幂级数经典课件

时幂级数发散；
(2)如果R=+∞， 则幂级数在(-∞，+∞)内收敛；
(3)如果R=0， 则幂级数仅在x=0处收敛。

由定理知：幂级数在 an xn 的收敛域是以坐标原点为中点， n0
长度为2R的区间(特殊情况可能是整个数轴，也可能只是坐标
原点)。它在(-R，R)内收敛；在(-R，R)外发散；在x=±R处，

lim
n
an1 x n 1 an xn
lim an1 n an
| x || x | lim an1 n an
若 lim an1 存在， 则
n an (1)当ρ|x|<1，即 | x | 1 ( 0时) ，级数(8-4)收敛；

(2)当ρ|x|>1，即 | x | 1 ( 0)时，级数(8-4)发散；
这个函数S(x)就称为函数项级数的和函数。
将函数项级数的前n项和记为Sn(x)，且称之为函数项级 数的部分和函数， 即
Sn(x) = u1(x) + u2 (x) + ···+ un (x)
那么在函数项级数的收敛域内有
lim
n
Sn
(
x)

S(x)
二、幂级数及其收敛性
一般地，

形如 an xn = a0 + a1x + a2x2 + ···+ anxn + ··· (8-4) n0
n
lim 1 1 n (1 1 )n n
100 e

n
即 级数 (nx)n1仅在x=0处收敛。
n1
例3 求幂级数 x x2 x3 x4 (1)n xn 的收敛区间。
234
n
解:
收敛半径:
R lim
an
lim n 1 1
n an1 n n
(3)当ρ= 0，即ρ|x|=0时，级数(8-4)对任何x值收敛。
因此，令
1

R
，即 R lim an n an1
，就得到下面定理:
定理

设幂级数 an xn是不缺项的，且
n0
lim an n an1
R,
则有：(1)如果0<R<+∞ , 则当|x|<R时幂级数收敛，而当|x|>R
对于幂级数(8-4)，它的每一项在区间(-∞,+∞)内都有定义，
因此对于每个给定的实数值x0，将其代入(8-4)式，就得到一个
数项级数:

an x0n a0 a1x0 a2 x02 an x0n
(8 6)
n0
如果(8-6)收敛，则称点x0为幂级数(8-4)的收敛点，或者说幂级
u1(x) + u2 (x)+ ···+ un (x)+ ···

称为函数项级数， 记为 un (x) 。 n 1
(8-3)
在函数项级数(8-3)中,若令x取定义域中某一确定值x0，
则得到一个数项级数
u1(x0) + u2 (x0)+ ···+ un (x0)+ ··· 若该数项级数收敛， 则称点x0为函数项级数(8-3)的一个 收敛点； 反之，则称点x0为函数项级数(8-3)的发散点。 收敛点的全体构成的集合，称为函数项级数的收敛域。

和
an(x
n0
a)n
=
a0
+
a1(x-a)
+
a2(x-a)2
Baidu Nhomakorabea
+
···+
an(x-a)n
+
···
(8-5)
的级数称为幂级数。其中an (n=0,1,2, ···) 和a都是常数， an称为幂级数的系数。
对于级数(8-5)，只要令 x-a= t, 就可化为(8-4)的形式,
因此下面我们主要讨论级数(8-4)。
n an1 n 1
n
(n 1)!
即级数


xn
收敛半径
R=+∞，
幂级数在(-∞,+∞)内收敛。
n0 n!
例2 求幂级数1+ 2x +(3x)2 + ···+(nx) n-1 + ···的收敛半径。
解: 收敛半径:
R lim an n an1

lim
n
nn1 (n 1)
若x0是收敛域内的一个值，则必有一个和S(x0)与之对应，
即
S(x0) = u1(x0) + u2 (x0) + ···+ un (x0) + ···
当x0在收敛域内变化时，上述级数的和S(x0)也随之变化， 就得到一个定义在收敛域上的函数S(x)，
即
S(x) = u1(x) + u2 (x) + ···+ un (x) + ···

可能收敛也可能发散(此时ρ=1)， 通常称R为幂级数 an xn 的 n0
收敛半径，区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间。
例1 求幂级数 1 x x2 xn 的收敛半径。
2!
n!
解： 收敛半径：
1
R lim an lim n! lim (n 1)
数(8-4)在点x0处收敛；如果(8-6)发散，则称点x0为幂级数(8-4)
的发散点，或者说幂级数(8-4)在点x0处发散。所有收敛点的集 合称为幂级数的收敛域，所有发散点的集合称为幂级数的发散域。

例如幂级数 axn，当x在区间(-1,1)内取任一个值x0时，
n0
级数

axn
n0
都收敛，其和为 1
1 q
由于上式对区间(-1，1)内的每一个q值都成立，因此我
们也可以把q看作(-1，1)内变化的一个自变量，用x代替
它，即可得到:
a a ax ax2 axn 1 x
它的每一项都是以x为自变量的函数。
(1 x 1)
一般地，由定义在同一区间内的函数序列构成的无穷级数：
a
x
。
所以区间(-1,1)就是该幂级
数的收敛域。而(-∞,-1)及(1,+∞)就是该幂级数的发散域。

设幂级数 axn中an≠0 ( n=0,1,2, …)， 则称幂级数为不 n0
缺项， 否则称为缺项幂级数。
在级数(8-4)中，设 un | anxn | ， 用比值判别法，得
lim un1 n un
主要内容：
1. 函数项级数。 2. 幂级数及其收敛性。 3. 幂级数的运算。 4. 函数展开为幂级数。
一、函数项级数
在前面， 我们曾讨论过公比为q的无穷等比级数：

aqn1 (a 0,且与n无关的常数 )
n1
当|q|<1时，级数是收敛的， 其和为 a ， 1 q
即
a a aq aq2 aqn (1 q 1)