知识点9 复合函数的极限运算法则

1
1
1
e
1 t2 2t lim 2 t t 0 t t 0 lim
e2 .
1 1 1 x x x a a a 1 2 n 例9.6(难度系数0.6，跨知识点32 ) lim x n
，其中
nx
a1 , a2 , , an 0 .
x t 0
2 x
1 x
1
lim[(1 sin 2t cos t 1)
t 0
1 sin 2 t cos t 1 sin 2 t cos t 1 t
]
e
t 0
lim
sin 2 t cos t 1 t
e
sin 2 t cos t 1 t t t 0 lim
学科：高等数学
第一章 函数与极限
知识点9 复合函数的极限运算法则 精选习题 作者：邹群
arctan x . x
例9.1(难度系数0.2) 求 lim tan
x 0
解析：由于“tan”后的极限存在. 直接利用函数的连续性进行复合函数极限的运算即可. 解： lim tan
x 0
故选（B）.
f ( x) ln 1 sin 2x 5 ，求 lim f ( x) . 例9.4(难度系数0.4，跨知识点12) 已知 lim x x 0 x 0 x 2 e 1
解析：利用等价无穷小替换及复合函数的极限运算法则进行运算.
f ( x) ln 1 f ( x) sin 2 x x lim ( e 1) 解：因为 lim ln 1 5 0 0 ， x x 0 x 0 sin 2 x e 1
x cos x sin x 2 x3 x sin x 6 x2 1
e x 0
limຫໍສະໝຸດ Baidu
e x 0
lim
e 6.

由 lim xn 0 ，根据函数极限与子列极限的关系，得
n
1 x xn2 sin xn xn2 sin x x2 6 . lim n 1 lim lim e n n x x 0 xn xn
ln(
解：原式= lim e
x 0
arcsin x ) x 1 cos x
1 arcsin x arcsin x x 1 ln(1 ) 2 arcsin x x 1 x x x 因为 lim = lim = lim lim x 0 x 0 1 cos x x 0 x 0 3 2 1 2 1 3 x x x 2 2 2
1
解析：本题为求“ 1 ”型未定式的极限，借助第二个重要极限以及洛必达法则进行
求解.
(ln sin x ln x ) lim sin x sin x x2 x 0 x2 2x 解： lim lim e e x 0 x x 0 1 1 cos x 1 x
1
1
1
t t a t a2 an n a1t a2t ant n lim (1 1 ) t 0 n n
t t t a1 a2 an n t t t t lim( a1 ln a1 a2 ln a2 an ln an )
例9.5(难度系数0.4，跨知识点12) lim (sin cos ) x .
x
2 x
1 x
解析：本题极限类型为 1 型，先利用倒代换进行简化，再借助等价无穷小替换
进行求解.
1 x
解：令 t ， lim (sin cos ) x lim(sin 2t cos t ) t
e t 0
lim
e t 0
eln a1 ln a2 ln an a1a2 an .
例9.7(难度系数0.4，跨知识点12,32) 设数列 xn 满足 0 x1 ， xn 1 sin xn
x xn2 (n 1, 2,) ，求 lim n 1 . n xn
ln
1 2 x2 2 1 1 x2 = lim = = lim 2 2 2 x 0 x 0 3 3 x x (1 1 x ) 3
arcsin x 1 x 则原式= lim e3 . x 0 1 cos x ln
f (2 x) x （ ）. 2 ，则 lim x 0 x f (3 x)
解析：本题极限类型为“ 1 ”型，先利用倒代换进行简化，再借助第二个重要极限
以及洛必达法则进行求解.
1 x
解：令 t ，因此
t t n a x a2x anx nx a t a2 an lim( 1 ) lim( 1 )t x t 0 n n
t t t a1 a2 an n n n t
ln 1 f ( x) f ( x) 所以 lim 1 0， lim e sin 2 x e0 1 ，因此有 lim x 0 sin 2 x x 0 x 0 sin 2 x f ( x)
f ( x) f ( x) 据 ln 1 ， sin 2 x 2 x （ x 0 ），可得 sin 2 x sin 2 x
例9.3(难度系数0.2) 已知 lim
x 0
（A） 3
（B）
1 3
（C）
3 4
（D）
4 3
解析：利用复合函数的极限运算法则求解，特别是找出分子分母中的变量关 系来求解，也可以通过变量代换来求解. 解：因为 lim
x 0
f (3 x) 1 f (2 x) 2 f (2 x) 2 1 1 x .故 lim lim . 2 ，所以 lim x 0 x 0 x 0 2x x 2 f (3 x) x 3 3 2 3 3
f ( x) f ( x) ln 1 f ( x) f ( x) 1 f ( x) sin 2 x lim x lim sin 2 x lim lim 2 lim 2 5 ， x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 e 1 x x sin 2 x 2x 2 x f ( x) 则 lim 2 10 . x 0 x
arctan x arctan x tan lim tan1 . x 0 x x 4
arcsin x 1 cos x 例9.2(难度系数0.4，跨知识点12, 32 ) lim . x 0 x
1
解析：本题属于“ 1 ”型未定式的极限，用换底公式使之变为指数函数的复合 函数，然后用复合函数求导法则.在求极限中用到了等价无穷小替换与洛必达法 则.