第三章平面任意力系
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uur mB(Fi)0
uur mC(Fi)0
③ 三矩式
条件：A,B,C不共线
每组均有三个独立方程，可求解三个未知数。
选择平衡方程的原则：尽量使一个方程只含有一个 未知量。
11
固定端约束 (fixed support)
雨搭
车刀
① 认为Fi这群力在同一 平面内;
② 将Fi向A点简化得一力和一力偶;
③ RA方Biblioteka Baidu不定可用正交 分力YA, XA表示;
第四章 平面任意力系
1
§4-1 平面任意力系的概念
平面任意力系：各力和各平面力偶都作用在同一平面内， 但是既不汇交也不平行的力系。
2
§4-2 力线平移定理
1.定理: 作用于刚体上的力，可平移至该刚体内任一点，但 须附加一力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩。
2.证明:
F' F
F'
在B点加一对平衡力 B
R'(Fx)2(Fy)20
u u r M O m O (F i) 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
uur
mO(Fi)0
10
物理意义：
Fx 0
Fy 0 uur
mO(Fi)0
① 基本式
Fx 0 uur
mA(Fi)0 uur
mB(Fi)0
② 二矩式
条件：x 轴不 AB连线
uur mA(Fi)0
u ur ① R ' =0,MO≠0
简化为一合力偶。此时原力系等效于只有一个力偶的作用， 因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化 中心无关。
u ur ② R '≠0,MO =0
简化为一个作用于简化中心的力，称为原力系的合力。
6
u ur ③ R '≠0,MO≠0
还可以继续简化为一个作用点不在简化中心的合力。
A
F'=F"=F
F ''
Bm
A
m=mO(F)
3
§4-3 平面一般力系向一点简化
任意力系
汇交力系+力偶系
合成结果
汇交力系 力，R'(主矢)(作用在简化中心)
力偶系
力偶，MO(主矩)
4
主矢、主矩的解析表达式
u u r u ru ru r u ru ru r u u r R ' F ' 1 F ' 2 F ' 3 K F 1 u u F r 2 F 3 u u r K F i u u r M O m 1 m 2 m 3 K m O ( F 1 ) m O ( F 2 ) K m O ( F i )
y
500N
0.8 m
O
1m
200N
80Nm
1m
100N 0.6 m
x
3 500N
4
选O为简化中心
F x100NF y0 FR' 100N
8
1.3 力系的简化
MOMO(F)
5000.8100250032.680 5
100(Nm)
y
500N
OO' 100 1m 100
0.8 m
O
1m
200N
80Nm
条件：AB连线不平行 于力的作用线
14
§4-7 静定与静不定问题
静定与静不定问题的概念 我们学过： 1、平面汇交力系有两个独立方程，能求两个独立未知数。 2、平面力偶系有一个独立方程，能求一个独立未知数。
3、平面平行力系有二个独立方程，能求二个独立未知数。 4、平面一般力系有三个独立方程，能求三个独立未知数。 当：独立方程数目=未知数数目时，是静定问题(可求解)
独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题(超静定问题)
15
静定
静不定
静不定
静不定
静不定问题在变形体力学(材力,结力,弹力)中用位移协 调条件来求解。
16
§4-8 物系的平衡
q
一、几个概念
E
AHB
C
D
l/8 l/8
l/4
l/4
l/4
物 系 —— 由若干个物体通过约束组成的系统 外 力 —— 物体系以外任何物体作用于该系统的力
④ YA, XA, MA为固定端 约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动,
MA限制转动。
12
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
uur uur 主矢 Ro Fi u u r 主矩 M O m O (F i) F ix i
1m
100N 0.6 m
x
3 500N
4
y
MO
O
F
R
x
y
F RO
O
F R x
F R
y
O
x
O
FR
最简结果为作用于 O ' 的一个力.
9
1.3 力系的简化
§4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件：
力系的主矢等于零，且对任意点的主矩也等于零！
u ur R ' =0， MO =0
由 X 0 ,X A 0
mA(F)0;
RBaqaa2mP2a0
解得：
Y0 YAR Bq a P 0
R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N
Y A P q R B a 2 2 0 0 . 8 0 1 2 2 ( k 4 )N 18
内 力 —— 物体系内部各物体间互相作用的力
二、特点
① 若物系平衡，则物系中每个单体也是平衡的
② 设物系中有n个物体，每个单体可列3个平衡方程，整个系统 可列3n个独立方程，可解3n个未知数
17
[例1] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁，受力如图
dMO R
平面任意力系的合力矩定理：当平面力系可以合成为一个合 力时，则其合力对作用面内任一点的矩，等于各分力对同一 点矩的代数和。
M oRRdM o O点是任意的
M o M oFi
M o(R ) M oF i
u ur
④ R '=0， MO =0，则原力系平衡。
7
[例1] 试求图示平面力系向O点简化结果及最简形式。
合力作用线的位置为：
xR
MO R'
Fixi F
uur
平衡的充要条件为: Ro 0
Mo 0
13
所以, 平面平行力系的平衡方程为：
各力在x 轴上的投影恒等于零，
即 恒X成0立，所以只有两
个独立方程，只能求解两个独 立的未知数。
一矩式
Y 0 uur
mo(Fi)0
二矩式
uur mA(Fi)0
uur mB(Fi)0
u ur 主矢 R '
大小：R 'R 'x 2 R 'y 2( F x)2 ( F y)2
uur 方向：cos(R',x)
Fx
uur ，cos(R',
y)
Fy
R'
R'
与简化中心的选择无关！
主矩 Mo
uu r 大小：M om o(Fi)
旋向：规定 +
—
与简化中心的选择有关!
5
§4-4 平面一般力系简化结果的讨论
uur mC(Fi)0
③ 三矩式
条件：A,B,C不共线
每组均有三个独立方程，可求解三个未知数。
选择平衡方程的原则：尽量使一个方程只含有一个 未知量。
11
固定端约束 (fixed support)
雨搭
车刀
① 认为Fi这群力在同一 平面内;
② 将Fi向A点简化得一力和一力偶;
③ RA方Biblioteka Baidu不定可用正交 分力YA, XA表示;
第四章 平面任意力系
1
§4-1 平面任意力系的概念
平面任意力系：各力和各平面力偶都作用在同一平面内， 但是既不汇交也不平行的力系。
2
§4-2 力线平移定理
1.定理: 作用于刚体上的力，可平移至该刚体内任一点，但 须附加一力偶，其力偶矩等于原力对平移点之矩。
2.证明:
F' F
F'
在B点加一对平衡力 B
R'(Fx)2(Fy)20
u u r M O m O (F i) 0
平衡方程
Fx 0
Fy 0
uur
mO(Fi)0
10
物理意义：
Fx 0
Fy 0 uur
mO(Fi)0
① 基本式
Fx 0 uur
mA(Fi)0 uur
mB(Fi)0
② 二矩式
条件：x 轴不 AB连线
uur mA(Fi)0
u ur ① R ' =0,MO≠0
简化为一合力偶。此时原力系等效于只有一个力偶的作用， 因为力偶可以在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化 中心无关。
u ur ② R '≠0,MO =0
简化为一个作用于简化中心的力，称为原力系的合力。
6
u ur ③ R '≠0,MO≠0
还可以继续简化为一个作用点不在简化中心的合力。
A
F'=F"=F
F ''
Bm
A
m=mO(F)
3
§4-3 平面一般力系向一点简化
任意力系
汇交力系+力偶系
合成结果
汇交力系 力，R'(主矢)(作用在简化中心)
力偶系
力偶，MO(主矩)
4
主矢、主矩的解析表达式
u u r u ru ru r u ru ru r u u r R ' F ' 1 F ' 2 F ' 3 K F 1 u u F r 2 F 3 u u r K F i u u r M O m 1 m 2 m 3 K m O ( F 1 ) m O ( F 2 ) K m O ( F i )
y
500N
0.8 m
O
1m
200N
80Nm
1m
100N 0.6 m
x
3 500N
4
选O为简化中心
F x100NF y0 FR' 100N
8
1.3 力系的简化
MOMO(F)
5000.8100250032.680 5
100(Nm)
y
500N
OO' 100 1m 100
0.8 m
O
1m
200N
80Nm
条件：AB连线不平行 于力的作用线
14
§4-7 静定与静不定问题
静定与静不定问题的概念 我们学过： 1、平面汇交力系有两个独立方程，能求两个独立未知数。 2、平面力偶系有一个独立方程，能求一个独立未知数。
3、平面平行力系有二个独立方程，能求二个独立未知数。 4、平面一般力系有三个独立方程，能求三个独立未知数。 当：独立方程数目=未知数数目时，是静定问题(可求解)
独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题(超静定问题)
15
静定
静不定
静不定
静不定
静不定问题在变形体力学(材力,结力,弹力)中用位移协 调条件来求解。
16
§4-8 物系的平衡
q
一、几个概念
E
AHB
C
D
l/8 l/8
l/4
l/4
l/4
物 系 —— 由若干个物体通过约束组成的系统 外 力 —— 物体系以外任何物体作用于该系统的力
④ YA, XA, MA为固定端 约束反力;
⑤ YA, XA限制物体平动,
MA限制转动。
12
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。
设有F1, F2 … Fn 各平行力系， 向O点简化得：
uur uur 主矢 Ro Fi u u r 主矩 M O m O (F i) F ix i
1m
100N 0.6 m
x
3 500N
4
y
MO
O
F
R
x
y
F RO
O
F R x
F R
y
O
x
O
FR
最简结果为作用于 O ' 的一个力.
9
1.3 力系的简化
§4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件：
力系的主矢等于零，且对任意点的主矩也等于零！
u ur R ' =0， MO =0
由 X 0 ,X A 0
mA(F)0;
RBaqaa2mP2a0
解得：
Y0 YAR Bq a P 0
R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N
Y A P q R B a 2 2 0 0 . 8 0 1 2 2 ( k 4 )N 18
内 力 —— 物体系内部各物体间互相作用的力
二、特点
① 若物系平衡，则物系中每个单体也是平衡的
② 设物系中有n个物体，每个单体可列3个平衡方程，整个系统 可列3n个独立方程，可解3n个未知数
17
[例1] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁，受力如图
dMO R
平面任意力系的合力矩定理：当平面力系可以合成为一个合 力时，则其合力对作用面内任一点的矩，等于各分力对同一 点矩的代数和。
M oRRdM o O点是任意的
M o M oFi
M o(R ) M oF i
u ur
④ R '=0， MO =0，则原力系平衡。
7
[例1] 试求图示平面力系向O点简化结果及最简形式。
合力作用线的位置为：
xR
MO R'
Fixi F
uur
平衡的充要条件为: Ro 0
Mo 0
13
所以, 平面平行力系的平衡方程为：
各力在x 轴上的投影恒等于零，
即 恒X成0立，所以只有两
个独立方程，只能求解两个独 立的未知数。
一矩式
Y 0 uur
mo(Fi)0
二矩式
uur mA(Fi)0
uur mB(Fi)0
u ur 主矢 R '
大小：R 'R 'x 2 R 'y 2( F x)2 ( F y)2
uur 方向：cos(R',x)
Fx
uur ，cos(R',
y)
Fy
R'
R'
与简化中心的选择无关！
主矩 Mo
uu r 大小：M om o(Fi)
旋向：规定 +
—
与简化中心的选择有关!
5
§4-4 平面一般力系简化结果的讨论