高等数学下册107PPT课件

因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有
P 2u Q y x y x
D
x
y
y
C
R d x RdydzRdzdx
L
y
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x
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以上三式相加, 即得斯托克斯公式 :
R y Q z d y d z P z R x d z d x Q x P y d x d y
LPdxQ dyRdz
情形2. 当 不是标准曲面时, 可通过作辅助线把 分 成若干个标准曲面, 在每个小曲面上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相 加刚好抵消, 所以斯托克斯公式仍成立.
L3zdx5xdy2ydz dydz
x
3z
dzdx
y
5x
dxd y
z
2y
2 d y d z 3 d z d x 5 d x d y
zx 0,zy 1
x 2 y 2 1 ( 2 ) ( z x ) 3 ( z y ) 5 d x d y
2
dxdy 2
x2y21
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二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函P 数 ,Q,R在 G 内
具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑曲线L, PdxQdyRdz L 与路径无关
(2) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
O x
2y
2
2
I
x y z
y2 xy xz
dS
1 2
(y
z)dS
0
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公式其他形式
例3. 计算 L3zdx5xdy2ydz， 其中L 为圆柱
x2 y2 1与平面 zy3 的交线，从 z 轴正向看去为 逆时针方向.
解: 设Σ为平面 zy3 被 x2 y2 1所截有限部分
的上侧，则 L 的方向为的边界曲线的正向，于是
(2) 在G内存在P 某(x一,y函,z数)u, 使 d u P d x Q d y R d z
同理可证 u Q(x, y,z), u R(x, y,z)
y
z
故有
d u P d x Q d y R d z
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(2) (3) 若(2)成立, 则必有
uP, uQ , uR
x
y
z
不失一般性, 不妨取 为上侧 (如图).
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L P d x CP(x,y,f(x,y))dx
格林公式
P(x,y,f(x,y))dxdy
D xyy
PzPdxdy Dxy zy y
复合函数求导
n
P z(zy） P ydxdy
z
L
同理可得
P zdzdxP ydxdy
O x
L Q d y Q xdxdyQ zdydz
D
Q x
Py dxdy
PdxQdy
L
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为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d ydz dzdx dxd y
x
y
z
P
Q
R
或用第一类曲面积分表示:
LPdxQ dyRdz
cos cos cos
x
y
z
dS
LPdxQ dyRdz
PQR
规定 x
乘 Q 就是 Q x
, 其余类推.
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第七节
第十章
斯托克斯公式，环流量与旋度
一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径无关的条件 三、环流量与旋度
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一、 斯托克斯公式
格林公式给出了平面上曲线积分与二重积分的关系， 对于空间曲线，有类似的斯托克斯(Stokes)公式.
定理1. 设光滑曲面 的边界 L 是分段光滑曲线, 的
侧与 L 的正向符合右手法则, P,Q,R在包含 在内的一
则
u x
lim
x0
u(xx,y,z)u(x,y,z) x
lim 1(x x ,y ,z )P d x Q d y R d z
x 0 x(x ,y ,z )
(1) 对与G路内径任无一 关lx分 i段m 0 光1x滑x曲x线xP, dxP dx l x Q i0 dm p y(x R d zx,y,z)
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当 是 xOy 面上的一块平面区域 D 时, 斯托克斯公式 就变成了格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
R y Q z d y d z P z R x d z d x Q x P y d x d y
LPdxQ dyRdz
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
R y Q z d y d z P z R x d z d x Q x P y d x d y
PdxQ dyRdz(斯托克斯公式) L
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简介
证: 情形1. 是标准曲面，即曲面可分别用下面三种
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例1. 利用斯托克斯公式计算积分 Lzdxxdyydz
其中L 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整
个边界, 方向如图所示.
z 1
解: 记三角形域为 , 取上侧, 则
Lzdxxdyydz
dydz dzdx
x
y
z
x
dxd y
z
y
O
1
1y
x
Dxy
右手法则
dydzdzdxdxdy3
(3) 在G内处处有
P y Q x, Q z R y, R x P z
(4) 对G内任一分段光滑闭曲线 L , 有
PdxQ dyRdz0
L
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证: (1) (2) 设函数
u (x ,y ,z )(x ,y ,z ) P d x Q d y R d z (x 0 ,y 0 ,z 0 )
形式表示：
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y :y g ( z ,x ) ,( z ,x ) D z x
n z
:x h (y ,z ),(y ,z ) D y z 先设
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y 证明
L
O x
D
x
y
y
C
LP dx P zdzdx P ydxdy
dxdy
Dxy
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例2. L 为柱面 x2y22y与平面 y = z 的交线, 从 z
轴正向看为顺时针, 计算 I y2dxxydyxzdz. L
解: 设 为平面 z = y 上被 L 所围椭圆域 , 取下侧,
则其法线方向余弦
z
cos0,cos
1, 2
cos
1 2
Γ
Baidu Nhomakorabea
利用斯托克斯公式得 0 1 1