用脉冲响应求传递函数

g(0) c1 c2 cn
g
(T
)
c1x1
c2
x2
cn xn
g
((n
1)T
)
c1x1n1
c2
xn1 2
cn
x n 1 n
5
例：有一个三阶系统，脉冲响应数据如下：
t
0
1
2
3
4
5
g(t) 0
1
2
2
4
0
试求解该系统的线性定常脉冲传递函数：
G(s) c1 c2 c3 s s1 s s2 s s3
20
如果阶次已给定，估计参数 ，则要求J1和J2最 小值。如果阶次未知，则估计参数个数就未知，也
要求J1和J2取极小值。那么，当阶次递增时，J1和J2 的变化规律如何呢？对于不同阶次，目标函数为：
J1(n)
1 N
(Y
ˆ)T
(Y
ˆ)
J2 (n)
1 N
(Y
ˆ1)T
(Y
ˆ1)
当n=1,2,…时，J1(n)和J2(n)随着n的增加而减小。 如果n0为正确的阶次，则n=n0-1时，J(n)出现最后 一次陡峭的下降，n再增大，则J(n)保持不变或者只
17
第一种方法，求得各Hankel矩阵行列式的平均值，以 及行列式比分别为：
矩阵H(2,k)行列式的平均值为0.00087872 矩阵H(3,k)行列式的平均值为-0.00029311 矩阵H(4,k)行列式的平均值为-3.214×10-7 矩阵H(5,k)行列式的平均值为-5.709×10-9
D2=2.998, D3=913.1, D4=64.2 因此，可以确定系统的阶数为3。
22
假设检验的思想
在实际工作中，前人对某些问题得到初步的结论。 这些结论可能正确、可能错误。若视这些结论为假设， 问题在于我们是否应该接受这些假设呢？
例：我们对某产品进行了一些工艺改造，或研制了新
的产品。要比较原产品和新产品在某一项指标上的差
异，这样我们面临选择是否接受假设“新产品的某一
项指标优于老产品”。我们必须作一些试验，也就是
c es2 (tT ) 2
c2es2 (t2T )
c esn (tT ) n cnesn (t2T )
g (t
nT
)
c es1 (tnT 1
)
c es2 (tnT ) 2
c esn (tnT )
n
3
将上面等式带入到下列脉冲响应的差分方程中
g(t) a1g(t T ) ang(t nT ) 0
并称此为实际推断原理，其为判断假设的根据。 在假设检验时，若一次试验中小概率事件发生了，就认 为是不合理的。小概率事件在一次试验中发生的概率
记为α，一般取 0.05 0.01 0.1
在假设检验中，称α为显著水平、检验水平。
24
假设检验使用的方法是概率论的反证法：
即先对所关心的问题提出原假设H0 ,然后运用样 本信息看在H0成立的条件下会不会发生矛盾。最后 对H0成功与否作出判断：
13
➢ 定理：若Hankel矩阵的维数l大于系统 的阶次n，则Hankel矩阵的秩等于系统的阶 次n。 ➢ 当Hankel矩阵维数l=n+1时，对于所有 的k，Hankel矩阵的行列式为零。 ➢ 当我们对于每个k值以及不同的维数l 值，计算Hankel的行列式，就可以判定模 型的阶次n。
14
实际上，由于噪声存在，当维数l=n+1时，这些行列 式的值并不恒等于零，但会突然变小。我们必须引入 某个准则，以确定显著性水平。有一种方法是对于每 一个不同的维数l值，计算Hankel矩阵的行列式的平 均值。然后对于不同的l值，比较行列式比值Dl。
bn zn an zn
g(0) g(1)z1 g(2)z2
7
进一步得到:
b0 b1z1 bn zn g(0) g(1) a1g(0) z1
g(n)
n i 1
ai
g(n
i)
zn
g(n
1)
n i 1
ai
g
(n
1
i)
z
(
n1)
g(2n)
a n
i1 i
g(2n
i)
z 2 n
12
7.1. 根据Hankel矩阵判定模型的阶次
如何根据脉冲响应的采样值来判定模型的阶次？
已知系统的脉冲响应序列g0,g1,…,gN，定义Hankel矩 阵H(l,k)为：
gk gk1
H (l, k)
gk 1
gk2
gk l1 gk l
gk l1
gk l
gk2l2
我们根据Hankel矩阵的秩来判定系统模型阶次。
8
令上式两边z-i的同次项系数相等，可以得到：
b0 1 0 0
b1
a1 1
0
b2
a2
a1
1
bn an an1 an-2
0 0 g(0)
0
0
g
(1)
0 0 g(2)
a1 1 g(n)
g(1) g(2)
g (2)
g(3)
g(n)
g(n 1)
g(n) an g(n 1)
g(n 1)
an1
g
(n
2)
g
(2n
-1)
a1
g(2n)
9
例：设采样间隔时间为0.5s，系统的脉冲响应序 列g(k)如下表所示，求系统的脉冲传递函数。
G( z 1 )
b0 b1z1 1 a1z1
bn zn an zn
t
0
k
0பைடு நூலகம்
g(k) 0
0.05 0.1 0.15 0.20 0.25 0.3
有微小的变化。
21
假设检验与参数估计区别
• 参数估计和假设检验都是统计推断的两个组成部 分，都是利用样本对总体进行某种推断，但推断 的角度不同。
• 参数估计是在总体参数未知的情况下用样本统计 量估计总体参数。
• 假设检验是先对总体参数提出一个假设，然后利 用样本信息去检验这个假设是否成立，如果成立， 就接受这个假设，否则就放弃。
19
7.2 根据残差特性判定模型的阶次 1. 阶和目标函数
考虑系统模型为：
A(z1) y(k) B(z1)u(k) (k)
用最小二乘法求出参数 的估值，则目标函数为：
J1
1 N
T
如果系统模型为：
A(z1) y(k) B(z1)u(k ) C(z1)1(k )
则目标函数为：
J2
1 N
1T 1
用脉冲响应来求解传递函数
1.连续系统的传递函数 任何一个SISO系统都可以用差分方程来表示。若系
统的输入为 (t) 函数，则输出为脉冲响应函数g(t)。
因为 (t) 函数只作用于t=0，而在其他时刻系统的输
入为0，所以系统的输出是从t=0开始的脉冲响应函数 g(t)。如果采样间隔时间为T。并设系统可以用n阶差 分方程表示，则：
令esiT x ，则可以得到： 1 a1x an xn 0
4
解方程可以得到x的n个解x1,x2,…,xn。设： es1T x1, es2T x2 , , esnT xn
s1
ln x1 T
, s2
ln x2 T
,
,
sn
ln xn T
至此可以得到s1,s2…sn，下面求解c1,c2…cn。
1
2
3
4
5
6
7.515 9.491 8.564 5.931 2.846 0.145
10
例：有一个三阶系统，脉冲响应数据如下：
k
0
1
2
3
4
5
6
g(t) 0
1
4
2
6
2
2
试用Hankel矩阵法求解该系统的脉冲传递函数。
11
第七章 系统阶次的辨识
➢ 系统的阶次，对传递函数而言，指极点个数； 对于状态空间而言，是指最小实现的状态个数； ➢ 本章讨论单输入单输出系统的阶次辨识问题， 主要介绍F检验法和AIC准则这两种基本的阶次辨 识方法； ➢ 阶次辨识和参数估计两者是互相依赖的，参 数估计时需要已知阶次，而辨识阶次时又要利用 参数估计值，两者密不可分。
s s1 s s2
s sn
等式中s1,s2…,sn和c1,c2,..,cn为待求的2n个未知数。
对上式求Laplace反变换，得到脉冲响应函数：
g (t) c1es1t c2es2t cnesnt
g (t g (t
T) 2T
c es1 (tT ) 1
) c1es1(t2T )
H (l, k) Dl H (l 1, k)
Dl值为最大时的维数l值，就是系统模型的阶次。
15
另一种方法是根据脉冲响应序列，求出它们的自相关 序列的估计值，以及自相关系数值。
Rg ( )
N
1
N
1 k0
gk gk
,
=0,1,2...
g
(
)
Rg Rg
( )
(0)
以自相关系数 g ( ) 作为Hankel矩阵的元素，再按新
某日开工后为检验包装机是否正常。随机地抽取它所 包装的糖9袋，称得净重为(公斤)：(=0.05)
0.497;0.506;0.518;0.524;0.498;0.511; 0.520;0.515;0.512 问机器是否正常?
解：先提出假设 H0 : 0.5 H1 : 0.5
那么，如何判断原假设H0是否成立呢？即看在μ=0.5 的条件下会不会产生不合理现象。
的Hankel矩阵来确定矩阵的秩。同样，由于噪声的影
响，所得的行列式也不恒等于零。
16
例：已知系统的脉冲响应序列g(k)为 {1.0,0.80,0.65,0.54,0.46,0.39,0.35,0.31,0.28,0.26,0.24,0.2
3,0.22,0.21,0.20,0.19,0.19,0.18,0.18,0.18,0.17,0.17,0.17 ,0.16,0.16,0.15,0.15,0.15,0.15,0.14,0.14,0.14,0.13,0.13, 0.13,0.13,0.12,0.12,0.12,0.12,0.12,0.11,0.11,0.11,0.11,0. 10,0.10,0.10} 试判定该模型的阶次。
g(t0 ) a1g(t0 T ) an g(t0 nT ) 0
等式中a1,a2…,an为待定的n个常数。
1
根据上式，将时间依次延迟T，可以得到：
a1g(t0 T ) ang(t0 nT ) g(t0 ) a1g(t0 2T ) ang(t0 (n 1)T ) g(t0 T ) a1g(t0 3T ) ang(t0 (n 2)T ) g(t0 2T )
抽定。样。根据得到的样本观x1,察x2值,, xn
来作出决
假设检验问题就是根据样本的信息检验关于总体的
某个假设是否正确。
23
假设检验的方法
先介绍一条所谓实际推断原理(小概率原理)。通过大 量实践，人们对小概率事件(即在一次试验中发生的 概率很小的事情)总结出一条原理：
小概率事件在一次试验中几乎不会发生
6
2. 离散系统的脉冲传递函数 设系统脉冲传递函数形式为：
G( z 1 )
b0 b1z1 1 a1z1
bn zn an zn
根据脉冲传递函数的定义可以得到：
G(z1) g(0) g(1)z1 g(2)z2 等式中 g(i) g(iT ),i 0,1, 2... 。因而有
b0 b1z1 1 a1z1
得到： c1es1t 1 a1es1T an (es1T )n c2es2t 1 a1es2T an (es2T )n cnesnt 1 a1esnT an (esnT )n 0
要使上式为成立，应令方括号内的值为0，即：
1 a1esiT a2esi 2T an (esiT )n 0, i 1, 2 n
a1g(t0 nT ) a2g(t0 (n 1)T ) ang(t0 2nT ) g(t0 (n 1)T )
联立求解上述n个方程，就可以得到差分方程的n个 系数a1,a2…,an。
2
任何一个线性定常系统，如果其传递函数G(s)的
特征根为s1s2…sn，则其传递函数可以表示为：
G(s) c1 c2 cn
若小概率事件发生了，则否定H0； 若不发生，则接受H0。
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验 中居然发生，我们就以很大的把握否定原假设。
25
例：某车间用一台包装机包装葡萄糖。包得的袋装 糖重是一个随机变量X，且 X ~ N(, 2)。当机器正常 时，其均值为μ=0.5公斤，标准差σ=0.015公斤。
18
第二种方法，求出脉冲响应序列的相关系数为：
0 1, 1 0.88052126, 2 0.79025506, 3 0.72231277, 4 0.67060564, 5 0.62999127, 6 0.60107303, 7 0.57697552, ...
以 i 为元素构造Hankel矩阵并计算Hankel矩阵的行列 式，得到： detH(2,0)=0.014937 detH(3,0)=-1.282×10-5 detH(4,0)=-5.8×10-8 由行列式的值可知，系统模型的阶次可以定为3阶， 也可以定义为2阶。因为detH(3,0)已经很小了。