-分形结构衍射

U
(1) 1

c1(1)
sin1 1

sin
, c1(1)

c0 3
exp(ika sin1 )
U
( 1
2
)

c1(2)
sin1 1

sin
, c1(2)

c0 3
exp(ika sin1 )
1

0
3
,

0,
U (1)
J
UJ (1)

2 3
c0
cos(ka sin1 )

sin1 1

sin

康托尔第二代衍射场分布
4个矩孔，宽度为a/32, 位移量相对第一代为 a/3,-a/3
U
( 1
2
)

c1(2)
s in 2 2

康托尔地毯的衍射函数曲线（母代-11代）
康托尔地毯的衍射函数曲线（12代-24代）
4.6.5 谢尔宾斯基垫片的衍射场
结构因子的共性 单元因子的个性
sin
, c3(2)

c2(1) 3
e xp(
ika sin1
3
)
U
( 4
2)

c4(2)
s in 2 2

sin
, c4(2)

c2(1) 3
e
ika xp(
s
in
1
3
)
2

1
3
,

0,
§4.6 分形光学——自相似结构的衍射
83
ln 3
自相似二维衍射屏
D ln 8 1.89 ln 3
康托尔简介
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合 论的创立者。是数学史上最富有想象力，最有争议的 人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的 研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的 传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而 数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合 论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩 充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础， 集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代 哲学和逻辑。
2 3
3
c0
cos
(ka
s
in1
)
cos(
ka
sin1
3
)

cos(
ka
sin
32
1
)
s in 3 3

sin

3

2
3
§4.6 分形光学——自相似结构的衍射 康托尔第四代衍射场分布
U (4)
L
U (4) L

2 3

物理光学
国防科技大学光电学院
§4.6 分形光学——自相似结构的衍射
4.6.1 自相似分形结构 Self-similar fractal structure 介于周期性结构和无规排列之间的新型结构 康托尔集合：
§4.6 分形光学——自相似结构的衍射 4.6.1 自相似分形结构
23
康托尔条幅
D ln 6 1.63
康托尔条幅的衍射函数曲线（母代-11代）
曲线随自相似结构代数增加而演变的情景中， 可以分析出若干的演变特点，这为人们在另 一种表象中认识分形结构提供了依据，可望 在凝聚态物理学、材料科学和生命科学等领 域，为研究材料生长或研究混沌、分形等非 线性特征提供了一种光学手段。1995年正式 提出了一个新的主题词——分形光学 （Fractal optics)
sin
, c1(2)

c1(1) 3
e xp(
ika sin1
3
)
U
( 2
2
)

c2(2)
s in 2 2

sin
, c2(2)

c1(1) 3
exp(ika sin1
3
)
U
( 3
2
)

c3(2)
s in 2 2

J
K
L
M
康托尔条幅
§4.6 分形光学——自相似结构的衍射
4.6.3 康托尔条幅衍射场分布
康托尔母代衍射场分布
U0

c0

sin0 0

sin 0 0

0

a sin1
,

b sin2
, c0

Aab
F
康托尔第一代衍射场分布
宽度为a/3, 位移量为a,-a
康托一生受过磨难。他以及其集合论受到 粗暴攻击长达十年。康托虽曾一度对数学失去 兴趣，而转向哲学、文学，但始终不能放弃集 合论。康托能不顾众多数学家、哲学家甚至神 学家的反对，坚定地捍卫超穷集合论，与他的 科学家气质和性格是分不开的。正是这种坚定、 乐观的信念使康托义无返顾地走向数学家之路 并真正取得了成功。
集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概 念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多 数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科 学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变 了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集 合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的 理解。所以集合论的创立不仅对数学基础的研 究有重要意义，而且对现代数学的发展也有深 远的影响。
康托尔第二代衍射场分布
U (2)
K
U (2) K

2 3

2
c0
cos(ka
sin1
)
cos
(
ka
sin1
3
)

s in 2 2

sin

§4.6 分形光学——自相似结构的衍射
康托尔第三代衍射场分布
U (3)
L
U (3) L

4
c0
cos(ka
s
in1
)
cos
(ka
sin1
3
)

cos
(
ka
sin1
32
)
cos
ka (
sin1
33
)
sin4 4

sin

4

3
3
位移和缩放
U(N) ?
wk.baidu.com
§4.6 分形光学——自相似结构的衍射
5.6.3 康托尔条幅的衍射场分布
康托尔条幅 康托尔条幅负片为衍射屏的夫琅禾费衍射场
§4.6 分形光学——自相似结构的衍射
4.6.2 自相似分形结构的逐代繁衍——位移和缩放
U~(1,2 ) U~0 U~ j [U~ jk (U~ jkl (U~ jklm ))]
j
k
l
m

U~(1,2 ) U~0 U~J (1) U~K (2) U~L(3) U~M(4)