杨辉三角应用

杨辉三角应用（回家的路有多少条）

小明生活的城市规划得非常规则，街区都是矩形，他的家和学校相隔了好几个街道。

有一天，小明在回家的路上正在为走哪条路发愁。忽然，他想起这段时间数学课正在学“排列组合”这一章，“我何不用刚学到的知识来计算一下我回家可有多少条路供选择？”于是，他边走边思考这个问题，他发现这个问题还真不简单，需要静下心来好好想一想。

同学们，你们会算吗？

小明这样想：“我肯定不会走回头路的，所以我只能向右和向上走，一共应该向右走5条街道，向上走5条街道。”

小明想起老师经常告诉他：“在遇到困难的时候，要学会将问题转化！”。于是，小明用a表示横向的一条街道，用b表示纵向的一条街道，那么“abbaaabba”就表示如图的一条路线。这样，小明就可以用a,b的字符串来表示每一条路线了，而路线的条数就等于a,b 的字符串个数。

问题就转化成为求“5个a和5个b组成多少个不同的字符串？”。这一问题的解答就很简单了：将10个位置种选出5个位置用来放置a，有C 10 5 种方法；余下的位置自然就用来放置。所以，一共有C 10 5=252个不同的字符串。

小明终于明白了，从家到学校竟然有252条路可以供选择，怪不得平时很少走重复的路线。

小明对自己的解法很是得意！他一到学校，就把这个题目告诉了好朋友小刚，却不告诉小刚答案，他想考考小刚。

小刚也是一个爱思考的同学，但是一时还真没做上来。不过，小刚没有气馁，他觉得这个问题中由于街道太多，导致问题比较复杂，所以他决定将问题简化，先做几个数学实验，然后从中找规律，最后才解决这个问题。

小刚先假设小明家和学校只相隔一个街区，图中顶点处的数字“1”表示从这个顶点到达小明家只有一条路线。

小刚再假设小明家和学校只相隔四个街区，图中顶点处的数字表示从这个顶点到达学校的路线条数。

这时小刚发现了规律：若顶点位于最上面或最左面，则它到H的路线只有1条；若顶点位于其他位置，则它到H的路线条数等于它上面和左面的顶点到H的路线条数之和！小刚根据这个规律一口气将所有顶点的路线条数都写了出来，发现从学校S到家H的路线正好是252条。

小明对小刚的解法不得不佩服，同时对小刚得到的这个图形很是感兴趣，不由得多研究了一下，突然他叫了起来：“杨辉三角！”

杨辉三角是由二项展开式的系数所排成的三角形，又称贾宪三角形。

杨辉三角形是中国北宋数学家贾宪(约1050年)首先发现的。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》(1261年)一书中对此曾有记载。法国数学家B.帕斯卡在1654年也发现这个三角，故西方称之为帕斯卡三角形。按最早发现的时间，实应称贾宪三角形。

原来小明沿如图所示的对角线将各顶点的数字写出来，就变成了一个杨辉三角！当然，由于街道是有限的，所以写出的杨辉三角也仅仅是一部分。

这两个好朋友的话题自然就转到了杨辉三角上。

小明首先说：它的第一列斜向的数是1、1、1、1、…，这是一个公差为0的等差数列；它的第二列斜向的数是1、2、3、4、…，这是正整数组成的公差为1的等差数列；它的第三列斜向的数是1、3、6、10、15、…，这是…不是等差数列了？

小明感到有点不对，照直觉，每一列斜向的数组成的数列应该有共同的特征才对，那为什么前两个数列都是等差数列，而第三个是数列就不是了呢？

小明忽然发现，第三个数列中每相邻两项之间的差为2、3、4、5、…，原来它每两项的差是等差数列！小明听老师说过，这样的数列叫做二阶等差数列，那么第二个数列就是一阶等差数列，也就是通常的等差数列了。

第三个数列： 1 3 6 10 15 …

每两项之间的差：2 3 4 5 …

有了这个经验，小明就猜想：第四个数列一定是三阶等差数列！经过验证，果然是这样。第四个数列： 1 4 10 20 35 …

每两项之间的差：3 6 10 15 …

每两个差之间的差： 3 4 5 …

原来杨辉三角中第列斜向的数组成的数列是第阶等差数列。小明不禁对自己的发明有点沾沾自喜了。

小刚这时也有新的发现：如图改变倾斜程度，将每条斜线上的数加起来就的得到1、1、2、3、5、8、13、…，对了，这就是有名的斐波那契数列！

他们俩急忙将伟大的发现告诉了数学陈老师，陈老师很高兴地表扬了他们，并且告诉他们杨辉三角的奥秘还不仅这些，比如下面的弹子游戏中也有她的身影。

如图，在一块倾斜的木板上，钉上一些正六角形小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方形框子。把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面(有几个通道就算第几层)，以后，再落到六角板的左边或右边的两个竖直通道里去。以此类推，算一算：落在每个长方形的框子中的弹子的数目会是多少？

弹子从每一通道通过时可能情况是：它选择左右两通道可能性是相等的，而其他任一个通道的可能情形，应等于它左右肩上两个通道的可能情形的和。

可以设想，第1层只有１条通道，通过的概率是1；

第2层有2条通道，每条通过的概率依次是1/2和1/2；

第3层有3个通道，每条通过的概率从左到右依次是1/4、2/4、1/4；

第4层各通道通过的概率从左到右依次是1/ 2的3次方、3/2的3次方、3/2的3次方、1/2；依次类推。

照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率为

Cn0/2的n次方、Cn1/2的n次方、Cn2/2的n次方、…、Cnn/2的n次方

分子正好是杨辉三角的第n+1行，而分母都是2的n次方。

“堆垛术”也与杨辉三角有关系。

将许多球堆成三角垛：底层是每边个球的三角形，向上逐层每边少一个球，顶层是一个球，求总数。

底边球的个数 1 2 3 4 5 …

三角垛中球的总数 1 4 10 20 35 …

这时自然发现了三角垛中球的总数正好是杨辉三角中第4个斜向数组！

杨辉三角就像一座数学宝库，其间应有尽有，等待同学们去挖掘、去发现！

同学们能否进一步去挖掘杨辉三角这座数学宝库，看看能否凭自己的聪明才智发现更多有趣的数学规律、数学现象。

比如，以上我们一起研究了三角垛的问题，那么四方垛呢？甚至更多边数的“堆垛”问题呢？请同学们自己去研究。

（文章版权归网信网所有，未经许可，禁止转载）