《金融工程》习题课

《金融工程》复习题

1、假设一种不支付红利的股票，目前的市价为20元，我们知道在6个月后，该股票价格要么是22元，要么是18元。假设现在的无风险年利率等于10%（连续复利），求一份6个月期执行价格为21元的该股票欧式看涨期权的价值。 （考点：无套利定价）

解：为了找出该期权的价值， 可构建一个由一单位看涨期权空头和∆单位的标的股多头组成的组合。

若到期日股票价格为22，则该期权执行，则组合价值为22∆－1 若到期日股票价格为18，则该期权不执行，则组合价值为18∆ 为了使该组合在期权到期时无风险，∆必须满足下式： 令

22∆－1＝18∆，（上升或下降两种情况下期末组合价值相等，消除了组合价值在期末的不确定性） 解得∆=0.25，期末组合价值始终为4.5元

根据无套利定价原理，无风险组合只能获得无风险利率，所以组合的现值为0.100.5

4.5 4.28e

-⨯⨯=

由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场价格为20元，因此，期权费f （期权的价值）必须满足

20*0.25 4.28f -=，解出0.72f =。

2、假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3个月期远期价格。如果三个月后该股票的市价为15元，求这份交易数量为100单位的远期合约多头方的价值。

（考点：远期价格和远期合约价值）

解：该股票3个月期远期价格

()0.100.2520r T t r t t t F S e S e e τ-⨯===⨯

三个月后交易数量为100单位的远期合约多头方的价值

()100100()100()r T T T T T V f S Ke S K --=⨯=⨯-=⨯-

3、某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票目前市价等于30元，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，交易单位为100,请问：①该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值等于多少？②3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？ 解：①该股票6个月期远期价格

()()

1516%*6%*6%*6122301*1*28.89r T t t t F S I e

e e e ---⎛

⎫=-=--= ⎪⎝⎭

若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价值等于

(0)00()0r T f F K e --=-=

（公式提示：()()()()r T t r T t t t t f S I Ke F K e ----=--=-）

②3个月后远期价格和该合约空头价值分别为

()()()

21

6%*6%*1242

16%*

6%*

12

4

351*34.52()(351*28.89*) 5.55

r T t t t r T t t t F S I e e e f S I Ke

e

e

------⎛

⎫=-=-= ⎪⎝⎭

=---=---=-

4、已知某商品现货市场价格波动率为0.30,期货市场价格波动率为

0.45, 现货市场价格与期货市场价格相关系数为0.96，求最优对冲比率。（请先给出最优对冲比率的推导过程）

解：对于一单位商品现货，使用h 单位的期货来对冲，现货价格用t S 表示，期货价格用t F 表示，使用对冲策略后组合的损益

t t t v S h F ∆=∆-⋅∆，

其方差

2222()()()22S F S F

D v D S h D F h h ρσσρσσ∆=∆+∆-=+-把()D v ∆看成h 的二次函数，求函数最小值，令函数关于h 一阶导数等于零，可以解得

S F

h σρ

σ=，此即为最优对冲比率。

根据题给数据可得

0.300.960.640.45

S F h σρσ==⨯=

5、一家金融机构与A 公司签订了一份5年期的利率互换协议，收取10%的固定年利率，支付6个月期的LIBOR ，本金为$10,000,000，每6个月支付一次。假设A 公司未能进行第六次支付（即在第3年末违约），当时的利率期限结构是平坦的，都为8%（按半年计一次复利计），而第3年年中的6个月期的LIBOR 为年利率9%。请问，该金融机构的损失是多少？

解：该金融机构的损失即当时利率互换合约对该金融机构的价值

()()()

234

0.50.50.510.5

0.510.450.41314%14%14%14%fix fl V B B =-=+

+++-=++++百万美元

6、假设在一笔互换合约中，某一金融机构支付6个月期的LIBOR ，同时收取8％的年利率（半年计一次复利），名义本金为1亿美元。互换还有1.25年的期限。3个月、9个月和15个月的LIBOR （连续复利率）分别为10％、10.5％和11％。上一次利息支付日的6个月LIBOR 为10.2％（半年计一次复利）。

在这个例子中400K =万，*510K =万，因此

0.1*0.250.105*0.750.11*1.254410498.24fix B e e e ---=++=百万，

对于浮动利率债券，将下次利息支付日的利息和本金之和贴现求得现值

0.1*0.25(100 5.1)102.51fl B e -=+=百万，

互换对于该金融机构的价值

98.24102.51 4.27fix fl V B B =-=-=-百万

（这道题是课件中的例题，比较经典，所以补充到复习题中来，关于浮动利率债券定价复习课中讲得不是太准确，以课件为准）

7、某无红利支付股票的欧式期权执行价格为29美元，股票现价为30美元，无风险年利率为5%，股票年波动率为25%，期权到期日为4个月。（1）如果该期权为欧式看涨期权，计算其价格；（2）如果该期权为欧式看跌期权，计算其价格；（3）验证看涨看跌期权平价关系

是否成立。

解：在本题中，030,29,0.05,0.25,0.3333S K r T σ=====

所以：

212

20.4225

0.2782

d d ==== (0.4225)0.6637,(0.2782)0.6096

(0.4225)0.3363,(0.2782)0.3904

N N N N ==-=-=

因此：

（1）欧式看涨期权的价格为：0.050.3333300.6637290.6096 2.52e -⨯⨯-⨯= （2）欧式看跌期权的价格为：0.050.3333290.3094300.3363 1.05e -⨯⨯-⨯= （3）欧式看涨看跌期权平价关系为：()0r T t p S c Ke --+=+

将()02.52,30,29, 1.05,0.9835r T t c S K p e --=====带入上式，可以发现计算出的欧式看涨看跌期权的价格满足欧式看涨看跌期权平价关系。

8、某无分红股票现货市场价格为90元，以该股票为标的资产的执行价格为90元三个月到期的远期合约市场转让价格为3元，无风险利率为10%(连续复利)，使用BS 微分方程判断是否存在套利空间（或判断该远期合约定价是否合理） 解：BS 微分方程

222212f f f rS S rf t S S

σ∂∂∂++=∂∂∂ 远期定价公式为()r T t f S Ke --=-，

()r T t f rKe t --∂=-∂，1f S

∂=∂，220f S ∂=∂，因而BS 微分方程的左边 3

0.10()12

0.10900.10900.22r T t rKe rS e

-⨯

---+=-⨯+⨯=

BS 微分方程的右边

0.1030.30rf =⨯=，当前的远期合约定价不能使得BS 微分方程成立，故存在套利空间。

9、设某股票现价30元，价格波动率30%，1个月和10个月后分别有2元的股利发放，考虑以该股票为标的，执行价为30元，有效期还有9个月的欧式看涨和看跌期权的价格。假设无风险利率为6%。

解：1个月后股利的现值1

0.0612

2 1.99I e

-⨯

=⨯=

（以下步骤只给过程，没有给出计算结果，请自己计算）

1d =

=

2d =

=

9个月的欧式看涨的价格

9

0.06()

12

12()()()(30 1.99)()30()r T t c S I N d Xe

N d N e

N -⨯

--=--=-•-•

9个月的欧式看跌的价格

9

0.06()

12

21()()()30()(30 1.99)()

r T t p Xe

N d S I N d e

N N -⨯

--=----=•--•

补充：如果题给条件是连续红利为q ，那么公式变为

1d =

2d =

()()12()()q T t r T t c Se N d Xe N d ----=-

()()21()()r T t q T t p Xe N d Se N d ----=---

10、假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票3个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。要求使用二叉树定价法，分3期对该期权定价。（提醒：计算中间过程保留四位小数，价格数据保留两位小数） 解：

0.40 1.1224u e

e

σ===，1

0.8909d

u

=

=， 风险中性概率1

0.1012

0.8909

0.50761.12240.8909

r t e d e p u d ⨯

∆--=

==--，

11、证明：欧式股票买权定价公式是B-S微分方程的解。

（本题请自行推导一遍，答案仅供参考，如看不清，可双击以下公式打开公式编辑器查看或导出成图形格式）

()

()

()(

)

()

()

()(

)

()

22

1

2

1

22

2

2

2

12

(

1

1

()ln

22

2

()ln

22

2

r T

s

r r T t

x

d

t T t

d

r

T t T t

s

r r T t

x

d

t T t

d

r

T t T t

d d

s s

d

c

f d s r xe

t t

σ

σσ

σ

σ

σ

σσ

σ

σ

-

⎡⎤-

⎛⎫

-+++-

⎢ ⎪

∂⎝⎭

⎣⎦

=

∂-

=-

--

⎡⎤-

⎛⎫

--+--

⎢ ⎪

∂⎝⎭

⎣⎦

=

∂-

=-

--

∂∂

∂∂

∂

∂

=⋅⋅-⋅

∂∂

()

()()

()()

(

)()2

22

()()

12 122

()

112

()

12

()()

()()

22 ()(

()(

t r T t

r T t r T t

r T t

r T t

d

N d xe f d

t

d d

r r

f d s r xe N d xe f d

T t T t T t T t

c

N d sf d xe f d

s

f d

N d xe f d

σσ

---

----

--

--

∂

⋅-⋅

∂

⎡⎤⎡⎤=⋅--⋅⋅-⋅-

⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦

∂

=+⋅

∂

=⋅

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(

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2()

2

11()2

2

222

()

12

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22

2

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1

2

r T t

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f d f d

c

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f d f d d d

xe f d

s T t s T t

f d s r

c

r s rsN d xe f d

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σσ

σ

--

--

--

=-

∂

⋅⎡

+⋅⎢

--

⎣

⋅⋅

∂

⋅⋅=⋅

∂

∂

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11()2

2

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12

2

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2()2()

1

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2

r T t

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s f d s d d

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c c c

rs s rsN d rxe N d rc

t s s

σ

σ

--

--

⋅⋅⎡

+⋅⎢

--

⎣

∂∂∂

++=-=

∂∂∂