物理运动学比例问题

1. 在连续相等的时间（T）内的位移之差为一恒定值，即△s= aT2（又称匀变速直线运动的判别式）

推证：设物体以初速v0、加速度a做匀变速直线运动，自计时起时间T内的位移

①在第2个T内的位移②

①②两式得连续相等时间内位移差为

即

进一步推证得……

2. 某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度

即

推证：由①知经的瞬时速度②

由①得代入②中得即

3. 某段位移内中间位置的瞬间速度与这段位移的初、末速度和的关系为

推证：由速度位移公式①

知②

由①得代入②得

则

讨论：在同一段匀变速直线运动中，对于加速或是减速，与有何关系？

分析：若物体做匀加速直线运动，如图甲所示，物体由A到B历时t，而经物体的位移不到一半，即经，物体在中间位置O的左侧，所以。

若物体做匀减速直线运动，如图乙所示，物体由A到B历时t，而经物体的位移已大于整个位移的一半，即达到O点的右侧，由于是减速，所以。

综上可知：物体做匀变速直线运动时，某段位移上中间时刻的速度小于中间位置的速度。

另析：由于

则

由于

所以

即

例1、一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是

24m，64m，每一个时间间隔为4s，求质点的初速度和加速度。

分析：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，因而选择不同的公式，所对应的解法也不同。如：

解法Ⅰ：基本公式法：画出运动过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择位移公式：

将、、代入上式解得：

解法Ⅱ：用平均速度公式：

连续的两段时间t内的平均速度分别为：

B点是AC段的中间时刻，则

得：

解法Ⅲ：用特殊式——判别式解：

由△s=得

再由解得

评注：①运动学问题的求解一般均有多种解法，进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律，提高灵活运用知识的能力。从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而形成解题能力。②对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用判别式△s=求解。

例2、某市规定，车辆在市区内行驶的速度不得超过40 km/h，有一辆车遇到情况紧急刹车后，经时间停止，量得路面刹车的痕迹长为s=9m，问这辆车是否违章（刹车后做匀减速运动）？

分析：本题隐含了末速度为零的条件，求出初速度就可判定。

解：由于车做匀减速直线运动，则平均速度

又因为

所以

解得v0=12m/s=43.2km/h>40km/h

故可判断此车违章

例3、从斜面上某一位置，每隔0.1 s释放一颗小球，在连续释放几颗后，对在斜面上滑动的小球拍下照片，如图所示，测得s AB=15cm，s BC=20cm，试求：

（1）小球的加速度

（2）拍摄时B球的速度v B=？

（3）拍摄时s CD=？

（4）A球上面滚动的小球还有几颗？

分析：释放后小球都做匀加速直线运动，每相邻两球的时间间隔为0.1s，可以认为A、B、C、D各点是一个球在不同时刻的位置。

解：（1）由知，小球的加速度

（2）B点的速度等于AC段上的平均速度

即

（3）由于相邻相等时间的位移差恒定

即

所以

（4）设A点小球的速度为

由于=+

则

所以A球的运动时间

故在A球上方正在滚动的小球还有2颗

评注：利用推论结合基本公式求解运动学问题非常方便.

专题二初速为零的匀变速运动的比例式

设t =0开始计时，以T为时间单位。则

（1）1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶……= 1∶2∶3∶……

可由，直接导出

（2）第一个T内，第二个T内，第三个T内……位移之比，s I∶sⅡ∶sⅢ∶……= 1∶3∶5∶……∶（2n－1）

推证：由位移公式得

可见，s I∶sⅡ∶sⅢ∶……= 1∶3∶5∶……∶（2n－1）即初速为零的匀加速直线运动，在连续相等时间内位移的比等于连续奇数的比.

如一小球以某一初速度沿光滑斜面匀减速上滑，达顶端时速度为零，历时3s，位移为9 m，求其第1 s内的位移.

分析：反过来看，物体初速为零，连续相等时间内位移之比为1∶3∶5，可知，以

某初速上滑时第1 s内的位移为总位移的，即位移为5 m.

以上例子还可求出中间时刻的瞬时速度，即整个过程的平均速度，也

可求运动的加速度（取后一段研究），负号表示a与的方向相反. 当然还可求出初速度，由得

（3）1T内、2T内、3T内……位移之比s1∶s2∶s3∶……= 12∶22∶32∶……

可由直接导出

（4）通过连续相同的位移所用时间之比

……=……

推证：由知通过第二段相同位移所用时间

同理

则……=……

例2、一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3 s内的位移为s1 ，最后3s 内的位移为s2，已知s2－s1=6 m；s1∶s2=3∶7，求斜面的总长.

分析：由题意知，物体做初速度等于零的匀加速直线运动，相等的时间间隔为3s.

解：由题意知

解得s1=4.5 m s2=10.5 m

由于连续相等时间内位移的比为l∶3∶5∶……∶（2n－1）

故s n=（2n－1）s l

可知10.5 = （2n－1）4.5

解得n =

又因为s总= n2s1

得斜面总长s总= ×4.5=12.5 m

评注：切忌认为物体沿斜面运动了6 s，本题中前3 s的后一段时间与后3s的前一段时间是重合的。

例3、一列车由等长的车厢连接而成. 车厢之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐。当列车由静止开始做匀加速直线运动时开始计时，测量第一节车厢通过他的时间为2s，则从第5节至第16节车厢通过他的时间为多少?

分析：此题若以车为研究对象，由于车不能简化为质点，不便分析，故取车为参考系，把车的运动转化为人做匀加速直线运动。

解：据通过连续相等的位移所用时间之比为

……得

所以所求时间△t=4 s

另解：一般解法如下：

设每节车厢长为s，加速度为a，则人通过第一节车厢的时间

则人通过前4节车厢的时间为

人通过前16节车厢的时间为

故所求时间。

评注：运动学题目的解法多种多样，但总有一些解法比较简单，希望在掌握基本解法的基础上多考虑一些不同的解题方法。

【模拟试题】

1、下列关于平均速度和即时速度的说法中正确的是

A. 做变速运动的物体在相同时间间隔里的平均速度是相同的

B. 即时速度就是运动的物体在一段较短的时间内的平均速度

C. 平均速度就是初末时刻即时速度的平均值

D. 某物体在某段时间里的即时速度都为零，则该物体在这段时间内静止

2、下面关于加速度的描述中正确的有

A. 加速度描述了物体速度变化的多少

B. 加速度在数值上等于单位时间里速度的变化

C. 当加速度与位移方向相反时，物体做减速运动

D. 当加速度与速度方向相同且又减小时，物体做减速运动

3、关于速度与加速度，下列说法中正确的是

A. 速度越大，加速度一定越大

B. 速度为零，加速度也一定为零

C. 加速度为零，速度也一定为零

D. 以上说法都不对

5、关于匀加速直线运动，下列说法中正确的是

A. 速度与运动时间成正比