2 2
别为a,b,斜边长为c,那么a + b = c .
学习重点：
体验勾股定理的发现过程和运用勾股定理解决简单问题.
学习难点：
利用方格纸计算面积发现并证明勾股定理的方法.
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
2
所以，在直角三角形中已知任意两条边都 可求出第三条边。
18
勾股定理
作
业
习题18.1
1.2.3.10
《打好基础》18.1 第1课时P33-34
再见！
验证勾股定理方法1： a 毕达哥拉斯证法
b
a aa b
b
a
c
c c
c
c
b
毕达哥拉斯拼 b 出如图1和图2两个 面积相等的正方形？
b
b
图1
a
a
a 图2
1 1 2 2 ab c 2 2
。
∴ a2+b2=c2
A的面积+B的面积=C的面积 C A
B
D C
B A
2.求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x X=12
12
x
X=15
X=13
方法小结: 可用勾股定理建立方程.
如图，池塘边有两 点A、B，无法直接测 量AB之间的距离，请 B 你运用所学过的知识 设计一种方法，来测 量AB间的距离。
朱实
黄实
爽 弦 图
朱实
c
朱实
c
c2
。
赵爽弦图中的大正方形的面积可表示为：
大正方形的面积还可表示为： 4个朱实加一个黄实 。
1 2 4 ab (a - b) 2ab a2 2ab b2 a2 b2 2
∴ a2+b2=c2
验证勾股定理方法4： 美国第二十任总统茄菲尔德证法
a
要求：1、画出设计图
2、若涉及到角度，请直接标在设计图中 3、若涉及到长度，请用a、b、c等字母
A
比一比，哪位同学的方法既多又好？
如图，池塘边有两 点A、B，点C是与BA 方向成直角的AC方向 B 上一点，现在测得 CB=60m，AC= 20m ， 请你求出A、B两点间 的距离。(结果保留整 数）
c 2ab
2
a2 2ab b2 c2 2ab源自∴ a2+b2=c2
验证勾股定理方法3： 赵爽弦图
c c
a b
c c
验证勾股定理方法1： a 毕达哥拉斯证法
b
a aa b
b
a
c
c c
c
c
b
毕达哥拉斯拼 b 出如图1和图2两个 面积相等的正方形？
b
b
图1
a
a
a 图2
b
图1和图2的面积都是(a+b)2 图1的面积还可以表示为：a2 +b2 +2ab
图2的面积还可以表示为： 4×1/2ab +c2
a
C=5 b=8
c
b
c a
b
求阴影总分面积（结果带π）
S=8π
2. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上 (如图),这时梯脚与墙的距离是多少? A 2.4米 2.5米
0.7米
2 2
C
2 2
B
BC AB AC 2.5 2.4 6.25 5.76 0.49 0.7
赵 爽 线 图
c
朱实
朱实
c
a
黄实
朱实
b
朱实
c c2
。
c
赵爽弦图中的大正方形的面积可表示为： 大正方形的面积还可表示为： 4个朱实加一个黄实 。
1 2 4 ab (a - b) 2ab a2 2ab b2 a2 b2 2
∴ a2+b2=c2
美国第20任总统加菲尔德证法 验证勾股定理方法3：
。
∴ a2+b2=c2
经过证明被确认正确的命题叫做定理. 命题1 如果直角三角形的两直角边长分 勾股定理 : 如果直角三角形的两直角边长分
别为 斜边长为c, 那么a c 别为a, b,a, b, 斜边长为c, 那么a b b c . .
2
2 2 2
2 2
a2+b2=c2
注意：勾股定理的变式！
变式1：a c b ,b c a
2 2 2 2 2
2 2 2
弦 c
2
2
股 b
变式2：a c b ,b c a
a 勾
C a2 b2
所以，在直角三角形中已知任意 两条边都可求出第三条边。
1、如图，你能解决这个问题吗？
5
3 ┓ x
X=4
x = 52 - 32 = 25 - 9 = 16 = 4
b
a
b
c
c c
c
a
1 又可以表示为：——————— c2+ ab×4b 2
a
a 2ab b c 2ab
2 2
(a+b)²= a 2ab b
2
2
b2
1 c2+ ab×4 c2 2ab 2
∴ a2+b2=c2
对比两种表示方法，你得到勾股定理了吗？
验证勾股定理方法2：赵爽证法
2、勾股定理的三种证法：
验证勾股定理方法1：毕达哥拉斯证法： 验证勾股定理方法2：赵爽证法 验证勾股定理方法3：美国第20任总统加 菲尔德证法
3、勾股定理的变式！
变式1：a c b ,b c a
2 2 2 2 2
2 2 2
2
变式2：a c b ,b c a
C a2 b2
b
a
c
c
a
c
c
b
又可以表示为：——————— c2+ ab×4 2
a
b
(a+b)²= a 2ab b
2
2
a2 2ab b2 c2 2ab
1 c2+ ab×4 c2 2ab 2
∴ a2+b2=c2
对比两种表示方法，你得到勾股定理了吗？
验证勾股定理方法3： c
赵
c
a b 朱实
试试你的能力 和注意力！
a
c
b
2、如图直角三角形的三边为 a、b、c,完成下列问题：
现实中你是谁？
☞
如图，学校有一块长方形花园，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花园内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。
现实中你是谁？
☞
如图，学校有一块长方形花圃，有极少 数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走 出了一条“路”，仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。
实验
在方格纸上,画 一个顶点都在格点 上的直角三角形;并 分别以这个直角三 角形的各边为一边 向三角形外作正方 形,仿照上面的方法 计算以斜边为一边 的正方形的面积.
学以致用
如图直角三角形的三边为a、 b、c,完成下列问题：
1、已知：a＝3， b＝4，求c 2、已知： c ＝10，a＝6，求b 3、已知： c ＝10，a＝6，
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
国家之一。早在三千多年前， 国家之一。早在三千多年前，周 国家之一。早在三千多年前， 朝数学家商高就提出，将一根直 国家之一。早在三千多年前， 尺折成一个直角，如果勾等于三， 国家之一。早在三千多年前， 股等于四，那么弦就等于五，即 国家之一。早在三千多年前， “勾三、股四、弦五”，它被记 国家之一。早在三千多年前， 载于我国古代著名的数学著作 国家之一。早在三千多年前 《周髀算经》中。
16
P 6
9 6
25 C R 49
P Q 6
C R 6 6
Q
6
6
6
用了“补”的方法 用了“割”的方法 如图，小方格的边长为1. (1)你能求出正方形P、Q和R的面积吗？ 小组讨论！看哪组最先得出方法！
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ P a 9
9+16=25
SP+SQ=SR
16 Q b
c 25
a
图中梯形的面积可表示为： 1/2（a+b)(a+b) 。
b
c
a
c
b
1 1 2 梯形的面积还可表示为: 2 ab c 2 2 1 2 (a 2ab b2 ) 1/2（a+b)(a+b) 2 1 2 2 (a b ) ab 2 1 1 2 2 ab c ab 1 c 2 2 2 2 1 2 2 1 2 (a b ) ab ab c 2 2
勾股定理到底有哪些证法呢？
让我们一起来讨论讨论吧！
Let' s go!
b a c c
b
a
c
b c a b b
a
c
c
c
c
b
b a
c c
a
a 图2 b
哪位同学能根据老师给出的这三个图 讲一讲你们组的讨论的成果？
验证勾股定理方法1：毕达哥拉斯证法：
毕达哥拉斯用这4个直角三角 形拼出了右图，你能用两种方法 a 表示大正方形的面积吗？ 大正方形的面积可以表示 为 —————————— (a+b)²
图中梯形的面积可表示为： 1/2（a+b)(a+b) 。 梯形的面积还可表示为:
b
c
a
c
b
1 2 (a 2ab b2 ) 1/2（a+b)(a+b) 2 1 2 2 (a b ) ab 2 1 1 2 2 ab c ab 1 c 2 2 2 2 1 2 2 1 2 (a b ) ab ab c 2 2
第十八章 勾股定理
北京市剑桥中学
田放
直角三角形中有哪些性质？ 在△ABC中，∠C=90°.
B
a
C
c
b
A
耐心想一想： ☞
(1)两锐角互余: ∠A + ∠B= 90°; (2) 斜边大于直角边;
(3) 30°角所对的直角边等于斜边的一半;
今天我们来探究直角三角形的另一个性质！
学习目标：
1、能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单问题. 2、探索勾股定理的得出过程，发展合情推理的能力，体 会数形结合的思想. 3、会用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学 的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力， 感受勾股定理的文化价值.
A 20 60 C
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
576
③
P
P Q C R C R
Q
用了“补”的方法 用了“割”的方法 如图，小方格的边长为1. (1)你能求出正方形R的面积吗？
实验
在方格纸上,画 一个顶点都在格点 上的直角三角形;并 分别以这个直角三 角形的各边为一边 向三角形外作正方 形,仿照上面的方法 计算以斜边为一边 的正方形的面积.
b
图1和图2的面积都是(a+b)2 图1的面积还可以表示为：a2 +b2 +2ab
图2的面积还可以表示为： 4×1/2ab +c2
c 2ab
2
a2 2ab b2 c2 2ab
∴ a2+b2=c2
毕达哥拉斯令种证法 验证勾股定理方法2：
有人利用这4个直角三角形拼a 出了右图，你能用两种方法表示 大正方形的面积吗？ 大正方形的面积可以表示 为 —————————— (a+b)² b 1
自学课本P64-66，讨论解决以下问题： 1、毕达哥拉斯通过朋友家的地板砖发现了什么？ 探究出什么？ 2、通过阅读P65页探究，会算图中的正方形的面积； 3、我国汉代数学家赵爽通过什么图形证明了毕达 哥拉斯的发现？ 4、阅读课本P71-72阅读与思考：小讨论勾股定理 的证法。
你学会了什么？
是否任意直角三角形的三边都具备这个关系呢？