含摩擦力的行星齿轮传动系统非线性动力学模型_朱恩涌
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振 第 29卷第 8 期
动 与
冲
击 V o. l 29 N o. 8 2010
J OU RNAL O F V IBRAT I ON AND SHOCK
含摩擦力的行星齿轮传动系统非线性动力学模型
朱恩涌 , 巫世晶 , 王晓笋 , 邓明星 , 潜
( 1. 武汉大学 动力与机械学院 , 武汉 3. 中国北方车辆研究 所 车辆传动国家重点实验室 , 北京
j
- 1 )Tm = ceil(
t1 t2 = ( 2 - j )Tm 同时啮合的齿对数的最大值为
图 1 行星齿轮平移 - 扭转耦合振动模型 F ig . 1 P lane tary gear translational rota tiona l coupling dynam ic m odel
( 1)
)Tm )Tm
( 5)
(2:
cj, i为齿轮副 j 第 i 对啮合齿的有效阻尼。则齿轮副第 i 对啮合齿的啮合力可表示为 F j, i = k j, i ( t ) f ( j ) + cj, i ( t ) ( 6) j 式中 , j 为齿轮副的相对位移, f ( j ) 是齿侧间隙非线性 函数 , 其表达式如下所示 :
[ 8]
相对于定轴齿轮传动系统, 行星齿轮传动系统具 有体积小、 重量轻、 结构紧凑、 承载能力强等特点, 广泛 应用于汽车、 航空、 舰船等领域。行星齿轮传动系统的 振动和噪声是影响机器可靠性和寿命的重要因素 。 因此, 为了减小行星齿轮的振动和噪音 , 建立准确的动 力学模型是十分必要的。行星齿轮传动系统在运转过 程中, 齿轮副间摩擦力的大小和方向都呈周期性变化 , 形成一种内部激励, 这也是引起齿轮振动的一个重要 激励源。对于普通定轴齿轮 传动系统, 已有很多学者 对含摩擦力齿轮动力学模型进行了深入研究。 V aishya [ 2] M 和 H ouser R 建立了考虑摩擦力和时变啮合刚度的 六自由度系统, 利用数值仿真方法研究了摩擦力对齿 轮系统动态特性的影响。随后利用谐波平衡法求解了 单自由度线性系统的周期解, 并分析了参数对系统的 [ 3] [ 4] 影响 。 Va ishya M. and S ingh R. 研 究了在不同工 况下齿轮摩擦力的状况并比较了摩擦力为线性时变、 线性时不变和非线性时变三种情况下齿轮动力学特性 的差异。 Gunda Ra jendra1 等 运用有限元模型建立了 一种考虑滑动摩擦力和时变啮合刚度的两级正齿轮动 力学模型。唐进元等 在考虑齿面摩擦、 齿轮时变啮 合刚度和齿侧间隙的情况下, 推导出了修正的齿轮系 统非线性动力学模型, 得到了齿轮副非线性振动微分 方程。对于行星齿轮传动系 统, 也有一些研究人员建 [ 7] 立了系统各种动力学模型。 L in . Jian 建立了无阻尼 的行星齿轮平移 - 扭转耦合振动线性动力学模型 , 并 用该模型研究了行星齿轮传动系统的固有频率、 振动 模态和参数不稳定性等特性。 A l- shyyab . A. 和 Kahra
2 an 2 n 2 2
= ( x n - x s ) sin sn + ( y s - y n ) cos us + un - esn ( t )
sn
sn
+ ( 8) ( 9)
=
n
-
式中, n 为第 n 个行星轮的理论中心到行星架理论中 心的连线 OO n 与坐标轴 x 正方向的夹角 , 为齿轮副 的啮合角, esn ( t )为太阳轮与行星轮轮齿间的综合啮合 误差。一般假定综合啮合误差按正弦函数变化
218
振 动 与 冲 击
2010 年第 29卷
图 2 用矩形波近似的直齿轮 时变啮合刚度 F ig . 2Ti m e vary ing mesh stiffnesses of s i m u lating w ith spu r gear rectangular
的重合度。齿 轮副综合 啮合刚度 的计算 有两部 分组 成, 即双对齿区 ( t0 t1, t2 t3 ) 和单 对齿区 ( t1 t2 ) 。在双对 齿区 , 可以通过齿轮副的几何关系计算出双齿区的啮 合位置, 即求 t1 和 t2 的值。根据齿轮副运动关系可以 得出以下关系式; t0 t1 + t2 t3 = (
j
- bj 0 + bj
j j j
> bj bj ( 7) < - bj
f( j) =
j
第 8期
朱恩 涌等 : 含 摩擦力的行星齿轮传动系统非线性动力学模型
219
其中, 2b j 为齿轮副齿侧间隙。 2 2 齿轮的相对位移 根据处于啮合状态的各齿 轮的相对位置关系, 计 算各齿轮间的相对位移。 ( 1) 太阳轮 x 相对于行星轮 n 的位移沿啮合线方 向的投影 sm 为:
sn
3 1 太阳轮与行星轮之间的摩擦力臂 由于齿轮副的重合度大于 1 , 当齿轮旋转经过一个 基圆齿距 P 则下一齿对进入啮合。令 : M 1 = m od( rn nc t, p )
( 16 ) M 2 = m od( rn nc t, p ) 式中 , n c为第 n 个行星轮在行星架坐标系中的转动角 速度。 根据齿轮旋转运动学可知, t = 0 时刻为时间起点, 太阳轮和行星轮之间的摩擦力臂分别为: lsn, i = ( r s + rn ) tan - ran - rn + ( i - 1) p sn + M i lns, i = r - r - ( i - 1)
( 3)
若在一个啮合周期内分别考虑啮合的两对齿则有 )Tm )Tm ( 4)
k 2 m od( t, Tm )
式中 , kj, t表示齿轮副 j 第 i对啮合齿的综合啮合刚度。 同理 , 在一个啮合周期内单对啮合齿的综合啮合阻尼 可表示为 : cj 1 = c1 cj2 = 0 c2 m od( t, Tm ) < ( 2 m od( t, Tm )
太阳轮的扭转和横向位移 , 齿侧间隙以及齿轮的啮合 刚度波动。但目前还没有在建立行星齿轮传动系统动 力学模型时考虑齿面摩擦力的研究文献。如何结合啮 合摩擦力和时变啮合刚度 , 并考虑齿侧间隙和综合误 差的影响 , 建立行星齿轮平移 - 扭转耦合动力学模型? 本文将解决这个问题。
1 系统非线性动力学模型
[ 6] [ 5] [ 1]
m an . A.
建立一种离 散的单极行星齿轮非 线性扭转
振动动力学模型, 该模型考虑了所有可能的功率流分 配, 适合任意数量、 间距、 啮合相 位的行星齿轮传动系 统, 同时也考虑变啮合刚度和齿侧间隙。 W alha 和 L as saad1 等
[ 9]
建立的模型中, 考虑了行星轮、 齿圈、 系杆和
[ 11] j j
2 啮合位移和啮合力
2 1 轮齿时变啮合刚度和啮合阻尼 在齿轮副的连续运转过程 中, 随着啮合齿对数的 [ 5] 变化, 齿轮副的啮合刚度会随时间周期性变化 。齿 轮在啮合过程中存在单齿啮合与双齿啮合, 对于某一 轮齿, 它在刚进入啮合时该齿轮副处在双齿啮合区 ; 一 段时间后则变为单齿啮合; 在它将要啮出时又进入双 齿啮合阶段。在一对齿轮传动时, 其重合度的大小 , 实 质上表明了同时参与啮合的轮齿对数的平均值。假定 单对齿啮合刚度在啮合过程中不变, 直齿轮的啮合刚 [ 10 ] 度可假定按照矩形波规律变化 , 如图 2 所示。 图中 k 1 表示第一对齿的啮合刚度 , k2 表示第二对 齿的啮合刚度, Tm 表示一个啮合周期, j 表示齿轮副 j
基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( 50875189) , 武汉大学 优秀博士 学位 论文培 育 基 金 资 助 项 目 ; 车 辆 传 动 国 家 重 点 实 验 室 基 金 项 目 ( 9140C340101101) 收稿日期 : 2009 - 05- 21 修改稿收到日期 : 2010- 04- 13 第一作者 朱恩涌 男 , 博士生 , 1983年生
1 1 1 2
波
3
430072; 2. 武汉科技大学 , 武汉
430081;
100072)
摘
时 变啮合刚度、 齿侧间隙和综合啮合误差的 2K - H 型行星齿轮平 移 - 扭转 耦合 要: 建立了一种考虑摩擦力、
非线性动力学模型。分析计算了啮合齿对间的相对位移 , 根据啮合 区啮合齿 对数不断变 化的特点 , 推导出 不同啮合齿 对 间摩擦力力臂计算公式 , 考虑了双齿啮合区的齿面摩擦力对齿轮系统振动的影响 , 推导了系统多间隙 , 变参数和 多自由度 的动力学微分方程组。最后运用变步长 G ill积分法求解系统多自由度间隙型非线性微分方程组 , 得到了考虑滑动摩 擦力 影响时系统的振动响应。 关键词 : 行星齿轮 ; 摩擦力 ; 非线性动力学模型 ; 时变啮合刚度 ; 齿侧间隙 中图分类号 : TH 132. 4 文献 标识码 : A
角速度。 设第 i对齿的综合啮合刚度为 k i, 函数 m od ( x, y ) = x - y f loor( x /y ), y 0 , f loor 函数值为小于等于其自 变量值的最大整数 , 则齿轮副的啮合刚度为 : k1 m od( t, Tm ) < ( 2 - )Tm k= k1 + k2 m od( t, Tm ) ( 2 - )Tm k j, 1 = k 1 kj, 2 = 0 m od( t, Tm ) < ( 2 ( 2j j
[ 12]
( 17 ) ( 18 )
。
p sn - M i
ej ( t) = E j sin( m t + j ) ( 10) 式中, m 为行星齿轮啮合齿频 , E j 为齿轮副 j 的综合啮 合误差的幅值, j 为齿轮副 j 的啮合初相位。 ( 2) 齿圈 r 相对于行星轮 n 沿啮合线方向的位移
j
), ceil 函
数值为大于等于其变量值的最小整数。由于齿轮副的 重合度一般在 1 和 2之间, 所以 的值为 2 。Tm 可以表 示为 : Tm = z n 为行星轮 n 的齿数, 2 ( 2) zn nc n c为行星轮 n 在动坐标系中的
行星架转动 ; Oxy 为动坐标系 , 原点也在行星架回转中 心 , 该坐标系与行星架固连并随行星架以其理论角速 度 c 等速旋转 , 其 x 轴通过第一个行星轮的理论中心。 坐标系 O n xn yn 也与行星架固连并随行星架一起等速旋 转 , 其原点位于行星轮 n 的理论中心 O n, 其坐标轴与坐 标系 Oxy 的两坐标轴分别平行。为了方便描述, 本约 定如无特别指出 , 定义 i = 1 , 2 ; j = sn, rn; h = s , r, c, n; n 代表第 n 个行星轮, n = 1 , 2 , , N, N 为行星轮个数。 模型中共包含 3 N + 9 个自由度 , 其广义坐标分别 为 : 太阳轮 s 的扭转线位移 u s = rs s, 齿圈 r 的扭转线位 移 ur = rr r, 第 n 个行星轮相对行星架的扭转线位移 un = rn n, 行星架 c 的扭转线位移 u c = r c c, 以及各构件的 平移位移 x s, y s, x r, y r, x c, y c, x n, y n。其中, rh 为构 件 h 的基圆半径 ( r c 为行星轮中心分布圆的半径 ), h 为构 件 h 的角位移。
由于系统齿轮副的重合度大于 1 , 在考虑多齿对进 行啮合的时候 , 不同齿对 间摩擦 力的力臂 也不一 样。 另外 , 由于行星轮系比定轴轮系的结构更复杂 , 行星轮 在啮合时受到多个摩擦力的作用 , 因此系统动力学模 型将更为复杂。建立模型时采用以下假设 : 各构件在各个方向上的支撑刚度相等; 各齿轮均为渐开线直齿圆柱齿轮 , 齿轮之间的 啮合力始终作用在啮合线方向上 , 支承、 轮齿被简化为 弹簧 , 齿轮体及行星架被视为刚体 ; 系统各处滑动摩擦力系数是常数并且都相等; 各齿轮均是按照标准中心距安装。 本文采用集中质量法, 建立了 2K H 型行星齿轮传 动系统平移 - 扭转耦合非线性动力学模型 , 如图 1 所 示 ( 摩擦力未表示 ) 。 平移 - 扭转耦合非线性动力学模型考虑了齿轮的 平移振动和扭转振动 , 因此显著地增加了系统的自由 度, 系统动力学微分方程组变得更为复杂。为了方便 系统微分方程的 建立和求 解, 建 立如下几 个坐标 系: OX Y 为静坐标系 , 原点在行星架回转中心, 坐标系不随
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J OU RNAL O F V IBRAT I ON AND SHOCK
含摩擦力的行星齿轮传动系统非线性动力学模型
朱恩涌 , 巫世晶 , 王晓笋 , 邓明星 , 潜
( 1. 武汉大学 动力与机械学院 , 武汉 3. 中国北方车辆研究 所 车辆传动国家重点实验室 , 北京
j
- 1 )Tm = ceil(
t1 t2 = ( 2 - j )Tm 同时啮合的齿对数的最大值为
图 1 行星齿轮平移 - 扭转耦合振动模型 F ig . 1 P lane tary gear translational rota tiona l coupling dynam ic m odel
( 1)
)Tm )Tm
( 5)
(2:
cj, i为齿轮副 j 第 i 对啮合齿的有效阻尼。则齿轮副第 i 对啮合齿的啮合力可表示为 F j, i = k j, i ( t ) f ( j ) + cj, i ( t ) ( 6) j 式中 , j 为齿轮副的相对位移, f ( j ) 是齿侧间隙非线性 函数 , 其表达式如下所示 :
[ 8]
相对于定轴齿轮传动系统, 行星齿轮传动系统具 有体积小、 重量轻、 结构紧凑、 承载能力强等特点, 广泛 应用于汽车、 航空、 舰船等领域。行星齿轮传动系统的 振动和噪声是影响机器可靠性和寿命的重要因素 。 因此, 为了减小行星齿轮的振动和噪音 , 建立准确的动 力学模型是十分必要的。行星齿轮传动系统在运转过 程中, 齿轮副间摩擦力的大小和方向都呈周期性变化 , 形成一种内部激励, 这也是引起齿轮振动的一个重要 激励源。对于普通定轴齿轮 传动系统, 已有很多学者 对含摩擦力齿轮动力学模型进行了深入研究。 V aishya [ 2] M 和 H ouser R 建立了考虑摩擦力和时变啮合刚度的 六自由度系统, 利用数值仿真方法研究了摩擦力对齿 轮系统动态特性的影响。随后利用谐波平衡法求解了 单自由度线性系统的周期解, 并分析了参数对系统的 [ 3] [ 4] 影响 。 Va ishya M. and S ingh R. 研 究了在不同工 况下齿轮摩擦力的状况并比较了摩擦力为线性时变、 线性时不变和非线性时变三种情况下齿轮动力学特性 的差异。 Gunda Ra jendra1 等 运用有限元模型建立了 一种考虑滑动摩擦力和时变啮合刚度的两级正齿轮动 力学模型。唐进元等 在考虑齿面摩擦、 齿轮时变啮 合刚度和齿侧间隙的情况下, 推导出了修正的齿轮系 统非线性动力学模型, 得到了齿轮副非线性振动微分 方程。对于行星齿轮传动系 统, 也有一些研究人员建 [ 7] 立了系统各种动力学模型。 L in . Jian 建立了无阻尼 的行星齿轮平移 - 扭转耦合振动线性动力学模型 , 并 用该模型研究了行星齿轮传动系统的固有频率、 振动 模态和参数不稳定性等特性。 A l- shyyab . A. 和 Kahra
2 an 2 n 2 2
= ( x n - x s ) sin sn + ( y s - y n ) cos us + un - esn ( t )
sn
sn
+ ( 8) ( 9)
=
n
-
式中, n 为第 n 个行星轮的理论中心到行星架理论中 心的连线 OO n 与坐标轴 x 正方向的夹角 , 为齿轮副 的啮合角, esn ( t )为太阳轮与行星轮轮齿间的综合啮合 误差。一般假定综合啮合误差按正弦函数变化
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2010 年第 29卷
图 2 用矩形波近似的直齿轮 时变啮合刚度 F ig . 2Ti m e vary ing mesh stiffnesses of s i m u lating w ith spu r gear rectangular
的重合度。齿 轮副综合 啮合刚度 的计算 有两部 分组 成, 即双对齿区 ( t0 t1, t2 t3 ) 和单 对齿区 ( t1 t2 ) 。在双对 齿区 , 可以通过齿轮副的几何关系计算出双齿区的啮 合位置, 即求 t1 和 t2 的值。根据齿轮副运动关系可以 得出以下关系式; t0 t1 + t2 t3 = (
j
- bj 0 + bj
j j j
> bj bj ( 7) < - bj
f( j) =
j
第 8期
朱恩 涌等 : 含 摩擦力的行星齿轮传动系统非线性动力学模型
219
其中, 2b j 为齿轮副齿侧间隙。 2 2 齿轮的相对位移 根据处于啮合状态的各齿 轮的相对位置关系, 计 算各齿轮间的相对位移。 ( 1) 太阳轮 x 相对于行星轮 n 的位移沿啮合线方 向的投影 sm 为:
sn
3 1 太阳轮与行星轮之间的摩擦力臂 由于齿轮副的重合度大于 1 , 当齿轮旋转经过一个 基圆齿距 P 则下一齿对进入啮合。令 : M 1 = m od( rn nc t, p )
( 16 ) M 2 = m od( rn nc t, p ) 式中 , n c为第 n 个行星轮在行星架坐标系中的转动角 速度。 根据齿轮旋转运动学可知, t = 0 时刻为时间起点, 太阳轮和行星轮之间的摩擦力臂分别为: lsn, i = ( r s + rn ) tan - ran - rn + ( i - 1) p sn + M i lns, i = r - r - ( i - 1)
( 3)
若在一个啮合周期内分别考虑啮合的两对齿则有 )Tm )Tm ( 4)
k 2 m od( t, Tm )
式中 , kj, t表示齿轮副 j 第 i对啮合齿的综合啮合刚度。 同理 , 在一个啮合周期内单对啮合齿的综合啮合阻尼 可表示为 : cj 1 = c1 cj2 = 0 c2 m od( t, Tm ) < ( 2 m od( t, Tm )
太阳轮的扭转和横向位移 , 齿侧间隙以及齿轮的啮合 刚度波动。但目前还没有在建立行星齿轮传动系统动 力学模型时考虑齿面摩擦力的研究文献。如何结合啮 合摩擦力和时变啮合刚度 , 并考虑齿侧间隙和综合误 差的影响 , 建立行星齿轮平移 - 扭转耦合动力学模型? 本文将解决这个问题。
1 系统非线性动力学模型
[ 6] [ 5] [ 1]
m an . A.
建立一种离 散的单极行星齿轮非 线性扭转
振动动力学模型, 该模型考虑了所有可能的功率流分 配, 适合任意数量、 间距、 啮合相 位的行星齿轮传动系 统, 同时也考虑变啮合刚度和齿侧间隙。 W alha 和 L as saad1 等
[ 9]
建立的模型中, 考虑了行星轮、 齿圈、 系杆和
[ 11] j j
2 啮合位移和啮合力
2 1 轮齿时变啮合刚度和啮合阻尼 在齿轮副的连续运转过程 中, 随着啮合齿对数的 [ 5] 变化, 齿轮副的啮合刚度会随时间周期性变化 。齿 轮在啮合过程中存在单齿啮合与双齿啮合, 对于某一 轮齿, 它在刚进入啮合时该齿轮副处在双齿啮合区 ; 一 段时间后则变为单齿啮合; 在它将要啮出时又进入双 齿啮合阶段。在一对齿轮传动时, 其重合度的大小 , 实 质上表明了同时参与啮合的轮齿对数的平均值。假定 单对齿啮合刚度在啮合过程中不变, 直齿轮的啮合刚 [ 10 ] 度可假定按照矩形波规律变化 , 如图 2 所示。 图中 k 1 表示第一对齿的啮合刚度 , k2 表示第二对 齿的啮合刚度, Tm 表示一个啮合周期, j 表示齿轮副 j
基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( 50875189) , 武汉大学 优秀博士 学位 论文培 育 基 金 资 助 项 目 ; 车 辆 传 动 国 家 重 点 实 验 室 基 金 项 目 ( 9140C340101101) 收稿日期 : 2009 - 05- 21 修改稿收到日期 : 2010- 04- 13 第一作者 朱恩涌 男 , 博士生 , 1983年生
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430072; 2. 武汉科技大学 , 武汉
430081;
100072)
摘
时 变啮合刚度、 齿侧间隙和综合啮合误差的 2K - H 型行星齿轮平 移 - 扭转 耦合 要: 建立了一种考虑摩擦力、
非线性动力学模型。分析计算了啮合齿对间的相对位移 , 根据啮合 区啮合齿 对数不断变 化的特点 , 推导出 不同啮合齿 对 间摩擦力力臂计算公式 , 考虑了双齿啮合区的齿面摩擦力对齿轮系统振动的影响 , 推导了系统多间隙 , 变参数和 多自由度 的动力学微分方程组。最后运用变步长 G ill积分法求解系统多自由度间隙型非线性微分方程组 , 得到了考虑滑动摩 擦力 影响时系统的振动响应。 关键词 : 行星齿轮 ; 摩擦力 ; 非线性动力学模型 ; 时变啮合刚度 ; 齿侧间隙 中图分类号 : TH 132. 4 文献 标识码 : A
角速度。 设第 i对齿的综合啮合刚度为 k i, 函数 m od ( x, y ) = x - y f loor( x /y ), y 0 , f loor 函数值为小于等于其自 变量值的最大整数 , 则齿轮副的啮合刚度为 : k1 m od( t, Tm ) < ( 2 - )Tm k= k1 + k2 m od( t, Tm ) ( 2 - )Tm k j, 1 = k 1 kj, 2 = 0 m od( t, Tm ) < ( 2 ( 2j j
[ 12]
( 17 ) ( 18 )
。
p sn - M i
ej ( t) = E j sin( m t + j ) ( 10) 式中, m 为行星齿轮啮合齿频 , E j 为齿轮副 j 的综合啮 合误差的幅值, j 为齿轮副 j 的啮合初相位。 ( 2) 齿圈 r 相对于行星轮 n 沿啮合线方向的位移
j
), ceil 函
数值为大于等于其变量值的最小整数。由于齿轮副的 重合度一般在 1 和 2之间, 所以 的值为 2 。Tm 可以表 示为 : Tm = z n 为行星轮 n 的齿数, 2 ( 2) zn nc n c为行星轮 n 在动坐标系中的
行星架转动 ; Oxy 为动坐标系 , 原点也在行星架回转中 心 , 该坐标系与行星架固连并随行星架以其理论角速 度 c 等速旋转 , 其 x 轴通过第一个行星轮的理论中心。 坐标系 O n xn yn 也与行星架固连并随行星架一起等速旋 转 , 其原点位于行星轮 n 的理论中心 O n, 其坐标轴与坐 标系 Oxy 的两坐标轴分别平行。为了方便描述, 本约 定如无特别指出 , 定义 i = 1 , 2 ; j = sn, rn; h = s , r, c, n; n 代表第 n 个行星轮, n = 1 , 2 , , N, N 为行星轮个数。 模型中共包含 3 N + 9 个自由度 , 其广义坐标分别 为 : 太阳轮 s 的扭转线位移 u s = rs s, 齿圈 r 的扭转线位 移 ur = rr r, 第 n 个行星轮相对行星架的扭转线位移 un = rn n, 行星架 c 的扭转线位移 u c = r c c, 以及各构件的 平移位移 x s, y s, x r, y r, x c, y c, x n, y n。其中, rh 为构 件 h 的基圆半径 ( r c 为行星轮中心分布圆的半径 ), h 为构 件 h 的角位移。
由于系统齿轮副的重合度大于 1 , 在考虑多齿对进 行啮合的时候 , 不同齿对 间摩擦 力的力臂 也不一 样。 另外 , 由于行星轮系比定轴轮系的结构更复杂 , 行星轮 在啮合时受到多个摩擦力的作用 , 因此系统动力学模 型将更为复杂。建立模型时采用以下假设 : 各构件在各个方向上的支撑刚度相等; 各齿轮均为渐开线直齿圆柱齿轮 , 齿轮之间的 啮合力始终作用在啮合线方向上 , 支承、 轮齿被简化为 弹簧 , 齿轮体及行星架被视为刚体 ; 系统各处滑动摩擦力系数是常数并且都相等; 各齿轮均是按照标准中心距安装。 本文采用集中质量法, 建立了 2K H 型行星齿轮传 动系统平移 - 扭转耦合非线性动力学模型 , 如图 1 所 示 ( 摩擦力未表示 ) 。 平移 - 扭转耦合非线性动力学模型考虑了齿轮的 平移振动和扭转振动 , 因此显著地增加了系统的自由 度, 系统动力学微分方程组变得更为复杂。为了方便 系统微分方程的 建立和求 解, 建 立如下几 个坐标 系: OX Y 为静坐标系 , 原点在行星架回转中心, 坐标系不随