同济大学高等数学第六版下册第十一章无穷级数PPT课件

一、问题的提出
1. 计算圆的面积
R 正六边形的面积 a 1 正十二边形的面积 a1 a2
正32n形的面积 a 1 a 2 a n
即 A a 1 a 2 a n
2 . 1 3 1 3 0 1 3 013 00 0 1 0 3 n 0
二、级数的概念
1. 级数的定义:
一般项
unu1u2u3 un
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明 ( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 u 5 )
1 s2, 2 s5, 3 s9,
,msn,
则 lm im m ln is m n s.
注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.
a aq n a aqn , 1 q 1q 1q
当q1时,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
limqn0 n
ln im sn
a 1q
收敛
当q1时,
limqn
n
ln i m sn
发散
如果 q1时
当q1时, snn a 发散 当q1时,级数 a a 变 a a 为
ln im sn不存在
发散
综上 n 0aqn当 当qq11时 时,,收 发敛 散
n1
n1
写成s u1 u2 u3
如 果 sn 没 有 极 限 , 则 称 无 穷 级 数 u n发 散 .
n 1
即 常数项级数收敛(发散)nl im sn存在(不存在)
余项 rnssnu n 1u n 2 un i
i1
即 s n s 误 差 为 r n (ln im rn0)
n1
n1
则级数 (unvn)收敛,其和为s.
n1
结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
性质3 若级数 un收敛,则 un也收敛
n1
nk1
(k1).且其逆亦真.
证明 u k 1 u k 2 u k n n u k 1 u k 2 u k n
snksk,
则 ln im n ln i s m n k ln i s m k
④掌握绝对收敛和条件收敛概念
⑤掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛 区间，会求简单的幂级数的和函数
⑥熟记五个基本初等函数的 Taylor 级数展开式及 其收敛半径
⑦掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形 式的Fourier 系数
⑧掌握奇、偶函数的 Fourier 级数的特点及如何 将函数展开成正弦级数或余弦级数
1(1 1 ), 2 2n1
ln i s m nln i 1 2 m (12n 1 1)
1, 2
级数,收 和敛 为 1. 2
三、基本性质
性 质 1如 果 级 数u n收 敛 , 则 kn亦 u收 敛 .
n 1
n 1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质2 设两收敛级数s un, vn,
重点
级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛 域，函数的幂级数展开式，函数的Fourier 展开式；
难点
常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法 和间接法， Fourier 展开，级数求和；
基本要求
①掌握级数敛散性概念和性质 ②掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法
③掌握交错级数的Leibniz审敛法
无穷级数收敛性举例：Koch雪花.
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对 称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此 类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到 了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．
观察雪花分形过程
设三角形
周长为 P1 3 ,
面积为
A1
3; 4
第一次分叉：
周长为P2
b k 的部分和记为 k
n2,3,
于是有
ln im Pn
1
lim
n
An
A1
(1
1
3
4)
A1(153)253.
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqnaaqaq2aqn(a0)
n0
的收敛性.
解 如果 q1时
s n a a a q 2 q a n 1 q
n1
级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
snu1u2 un ui
i1
部分和数列
s1u1, s2u1u2, s3u 1u 2u 3, , sn u 1 u 2 u n ,
2. 级数的收敛与发散:
当n无限增大时,如果级数un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
s
则称无穷级数
un 收敛,这时极限s 叫做级数 un 的和.并
无穷级数
从18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的 一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同 时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性 质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域 有着广泛的应用
本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函 数项级数——幂级数和三角级数，主要围绕三个问 题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知 函数表示成级数问题，③级数求和问题。
例(1 如 1 ) (1 1 ) 收敛
1 1 1 1 发散
事实上，对级数 u n 任意加括号
(u1 up1)(u n p 1 11 up2)
(upk11 upk)
若记
b k u p k 1 1 u p k
则加括号后级数成为 b k
k 1
记 u n 的部分和为 s n
例2 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35 (2n1)(2n1)
解
un(2n1)1(2n1)
1( 1 1 ), 22n1 2n1
sn 1 1 3 3 1 5 (2 n 1 )1 (2 n 1 )
1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 (11) 2 32 35 2 2 n 12 n 1
4 3
P1,
面积为A2
A1
3
1 9
A1;
依次类推
第 n次分叉： 周长为 Pn(4 3)n1P1 n1,2, 面积为 A nA n13{4n2[1 9 ()n1A 1]}
A 1 3 1 9 A 1 3 4 ( 1 9 ) 2 A 1 3 4 n 2 ( 1 9 ) n 1 A 1 A 1 { 1 [1 3 1 3 (9 4 ) 1 3 (9 4 )2 1 3 (9 4 )n 2 ]}