现代控制理论CA08-状态方程

y 1 0 ... 0 x
u bn + + + ∫ -an-1 -a1 -a0
xn
∫
x2
∫
x1
y
例：已知线性微分方程，求状态空间表达式。
6 11y 6 y 6u y y
选择状态变量
x1 y, x2 y, x3 y
状态方程
1 0 0 0 0 x 0 u x 0 1 6 11 6 6
第8讲 控制系统的状态空间描述
课程内容: 状态和状态空间的含义


根据微分方程列写状态方程
传递函数与状态方程之间的变换
现代控制内容总览
建模 定性分析
稳定性
反馈设计
需要掌握内容：
• 古典控制理论和现代控制理论 的区别. • 根据系统机理建立状态方程. • 根据微分方程、传递函数、方 框图建立状态方程.
y an1 y
( n)
( n1)
...... a1 y a0 y b0u
x1 y x y 2 : xn y ( n 1)
x1 y x2 y x2 x3 : ( n 1) xn 1 y xn n xn y a0 x1 a1 x2 ... an 1 xn b0u
0 0
y 0 0 ... 1 x
3、并联分解（相异极点）
kn k1 k2 Y ( s) G( s) ... U (s) s s1 s s2 s sn
kn k1 k2 Y ( s) U ( s) U (s) ... U ( s) s s1 s s2 s sn
向量形式的状态方程和输出方程为
0 0 x : : a0
1 0 : : a1
0 1 : : a2
0 1 ... 0 2 : : x : u : : : n ... an 1 ...
选择状态变量,使导出的一阶微分方程组 的等式右边不出现u的导数项。通常把状态 变量取为y和u的各阶导数的组合。
x1 y 0u x x u 1 1 2 x3 x2 2u : xn xn 1 n 1u
y b0 b1 ...bm 0 x
2、能观测标准型
0 1 x : : 0 0 0 0 0 1 : : : a0 b0 b ... a1 1 : : x : u : : bm 0 ...1 an ...
y g ( x, u , t )
动态系统结构示意图
u
动力学 部件
x
输出部件
y
• 线性系统
x A(t ) x B(t )u y C (t ) x D(t )u
• 线性时不变系统
x Ax Bu y Cx Du
状态矩阵
输入矩阵
x Ax Bu y Cx Du
( m)
... b1z b0 z
xn z
( n1)
x1 z
x2 z
状态方程
0 0 x : : a0
1 0 : : a1
0 1 : : a2
0 0 0 ... 0 : : x :u : : : 1 ... an 1 ...
0 x1 x k 2 m
1 0 x1 b 1 u x2 m m
x1 y 1 0 x2
8.3 由微分方程列写状态方程
1. 微分方程中不含输入函数的导数
x1 y 0 1 x2
例2
（1）微分方程
d y dy m b ky u dt dt
（2）状态变量
2
x1 y
x2 y
（3）状态方程与输出方程
x1 x2
k b 1 x2 x1 x2 u m m m
y x1
标准形式
8.1 状态空间的基本概念
系统的外部描述 输 入 变 量 u1 u2 up
y1
黑箱
y2 yq
输 出 变 量
系统的内部描述
输 入 变 量 u1
u2 up y1
x1, x2, ·, xn · ·
状态变量
y2 yq
输 出 变 量
状态和状态空间的定义
• 状态： 系统过去、现在和将来的状况 • 状态变量： 能完全表征系统运动状态的最小一组变量 • 状态向量： 以彼此独立的状态变量作为分量构成的向量 • 状态空间： 以状态变量为坐标构成的n 维空间
y 1 0 ... 0 x 0 u
例：已知微分方程，求状态空间表达式。
18 192 y 640 y 160u 640u y y
0 b3 0 1 b2 a2 0 0 2 b1 a2 1 a1 0 160 3 b0 a2 2 a11 a0 0 2240
• 状态变量组的不唯一性 任意两个状态变量组之间的关系
x Px
x Qx
QP PQ I
系统任取的两个状态x和x’之间为线性非 奇异变换关系
8.2 状态方程
状态方程：反映系统状态变量组x和输 入变量组u之间的动态因果关系
x f ( x, u, t )
输出方程：表征系统变量组x与输入变 量组u和输出变量组y之间的转换关系
向量形式的状态方程和输出方程为
s1 0 x: : 0
0 s2 : : 0
0 k1 k 0 ... 0 2 : : : x : u : : : : kn 0 ... sn 0 ...
输出矩阵 直接传输矩阵
方框图
D + C
u
B
x`
∫ A
x
y
+
例1：
（1）列写微分方程
di 1 Ri L idt u dt C 1 uc idt C
（2）确定状态变量和输入输出 状态变量
x1 i x2 uc u u
输入变量 输出变量
状态变量个 数等于独立 储能元件的 个数
y uc
（3）列写方程
• 状态方程
R 1 1 x1 x1 x2 u L L L
1 x2 x1 C
• 输出方程
y x2
标准形式
R x1 L x 1 2 C
1 1 L x1 L u x2 0 0
几点说明
• 状态变量组对系统行为的完全表征性
若初始时刻t0的初始状态变量组x(t0)给定， t≥t0各时刻的输入变量组u(t)给定，则系 统的任何一个内部变量在t≥t0 各时刻的 运动行为也就完全确定。
• 状态变量组的最小性 从物理角度，减小一个变量会破坏 系统行为描述的完全性；而增加一个变量 将不增加任何信息量。 从数学角度，状态变量组是系统所有 内部变量中线性无关的一个极大变量组。
输出方程
y 1 0 0 x
思 考？
x1 y, x2 x1 , x3 x2
2. 方程中含输入函数的导数
y
(n)
an 1 y
( n 1)
...... a1 y a0 y ... b1u b0u
bnu
(n)
bn 1u
( n 1)
m
源自文库m<n
1、直接分解
u D(s) z
y
N(s)
1 D( s ) n n 1 s an1s ... a1s a0
N (s) bms ... b1s b0
m
z
( n)
an1z
( n1)
1z a0 z u a
y bm z
取状态变量
Y ( s) 1 G( s) C ( sI A) B D U ( s)
• 多输入多输出系统
u1 u2 up
MIMO
y1 y2 uq
定义第i个输出yi和第j个输入uj之间的 传递函数
Yi ( s) gij ( s) U j ( s)
Y (s) G(s)U (s)
Y1 g11 Y g 2 21 Yq g q1 g12 g 22 gq 2 g1 p U1 U g2 p 2 g pq U p
对角化与运动求解
系数可通过下式得到
0 bn 1 bn 1 an 1 0 2 bn 2 an 11 an 2 0 : n b0 an 1 n 1 a1 0 a0 0
对状态微分方程组求导得：
x1 x2 1u x2 x3 2u : xn 1 xn n 1u xn a0 x1 a1 x2 ... an 1 xn nu
向量形式的状态方程和输出方程
x1 0 x 0 2 : : : : xn a0
1 0 : : a1
0 1 : : a2
0 0 0 ... 0 : : x : u : : : b0 ... an 1 ...
1 0 0 0 0 x 160 u x 0 1 640 192 18 2240
y 1 0 0 x
8.4 传递函数描述导出状态空间描述
bm s ... b1s b0 G( s ) n n 1 s an1s ... a1s a0
k1 X1 ( s) U (s) s s1 Xn kn U (s) s sn
sX1 (s) s1 X1 (s) k1U (s) sX n (s) sn X n (s) knU (s)
x1 s1 x1 k1u xn sn xn knu
y x1 x2 xn
y 1 1 ... 1 x
k1 u
+
∫
x1
s1 k2
+ ∫ s2 x2 y
k3
∫
+
x3
sn
8.5 状态方程与频域转换(了解）
• 单输入单输出系统
x Ax Bu y Cx Du
sX (s) AX (s) BU (s) Y ( s) CX ( s) DU ( s)