矩阵论 最小多项式 JORDAN式子

λ-矩阵
一、λ-矩阵的基本概念
数域P 上m n ⨯的λ-矩阵的一般形式
()()()
()()()()111
1
n ij m n
m m n
a a
A a a a λλλλλλ⎛⎫
⎪==
⎪ ⎪⎝⎭
，其中各()[]ij a P λλ∈.
1 ()A λ的某行（列）不为零：该行（列）的元素不全为零多项式； 2
()
A λ的：该子式是一个非零多项式；
3 ()A λ的秩为r ：()A λ
有一个r 级子式不为零，而所有的1r +级子式（如果还有的话）全为零；
4 n 级λ-矩阵()A λ可逆：存在n 级λ-矩阵()B λ
使
()()()()A B B A E λλλλ==，这时记
()
B λ为
()
1A λ-称为
()
A λ的逆矩阵。

()
A λ可逆
()A λ⇔=
非零常数（即零次多项式）. 5 ()A λ与()B λ等价：
()
A λ与()
B λ可以经过初等变换互相转化。

()
A λ与
()
B λ等价⇔存在可逆矩阵
()()
,P Q λλ使
()()()()
P A Q B λλλλ=.
二、λ-矩阵的标准准形及三种因子
1 每个λ-矩阵()A λ
都可以经过初等变换（可以同时作行变换和列变换）化为标准
形
()()()
()
120
0r d d B d λλλλ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，
其中()()()12,,,r d d d λλλ 均为首一多项式，称为()A λ的不变因子。

它们满足依次整
除关系：
()()1i i d d λλ+，1,2,,1i r =- .
因为初等变换不改变
()
A λ的秩，所以上述()()r r A λ=.
2 ()
A λ的所有k 级子式的首一最大公因式
()
k D λ称为
()
A λ的k 级行列式因子。

（1）若
()()r A r
λ=，则
()
A λ的行列式因子恰有r 个：
()()()
12,,,r D D D λλλ .
（2）初等变换不改变()
A λ的各级行列式因子，所以
()
A λ与它的标准形
()
B λ有相同
的行列式因子。

显然()
B λ的各级行列式因子为：
()()()()()()()()()
1121212,,,r r D d D d d D d d d λλλλλλλλλ=== .
所以
()
A λ的行列式因子也满足依次整除关系：
()()
1i i D D λλ+，1,2,,1i r =- .
（3）若
()
A λ行列式因子已求出，则不必再做初等变换也可求出
()
A λ的不变因子：
()()()()
()()()()
211211,,,r r r D D d D d d D D λλλλλλλλ-==
=
.
（4）两种极端情况下求行列式因子的简易方法：
若()A λ有一个k 级子式等于非零常数，则()()11
k D D λλ=== ；
若
()
A λ有两个k 级子式互素，则
()()11
k D D λλ=== .
3 将
()
A λ的各个不变因子在P 上作标准分解，凡幂指数为正的因式（在多个不变因子
中重复出现的要重复计算）都称为()
A λ的初等因子。

()
A λ的所有初等因子编在一块称为
()
A λ的初等因子组。

初等因子组的求法有两种： （1）分解不变因子法。

（2）先用初等变换将
()
A λ化为
()()()
()
120
0r c c C c λλλλ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（不一定是标准形），
其中
()()()
12,,,r c c c λλλ 均为首一多项式。

再将它们在P 上作标准分解，所有那些幂指数组为正的因式就构成
()
A λ的初等因子组。

4 若已知
()
A λ的秩r 和初等因子组，则可按下列步骤确定()
A λ的不变因子：
10
将同底初等因子按升幂排成一个r 元序列，不足r 个时就在前面添上若于个1，使之
构成r 元序列；
20
将上述各序列的的同序号元素相乘就得到()
A λ的全部不变因子。

三、数字方阵的特征矩阵 数字方阵n n
A C
⨯∈的特征矩阵E A λ-是一个λ-矩阵，我们称E A λ-的三种因子为
A 的三种因子。

1 因为()()
110
n
n n E A tr A A λλλ--=-++-≠ ，所E A λ-是满秩的，但不
可逆，因为
E A
λ-不等于非零常数。

2 A 的行列式因子和不变因子（可能有些是1）的个数都是n ，初等因子都是一元一次首一多项式的方幂，个数不超过n .
3
E A
λ-恰好等于它的各个不变因子的乘积，也是所有初等因子的乘积。

4 两个数字方阵,n n
A B P ⨯∈相似的充要条件是它们的特征矩阵等价或者说它们的三种
因子对应相同。

作业：消化346~360P 的内容。

第28、29讲
四、数字矩阵的Jordan 标准形 1 形如
12
s J J J J ⎛⎫
⎪
=
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，其中
1
,1,2,,1i i
i i
i i n n J i s
λλλ⨯⎛⎫ ⎪
== ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
.
的n 级准对角数字矩阵称为Jordan 矩阵，其中
i
J 称为
i
n 级Jordan 块。

因为
11
i
i i
n
i i E J λλλλλλλ--⎛⎫
⎪--=
⎪- ⎪ ⎪-⎝
⎭
有一个
1
i n -级子式等于
()1
1i n --是非零常数，而
i
n i
E J λ-的i
n 级子式为
()i
n i λλ-，所以i
n i
E J λ-的行列式因子为：
()()()()111,i
i i
n
n n i D D D λλλλλ-====- ；
不变因子为：
()()()()
111,
i
i i n n n i d d d λλλλλ-====- ；
初等因子只有一个：
()i
n i λλ-.
于是，经过初等变换可将
i
n i
E J λ-化为标准形：
()
()11
i
i i
i n i n n B λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝
⎭
（1）
若还有一个i
n 级矩阵i
A 也以
()i
n i λλ-为唯一的初等因子，即i
n
i
E A λ-的初等因子只有
()i
n
i λλ-，则()i i
n i i n i i i E A B E J A J λλλ-≅≅-⇒ .
假定n n
A ⨯∈
的初等因子组为：
()11n λλ-，()22n λλ-， ，()s
n s λλ-，其中12s
n n n n
+++= . 则由上面的推理方法知：
12
11
2
2
s
n n n s n
s E J B E J B E J B E J λλλλ-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-
⎪-=≅ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪-⎝
⎭⎝⎭
，
所以J 的初等因子组也是：()1
1n λλ-，()2
2n λλ-， ，()s
n s λλ-，A J
.
Jordan 定理 复数域上的每个n 级矩阵A 都与一个Jordan 矩阵J 相似，这个J 除了
Jordan 块的排列次序外是被A 唯一确定的。

例1 求下列矩阵的Jordan 标准形：
（1）
11
15
2117626
21
A -⎛⎫ ⎪=- ⎪--⎝⎭；（2）12002022
1
B ⎛⎫ ⎪= ⎪---⎝⎭；（3）
308316205C ⎛⎫ ⎪=- ⎪--⎝⎭.
解 （1）
2
1
1100
15
21171712
40626
212215
5
E A λλλλλλλλλ+---⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪-=--→--- ⎪ ⎪-+++-+⎝⎭⎝⎭
()
()2
2
2
20010
0110
53100
10010
2215
5
010
000
1λλλλλλλλλ⎛⎫
⎛⎫--⎛
⎫
⎪ ⎪ ⎪→++→→ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪++-+++⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭.
所以A 的不变因子有：()()()()
21231,1d d d λλλλλ===+；
初等因子组为：()
2
1,0λλ+-；
Jordan 标准形为：
1010
0J -⎛⎫
⎪= ⎪⎝⎭.
（2）
1
2021
00
202
022
12
2
1E B λλλλλλλ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=-→- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
()()
()()
12
20
10
01200
1200
1
10
1λλλλλλλ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
→--→-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
. A 的初等因子组为：1,2,1λλλ--+.
Jordan 标准形为：
1
2
1J ⎛⎫
⎪= ⎪-⎝⎭
.
（3）
3
0820
53
163
1620
53
8E C λλλλλλλ--+⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
-=-+-→-+- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭
()
()
3
322
2
2
32
20510
001010
00
100
1λλλλλλ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪→++→+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
+-
+⎝⎭⎝
⎭
.
所以C 的初等因子组为：1λ+，()2
1λ+. Jordan 标准形为：
11
11J -⎛⎫
⎪=- ⎪-⎝⎭
.
例2 求下列矩阵的若尔当标准形：
（1）
1
2
3401230012000
1B ⎛⎫
⎪=
⎪ ⎪⎝⎭； （2）
()
101a b
b a
a b C b b
a
a b b
a -⎛⎫ ⎪- ⎪-
⎪=≠- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
.
解（1）
12
341
231
2
1E B λλλλλ----⎛⎫
⎪
----=
⎪-- ⎪-⎝⎭
的3级子式中有两个是：
()()3
1
1
23
01210
01
M
λλλλλ---=
--=--
()(
)()1222342
34
1
23031210
120
1
2
M λλλλλλ------=---=-+-+----
()
()
20
0010410
2
λλλλ-=
-+=-+-.
显然()()()12
,1M M
λλ=（复数域上没有公共根的两多项式必互素）
，所以B
的行列式因
子为：
()()()1231
D D D λλλ===，
()()
4
41D E A λλλ=-=-；
不变因子为：
()()()1231
d d d λλλ===，
()()
4
41d λλ=-；
初等因子只有一个：
()4
1λ-.
Jordan 标准形为：11
0001100011000
1J ⎛⎫ ⎪=
⎪ ⎪⎝⎭
.
（2）
11a b
b a
a b E C b
a
a b b
a λλλλλλλ-⎛⎫ ⎪--
⎪-
⎪-=-- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的右上角5级子式
3M b =（非零常数），所以C 的行列式因子中：()()151
D D λλ=== .
下面计算
()6D E C
λλ=-：
记6
M
E C
λ=-，按第1,2行展开：落在这两行上的3个形式不为零的2级子式中，
只有
()()()222
a
b
a b a b a b M
b
a
λλλλλ-=--=-+--- 的余子式4M 形式不为
零，所以由拉普拉斯定理得
(
)1212
6
24
24
1M
M
M
M M
+++=-=；同理又得
4
22
M
M M
=. 所以
()()()
()3
3
3
66
2D M M a b a b λλλ===-+--.
于是，C 的不变因子为：()()()()
()3
3
1561,d d d a b a b λλλλλ====-+-- .
初等因子组为：
()()()()
3
3
,a b a b λλ---+. Jordan 标准形为：
()()()
3311,11a b
a b
a b
J diag J a b J a b a b
a b
a b -⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪=-+=+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝
⎭.
五、Jordan 标准形应用举例
例1 设A 是n 级方阵，若有自然数m 使m
A E =，证明A 可以对角化。

证明 设A 的Jordan 标准形为
12
s J J J J ⎛⎫
⎪
=
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，其中
1
,1,2,,1i i
i i
i i n n J i s
λλλ⨯⎛⎫ ⎪
== ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
.
则存在可逆矩阵P 使1
J P AP -=，于是
1112m m
m
m m
s J J J P A P P E P E
J --⎛⎫ ⎪==== ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭
.
所以
i
m i n J E =，由此可以断定各个Jordan 块都是1级的，从而A 可对角化。

否则，设有某
个1i n >，则
1111
1
1i i i i i
n m n m m i m i m i m
m
i i
n m m i m
i n n C C J
E C λλλλλλ--+--⨯⎛⎫
⎪=≠ ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭
（当l k >时规定0l k C =）.
这就导致矛盾。

口述：若2
A E =，则称A 为对合矩阵，而对合矩阵可以对角化是我们过去证明过的。

所以本题结论是过去结论的推广。

例 2 证明：任一复方阵A 都可以分解成A M N =+的形式，其中M 为幂零矩阵（即
存在自然数l 使l
M O =），N 是可对角化矩阵，且M N N M =.
证明 设A 的Jordan 标准形为
12
s J J J J ⎛⎫
⎪=
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，
1
,1,2,,1i i
i i
i i n n J i s
λλλ⨯⎛⎫ ⎪
== ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
.
则存在可逆矩阵P 使1
J P AP -=.
令
010
,1
0i i
i i
i i i n n
B C λλλ⨯⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪
== ⎪
⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，1,2,,i s = .
则
11
22
s s B C B C J B C B C +⎛⎫
⎪
+=+
⎪ ⎪
⎪+⎝⎭
，
其中
11
2
2
,s s B C B C B C B C ⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪==
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
.
令
()
12max ,,,s l n n n = ，则l
B O =，于是
()11A PJP P B C P M N
--==++ ，其中
1
1,M PBP N PCP --==.
11
l l M PB P POP O --===； N 与对角矩阵C 相似。

例 5 （日本京都大学）设n 级方阵A 在复数域上的全部特征值为12,,,n λλλ ，()[]
10m m f x b x b x b C x =+++∈ ，则
()10m m f A b A b A b E
=+++ 的全部特征值为：
()()()12,,,n f f f λλλ . 证明 由Jordan 定理，存在可逆矩阵T 使
112
*
**n T AT λλλ-⎛⎫
⎪=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
（Jordan 标准形）
从而
()()1
1
10m m T
f
A T
T
b A b A b E T
--=+++
1
1
1
10m m b T
A T b T
AT b T
ET
---=+++
()
1
1
10m
m b T
AT
b T
AT b E
--=+++
112
2
10*
**
*1
1
**
1m m m m
n n b b b λλλλ
λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪=+++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭
()()
()12**
*n f f f λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
.
所以矩阵()f A 的全部特征值为：()()()12,,,n f f f λλλ .
注：1 本题的结论可当定理用；
2 应用上三角可逆矩阵的逆矩阵仍是上角矩阵和本题的结论还可以证明：
若可逆矩阵A 的全部复数特征值是12,,,n λλλ ，则1A -与*A 的全部特征值是
12
1
1
1
,
,,
n λλλ 与1
2
,
,,
n A
A
A
λλλ .
例7（中国科技大学）设n 级矩阵
()
ij A a =的全部特征值为12,,,n λλλ . 证明等式：
21
,1
n
n
i
ik ki
i i k a a λ
===
∑∑
.
分析 1 因为2
221
2
,,,n
λλλ 是2A 的全部特征值，所以()
221n
i
i tr A λ
==∑；
2 相似的矩阵有相同的特征值，因而有相同的迹。

3 由已知条件无法判定A 是否可对角化，故只能考虑用Jordan 标准形。

证明 由Jordan 定理，存在可逆矩阵T 使
2
112
11
2222*
**
***n n T AT T A T λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
=⇒=
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
，
而
1112
22
1
*
*****
n
k k k n
k
k k nk
kn
a a a
a A a
a ==⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑
，
所以
()()21
2
2
1
11
,1
n
n
n
n
i
ik ki
ik ki
i i k i k tr T
A T tr A
a a a a λ
-========
∑∑∑∑
.
例8 （吉林大学）设
()()
1k k r A r A +=. 证明：如果A 有零特征值，则零特征值对应
的初等因子次数不超过k .
证明 由Jordan 定理，存在可逆矩阵T 使
011
s J J T AT J -⎛⎫
⎪=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，
其中
J 是由所有主对角元为特征值
00
λ=的Jordan 块构成的Jordan 矩阵。

1,,s
J J 以A
的非零特征值
1,,s
λλ 为主对角元的Jordan 块，显然0,1,,i J i s
≠= .
设m 是0J 的各Jordan 块的最大级数，则0m J O =，下面只要证明m k ≤：
若m k >，则由
1
001
111
111,k k k
k k
k k k s s J J J J T A T T A T J J ++--++⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪==
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
（1）
和
0k J O
≠知
()()
100k k r J r J +>；而由
1,,s
J J 均可逆知
()()1,1,,k k i i r J r J i s
+== .
比较（1）中两个等式两边矩阵的秩知()()
1k k r A r A +>，这与题设矛盾。

作业：消化
361~375
P 的内容。

第30、31讲
六、最小多项式的概念
设()[]
,n n A P f x P x ⨯∈∈，如果()f A O
=，就称()
f x 是A 的一个零化多项式。

由Hamilton-Cayley 定理知，A 的特征多项式
()x xE A
ϕ=-就是A 的一个零化多
项式。

又由于2
2,,,,n E A A A 是2n 维空间n n P ⨯中的21n +个向量，因而是线性相关的，
即存在不全为零的数
2
012,,,,n a a a a 使
2
22012n n a E a A a A a A O
++++= ，所以
()2
22012n
n f x a x a x a x a x =++++
也是A 的零化多项式。

在A 的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A 的最小多项式，记为()
A m λ.
注 任一个方阵的最小多项式的次数都不小于1.
例1 aE 的最小多项式()aE m a λλ=-，特别地()(),1
O E m m λλλλ==-.
七、最小多项式的性质
1 唯一性。

2 能整除任一个零化多项式，特别地，能整除特征多项式。

3 与特征多项式有相同的根（重数可能不同）。

4 是相似不变量。

5 准对角矩阵的最小多项式是各分块的最小多项式的最小分倍式。

6 r 级Jordan 块()
r J a 的最小多项式
()()
r
A m a λλ=-（即
()
r J a 的初等因子）。

7 ()
A m λ是A （即E A λ-）的最后（即次数最高的）一个不变因子。

八、最小多项式的求法
1 试因式法：（1）在P 上对
()E A
ϕλλ=-作标准分解，写出所有不同的根：
12,,,s
λλλ ；
（2）对()ϕλ的含有()()()12s λλλλλλ--- 的因式按次数从低到高的顺序进行检
测，第一个能零化A 的因式就是A 的最小多项式。

2 初因小倍法：先求出A （即E A λ-）的初等因子组，再求出它们的最小公倍式即可。

3 不变高因法：求出A （即E A λ-）的次数最高的一个不变因子即可。

九、用最小多项式判别方阵可否对角化
A 可对角化的充要条件是它的最小多项式可以表为一些互不相同（即互素）的首一多
项式的乘积。

所以有下列结论：
1 若A 有一个零化多项式无重根，则A 可对角化；
2 A 可对角化⇔A 的初等因子全是一次的⇔A 的不变因子没有重根。

例2 （大连理工大学）求数域P 上方阵A 的全体零化多项式作成的集，其中
01011010010110
1
0A ⎛⎫ ⎪=
⎪ ⎪⎝⎭
.
解 先求A 的最小多项式：
210
01
01101
01
11
1
001
100011110
1
1
1
10
1
1E A λλλλλλλλ
λλλλ
λ
λ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
-------==→
⎪
⎪ ⎪----- ⎪ ⎪ ⎪
-------⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
21
22322
12
1
0010001
0000100010
0010
00000000200
400
200
λ
λλ
λλ
λλ
λ
λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪-→→→ ⎪
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
.
所以A 的最小多项式是()34A m λλλ=-.
A 的零化多项式集为：
()()()()[]
{}34f h h P λλλλλλ=-∈.
例3 （北京大学,1999）设实数域 上的矩阵
1
1
01
0130
0A ⎛⎫ ⎪=- ⎪-⎝⎭
.
（1）求A 的特征多项式
()
f λ；
（2）()f λ
是否在 上可约； （3）求A 的最小多项式；
（4）分别在, 上判定A 是否可以对角化。

解
()13
13301
1
01
10
1
130
01E A λλλλ
λλλλ
λ⎛⎫--⎛⎫
⎪ ⎪-=-→--- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
3210
0010
00
3λλλ⎛⎫
⎪→ ⎪
-+-⎝⎭
.
A 的不变因子为：()()()32
1231,3d d d λλλλλλ===-++.
（1）
()()()()321233
f E A d d d λλλλλλλλ=-==-++.
（2）()f λ是三次实系数多项多项式，当然在 上可约，因为不可约的实系数多项式
只能一次或二次的。

（3）A 的最小多项式()()3233A m d λλλλλ==-++.
（4）因为()A m λ的奇次项系数之和等于偶次项系数之和，所以它有一个因式是1λ+，
直接用综合除法得
()()()
2123A m λλλλ=+-+.
而
()2
241380
--⨯⨯=-<，所以223λλ-+在 上不可约。

从()A m λ在
上不能表为
互素的一次多项式的乘积，因此A 在 上不能对角化。

在 上
()
A m λ可以表为互素的一次多项式的乘积
()(
)(
)(
)
111A m λλλλ⎡⎤⎡⎤=+-+
--
⎣⎦⎣
⎦.
因此A 在 上可对角化。

例4 (华中师范大学) 设()
m λ是n 级矩阵A 的最小多项式，
()
ϕλ是次数大于零的多
项式，证明：
()0
A ϕ≠的充要条件是
()()(),1m ϕλλ=.
证明 充分性：若()()(
),1
m ϕλλ=，则存在
()()[]
,u v P λλλ∈使
()()()()1
u v m λϕλλλ+=.
所以 ()()()()()()
E u A A v A m A u A A ϕϕ=+=.
因此
()
A ϕ可逆，
()0
A ϕ≠.
必要性：设()0
A ϕ≠，即
()
A ϕ可逆。

下面用反证法证明()()(
),1
m ϕλλ=： 设
()()()(),1
m d ϕλλλ=≠，则
()()()()()()
12,d q m d q ϕλλλλλλ==，且
()()()()()()()()
22q d q m λλλλ∂<∂+∂=∂，由
()()()()
21q m q ϕλλλλ=得
()()()()()()
1
212A q A m A q A O q A A O O
ϕϕ-==⇒==.
这与
()
m λ是A 的最小多项式相矛盾。

例 5 n 级方阵A 称为m 次幂零矩阵，如果存在一个自然数m 使m
A O =，同时
()
11k A O k m ≠≤≤-.证明所有n 级1n -次幂零矩阵彼此相似，并求它们的Jordan 标准
形。

解 设A 是1n -次幂零矩阵，则由1
n A O -=知A 复数特征值全为0，所以
()n
E A ϕλλλ=-=.
A 的最小多项式
()
m λ只能从21,,,,n n λλλλ- 中产生。

由题设条件知()1n m λλ-=，
所以A 的最后一个不变因子()
1
n n d λλ
-=，由不变因子的依次整除关系，及特征多项式等
于不变因子的乘积得：
()()()()1
1211,,n n n n d d d d λλλλλλ---===== .
因为每个1n -次幂零矩阵都有相同的上述不变因子，所以它们是彼此相似的。

它们的初等
因子组都是：1
,n λλ
-，Jordan 标准形是
()()11000
100
010n J J J -⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪==
⎪
⎪⎝
⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭
.
例6（北京大学，北京航空航天大学）n 级矩阵A 称为周期矩阵，如果存在正整数m 使
m A E =. 证明：复数域上的周期矩阵A 一定可以对角化。

证明 依题设，A 有零化多项式
()1
m
f λλ
=-，而由
()()()()1,1,1
m
m f f m λλλ
λ-'=-=
知()
f λ无重根，从而作为
()
f λ的因式的最小多项式()
m λ也无重根。

故A 可对角化。

例7 （清华大学）设A 是n 级幂等矩阵，它的秩为r ，试求： （1）A 的相似标准形，并说明理由； （2）计算
2E A
-.
解 （1）因为2
A A =，所以()()21f λλλλλ=-=-是A 的一个无重根的零化多项
式。

故A 可对角化。

由
()
f λ的结构知A 的特征值只有1或0。

A 的相似标准形,
,,0,,0.r E r n E O r n O O O r =⎧⎪⎪⎛⎫=<<⎨ ⎪⎝
⎭⎪=⎪⎩若若若
（2）当0r n <<时，由（1）的结果知，存在可逆矩阵P 使
()11
22r r
n r E O E
O P AP P E A P O E O O ---⎛⎫
⎛⎫=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
由此知
22n r
E A --=.显然,当r n =或0时,此结论也成立.
作业：消化375~387
P 的内容。