二重积分的坐标变换

பைடு நூலகம்
3. 区域变D换 xy ： Dr
f(x ,y )dx df(r y c o ,rs s i)n rd .rd
D
D
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二重积分化为二次积分的公式: θ-型区域
1. 原点在区域的外面
(1) 区域特征如图
r1()
,
D
1 () r 2 ().
o
f(rco,srsin)rdrd
D
d
2()f(rco,rs si)n rd . r
1()
r2()
A
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(2) 区域特征如图
,
r1()
D
1 () r 2 ().
Df(rco,srsin)rdrdo
d 2()f(rco ,rs si)n rd . r 1()
r2()
A
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2. 原点在区域的边界上
区域特征如图 , 0r().
r()
D
f(rco,srsin)rdrd
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由rar2cao2s,
得 交 点 A(a,), 6
所 求 面 积 d xd4ydxdy
D
D1
4
6d
a
2co2s
rdr
0a
a2( 3). 3
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二、二重积分的换元法
平面上同一个点 坐， 标直 与角 极坐标
D{(x,y)| 1xy 1x2,0x1}.
解
在 极 坐 标 系 下 xy
r r
cos sin
x2 y2 1
所 以 圆 方 程 为 r 1 ,
直 线 方 程 为 r 1 , xy1
sin cos
D
f
(x,
y)dxd y 2d 0
1
1 f(rco,rssin )rd . r
sin co s
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
D d
1 22()d 20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r()
(2) y r()
D
D
o
x
ox
答: (1)0; (2)
22
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二重积分化为二次积分的公式: r-型区域
二重积分的变量代换
极坐标变换 一般变量代换
广义极坐标变换
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一、利用极坐标系计算二重积分
i1 2 (ri ri)2i 1 2 ri2i
1 2(2ri ri)rii
rri ri r ri
i i
i
ri rii o ( rii),
D
i
drdrd o
A
极坐标下的面积元素 rd d
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
D1
S
D2
又 I e x2 y2 dxdy Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2
0
0
0
S
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由上题结论
I1
D1
e x2 y2 dxdy
2d
Rer2rdr
(1eR2
)
00
4
I2 ex2 y2dxdy
0 1r
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例 6求 曲 线 (x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 ) 和 x 2 y 2 a 2 所 围 成 的 图 形 的 面 积 .
解 根 据 对 称 性 有 D 4 D 1
在 极 坐 标 系 下
D1
x2y2a2 ra ,
(x 2 y 2 )2 2 a 2 (x 2 y 2 )ra2co 2s ,
D
x2 y2 2y，x2 y2 4y及直线x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x02
3
x2y24y r 4 sin
x
3y01
6
x2y22y r2sin
(x2y2)dxdy
3d
4sinr2rdr15(
3).
D
6
2sin
2
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例5 计算二 重积分 sin(x2y2)dxd, y
D
x2y2
其中积分区域为D{(x,y)|1x2y24}.
解 由 对 称 性 ， 可 只 考 虑 第 一 象 限 部 分 ，
D1
D4D1
注 意 ： 被 积 函 数 也 要 有 对 称 性 .
sin( x2 y2)dxdy4 sin( x2y2)dxdy
D
x2 y2
D1
x2 y2
4
2d
2sinrrdr4.
D2
(1e2R2 ); 4
I1II2,
( 1 e R 2 ) (R e x 2 d ) 2 x ( 1 e 2 R 2 );
4
0
4
当 R 时 , I1
4
,
I2
4
,
故 当 R 时 , ( ex2dx)2 即 ex2dx
0
4
0
2
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例4 计算(x2 y2)dxdy，其D为由圆
解 D 1 {x ,( y )|x 2 y 2 R 2 } D 2 S
D 2 {x ,( y )|x 2 y 2 2 R 2 } DSD1 2
S { x , y ) ( | 0 x R , 0 y R } R 2R
{x0,y0} 显 然 有 D 1 S D 2
ex2y2 0,
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例 2 计算 ex2 y2dxdy，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为 a的圆周所围成的闭区域.
y
解 在极坐标系下
D：0 r a，0 2
ex2y2dxdy
2
d
aer2rdr
D
0
0
(1ea2).
ax
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例3 求 广 义 积 分ex2dx. 0
区域特征如图
2(r)
r1rr2,
1(r)2(r).
r2 D
r1
1(r)
o r1
r2 A
f(rco,srsin)rdrd
D
r2rd2(rr)f(rco,rssin )d.
r1
1(r)
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例1写 出 积 分 f(x,y)dx的 d极 y坐 标 二 次 积 分 形
D
式 ， 其 中 积 分 区 域
f (x, y)dxdyf(rcos,rsin )rdrd d
dr r
D
D
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极坐标变换的适用情形:
积分区域为圆域或圆域的一部分,或被积函数形如 f(x2 y2)
注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”：
1. 坐标变 xy换 rrsc： ions
2. 微元变 dd 换 x d ： rydrd
D
o
A
d ()f(rc o ,rs s i)n rd . r 0
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3. 原点在区域的内部
区域特征如图
02, 0r().
r()
D
f(rco,srsin)rdrd
D
o
A
2 ()
d f(rco ,rs si)n rd . r
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd. D
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