推理与证明优秀课件
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观察、比较 ―→ 类似或相同 ―→ 猜测新的结论
3．演绎推理 (1)演绎推理的四种推理规则 ①假言推理：用符号表示这种推理规则就是，如果 p⇒q，p 真， 则 q 真，假言推理的本质是通过验证结论的充分条件为真，判断结 论为真． ②三段论推理：用符号表示这种推理规则就是，如果 b⇒c，a ⇒b，则 a⇒c. ③关系推理：用符号表示，如：“如果 a≥b，b≥c，则 a≥c”． ④完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做 完全归纳推理．
推理与证明
教材面面观 基础知识常梳理 自主探究强记忆
1．合情推理包括归纳推理和类比推理． (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般 结论的推理，称为归纳推理．它是一种由________到________，由 ________到________的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推 理，它是一种由________到________的推理．
答案 由因导果 要证明的结论
5．反证法：一般地，假设________不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样 的证明方法叫做反证法，反证法是________的一种方法．
答案 原命题 间接证明
考点串串讲 考点归纳与解析 思维拓展与迁移
Байду номын сангаас
1．推理 (1)定义 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布， 燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨 了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语： “八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”，等等，这样根据一个
实验、观察 ―→ 归纳、类比 ―→ 猜测一般性结论
(3)类比推理 ①类比推理的特点 (ⅰ)类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究中的 事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果． (ⅱ)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性． (ⅲ)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功 能． ②类比推理的一般步骤 (ⅰ)找出两类事物之间的相似性或一致性． (ⅱ)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确 的命题． ③类比推理的思维过程大致如下
(2)三段论推理的集合解释 若集合 M 中的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子集，那 么 S 中所有元素也都具有性质 P(如图所示) 由此可见，应用三段论解决问题，首先应该明确什么是大前提 和小前提．
注意：在运用三段论推理时，对于复杂的论证，总是采用一连 串的三段论，把前一个三段论作为下一个三段论的前提．
答案 (1)部分 整体 个别 一般 (2)特殊 特殊
2．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结 论，我们称这种推理为演绎推理．它是一种由________到________ 的推理．
答案 一般 特殊
3．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ________(M 是 P)——已知的一般原理； ________(S 是 M)——所研究的特殊情况； ________(S 是 P)——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
注：推理也可以看作是连接词将前提和结论连结起来的一个逻 辑 连 接 ，常 用 的连 接有 “ 因为 ……所 以 ……”， “ 如果 …… 那 么……”，“根据……可知……”等等形式．
(3)分类：推理一般可分为合情推理和演绎推理．
2．合情推理 (1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再 进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．其包括归纳推理和类比推 理． 合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新 结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数 学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向． 合情推理的过程概括为：
从具体问题出发 ―→ 观察、分析、比较、联想 ―→
归纳、类比 ―→ 提出猜想
(2)归纳推理 ①归纳推理的特点 (ⅰ)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是 尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围． (ⅱ)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还 需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具． (ⅲ)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳法得到的猜 想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
②归纳推理的一般步骤 (ⅰ)通过观察个别情况发现某些相同性质． (ⅱ)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．(猜 想) 若归纳的个别情况越多，越具有代表性，则推广的一般性命题 就越可靠． ③归纳推理的分类 (ⅰ)完全归纳推理：由某类事物的全部对象推出结论． (ⅱ)不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论． ④由完全归纳推理得到的结论是正确的．由不完全归纳推理得 到的结论，其正确性有待于证明． ⑤归纳推理的思维过程大致如下
或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．推 理是人们思维活动的过程．
(2)结构 从结构上来说推理一般分为两个部分：一部分是已知的事实(或 者假设)，这叫做推理的前提；另一部分是由已知推出的新的判断叫 做结论，推理的一般形式为：前提⇒结论．例如：推理 a＞b，b＞c， 则 a＞c.这里 a＞b，b＞c 叫做推理的前提；a＞c 是推理的结论．
答案 大前提 小前提 结论
4．综合法与分析法 综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法．综合法是“________”，即由已知条件出 发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺 推证法或由因导果法． 分析法：一般地，从________出发，逐步寻求使它成立的充分 条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
3．演绎推理 (1)演绎推理的四种推理规则 ①假言推理：用符号表示这种推理规则就是，如果 p⇒q，p 真， 则 q 真，假言推理的本质是通过验证结论的充分条件为真，判断结 论为真． ②三段论推理：用符号表示这种推理规则就是，如果 b⇒c，a ⇒b，则 a⇒c. ③关系推理：用符号表示，如：“如果 a≥b，b≥c，则 a≥c”． ④完全归纳推理：把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做 完全归纳推理．
推理与证明
教材面面观 基础知识常梳理 自主探究强记忆
1．合情推理包括归纳推理和类比推理． (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般 结论的推理，称为归纳推理．它是一种由________到________，由 ________到________的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推 理，它是一种由________到________的推理．
答案 由因导果 要证明的结论
5．反证法：一般地，假设________不成立，经过正确的推理， 最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样 的证明方法叫做反证法，反证法是________的一种方法．
答案 原命题 间接证明
考点串串讲 考点归纳与解析 思维拓展与迁移
Байду номын сангаас
1．推理 (1)定义 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布， 燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨 了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语： “八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”，等等，这样根据一个
实验、观察 ―→ 归纳、类比 ―→ 猜测一般性结论
(3)类比推理 ①类比推理的特点 (ⅰ)类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究中的 事物的属性，它以旧有认识作基础，类比出新的结果． (ⅱ)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性． (ⅲ)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功 能． ②类比推理的一般步骤 (ⅰ)找出两类事物之间的相似性或一致性． (ⅱ)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确 的命题． ③类比推理的思维过程大致如下
(2)三段论推理的集合解释 若集合 M 中的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子集，那 么 S 中所有元素也都具有性质 P(如图所示) 由此可见，应用三段论解决问题，首先应该明确什么是大前提 和小前提．
注意：在运用三段论推理时，对于复杂的论证，总是采用一连 串的三段论，把前一个三段论作为下一个三段论的前提．
答案 (1)部分 整体 个别 一般 (2)特殊 特殊
2．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结 论，我们称这种推理为演绎推理．它是一种由________到________ 的推理．
答案 一般 特殊
3．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ________(M 是 P)——已知的一般原理； ________(S 是 M)——所研究的特殊情况； ________(S 是 P)——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
注：推理也可以看作是连接词将前提和结论连结起来的一个逻 辑 连 接 ，常 用 的连 接有 “ 因为 ……所 以 ……”， “ 如果 …… 那 么……”，“根据……可知……”等等形式．
(3)分类：推理一般可分为合情推理和演绎推理．
2．合情推理 (1)定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再 进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．其包括归纳推理和类比推 理． 合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新 结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数 学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向． 合情推理的过程概括为：
从具体问题出发 ―→ 观察、分析、比较、联想 ―→
归纳、类比 ―→ 提出猜想
(2)归纳推理 ①归纳推理的特点 (ⅰ)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是 尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围． (ⅱ)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还 需经过逻辑证明和实践检验．因此，它不能作为数学证明的工具． (ⅲ)归纳推理是一种具有创造性的推理．通过归纳法得到的猜 想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
②归纳推理的一般步骤 (ⅰ)通过观察个别情况发现某些相同性质． (ⅱ)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．(猜 想) 若归纳的个别情况越多，越具有代表性，则推广的一般性命题 就越可靠． ③归纳推理的分类 (ⅰ)完全归纳推理：由某类事物的全部对象推出结论． (ⅱ)不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论． ④由完全归纳推理得到的结论是正确的．由不完全归纳推理得 到的结论，其正确性有待于证明． ⑤归纳推理的思维过程大致如下
或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．推 理是人们思维活动的过程．
(2)结构 从结构上来说推理一般分为两个部分：一部分是已知的事实(或 者假设)，这叫做推理的前提；另一部分是由已知推出的新的判断叫 做结论，推理的一般形式为：前提⇒结论．例如：推理 a＞b，b＞c， 则 a＞c.这里 a＞b，b＞c 叫做推理的前提；a＞c 是推理的结论．
答案 大前提 小前提 结论
4．综合法与分析法 综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理 等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这 种证明方法叫做综合法．综合法是“________”，即由已知条件出 发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺 推证法或由因导果法． 分析法：一般地，从________出发，逐步寻求使它成立的充分 条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．