材料力学第一章轴向拉伸与压缩

q N(x)
x
x
N(x)0qdxqx
12
§1–3 截面上的应力及强度条件
一、拉（压）杆横截面上的应力
1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。
纵向纤维变形相同。
13
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉伸应力： P
Pmax55.44kN
34
[例8] 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重
为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力 为[]。
L
分析：
x
A
B
VABDLBD;
P
C ABD NBD / ;
LBD h / sin 。
h
D
35
L x
XA A
B
YA
NBD
PC
解： BD杆内力N( )： 取AC为研究对象，如图
应力[]=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。
q
q
C
A
钢拉杆
8.5m
B
18
解：① 整体平衡求支反力
HAA
RA
q
q
C
钢拉杆
8.5m
X0 HA0 mB0 RA19.5kN
RB
19
q
HAA
RA
② 局部平衡求 轴力：
m C0 N2.3 6kN
HC
C
③应力：
RC
max
N A
4P
d2
N
4 26.3103 3.140.0162
15
4. 强度设计准则（Strength Design）： 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。
maxmaN A x(((xx)))
其中：[]—构件的许用应力， max--危险点的最大工作应力。
关于许用应力-- []
jx
n
极限应力：jxs,0.2,b材料特性，由试验确定；
安全系数：n>1 综合因素，考虑：材料、受力、工
P
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求：斜截面k-k上的应力。 解：采用截面法
P
a
k
k
Pa
由平衡方程：Pa=P
a
则：
pa
Pa Aa
k Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。
由几何关系：coa s A
Aa
AacA oas 代入上式，得：
paA PaaP Acoas0coas 斜截面上全应力： pa0coas 28
斜截面上全应力： pa0coas P
5
6
§1–2 轴力及轴力图
一、轴力 拉压杆外力作用所引起的内力系的合力是沿轴线方向
的一个力，故称为轴力，用N表示。
P
P
7
截面法求N。
P
A
P
截开：
P
A P
简图
代替：
P
N
x
A
平衡： X 0 NP0 PN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
8
3. 轴力的正负规定: N
N 与外法线同向,为正轴力(拉力)
上的应力情况，称为这点的应力状态。
2、单元体：单元体—构件内的点的代表物，是包围被研究点的
无限小的几何体，常用的是正六面体。
单元体的性质—a、平行面上，应力均布；
M P
b、平行面上，应力相等。
3、拉压杆内一点M 的应力单元体:
38
4、拉压杆斜截面上的应力
取分离体如图3， a 逆时针为正；
a 绕研究对象顺时针转为正；
一、概念 轴向拉压的外力特点： 外力的合力作用线与杆的 轴线重合。
轴向拉压的变形特点： 杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向缩扩。
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
3
力学模型如图
P
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
4
二、
工 程 实 例
轴力图如右图 N
2P + –
3P
BC
PB
PC
N3
C
PC N4
5P
+
P
D PD D PD D PD
x
11
[例2] 图示杆长为L，受轴线方向均布力 q 作用，方向如图，试画
出杆的轴力图。 q
解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
L
取左侧x 段为对象，内力N(x)为：
O x
N – qL
N(x)maxqL
2.塑性材料
应力集中对塑性材料在静载作用下的强度影响不 大，因为σmax 达到屈服极限，应力不再增加，未达 到屈服极限区域可继续承担加大的载荷，应力分布 趋于平均。
在静载荷情况下，不需考虑应力集中的影响；但 在交变应力情况下，必须考虑应力集中对塑性材料 的影响。
27
二、拉(压)杆斜截面上的应力
k
设有一等直杆受拉力P作用。 P
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
N1
A
BC
D
x
PA
PB
PC
PD
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
X 0 N 1 P A P B P C P D 0
N 1 5 P 8 P 4 P P 0 N1 2P 10
同理，求得AB、
N2
BC、CD段内力分
别为：
N2= –3P
N3= 5P
N4= P
22
5. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、
截面到载荷作用点有一定 的 距离。
6. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
用方式的影响。
23
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
2
第一章 轴向拉伸和压缩
§1–1 轴向拉压的概念及实例 §1–2 内力、截面法、轴力及轴力图 §1–3 截面上的应力及强度条件 §1-4 拉压杆的变形 弹性定律 §1-5 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §1-6 拉压杆的弹性应变能 §1-7 拉压超静定问题及其处理方法
2
§1–1 轴向拉压的概念及实例
Pmax50kN
33
讨论：若 []6M 0 ;P Pmaa? x
P
B1
解(1)、(2)曲线交点处：
aB131;PB15.4 4kN
00
30 0
60 0 a
P B 1 , 6 0 A / ( c o s 6 0 s i n 6 0 ) 4 6 0 1 0 2 4 /3 5 5 . 4 4 k N
k
分解：
apaco as0co2as
pa apasian 0ca ossian 2 0si2 a Pn
a
k
k
a
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。
P
a
a pa
a a
当a = 0°时，(a)max0 (横截面上存在最大正应力) 当a = 90°时， (a)min0（纵截面上正应力等于零）
P
n
aP Asiancoas[] (2)
B
联立(1)、(2)得：
00
30 0
60 0 a
aB2.6,PB5k0N
32
(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左 侧由正应力控制杆的强 度，B点右侧由剪应力控制杆的强度。
P
B
当a=60°时，由(2)式得
00
30 0
60 0 a
P 6 0 0 A / ( c o s 6 0 0 s i n 6 0 0 ) 4 5 0 1 0 2 4 /3 4 6 . 2 k N
A≥ N
[ ]
=
3.78 10 6 90 10 6
=0.042m2
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[例6]图为一钢木结构。AB为木杆，其截面积AAB=10×103 mm2 ，许用压应力［σ］AB=7MPa；BC为钢杆，其截面积 ABC=600mm2 ，许用应力［σ］=BC=160MPa。试求B处可吊的最 大许可载荷P。
A≥
L PL NL EA EA
※“EA”称为杆的抗拉压刚度。
42
表2.1 常用材料的弹性模量及横向变形系数的约值
材料名称 铜 灰铸铁 球墨铸铁 铜及其合金(黄铜 、青铜) 锌及强铝 混凝土 橡胶
木材：顺纹 横纹
E(GPa)
190～210 80～150
160 74～130
72 14～35 0.078 9～12
i 1 E i Ai
44
例：求图示杆件的变形量。已知EI为常量，OA=BC=a， AB=CD=2a。
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
N
5P
2P +
+
P
x
–
3P
45
例：图示变截面杆是圆锥的一部分，左右两端的直径分别为 d1和d2，不计杆件的自重，只在两端作用轴向拉力P，试求 杆件的变形。
解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：
0P A34.11 40 10 2 00102.47MPa
m ax0/2 1 2 .4/2 7 6.7 3M P a
a a 2 0 ( 1 c o s 2 ) 1 2 2 7 .4 ( 1 c o s 6 0 0 ) 9 5 .5 M P a
a a2 0sin 2 1 2 2 7 .4 sin 6 0 0 5 5 .2 M P a
N(x) N ( x)
A
轴力引起的正应力 —— ： 在横截面上均布。
3. 危险截面及最大工作应力： 危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
max maxN A(((xx)))
14
例3：已知：AD段的直径30 mm，DB段的直径20 mm。作杆 的内力图，求杆的最大应力。
N N>0
N与外法线反向,为负轴力(压力)
N
N N<0
三、 轴力图—— N (x) 的图象表示。
意 ①反映出轴力与横截面位置变化关系，较直观；
义 ②确定出最大轴力的数值 N
及其所在横截面的位置，
P
即确定危险截面位置，为
+
x
强度计算提供依据。 9
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
况、安全重要性、计算模型等等
16
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
m ax
②设计截面尺寸：
Amin
Nmax
[ ]
③许可载荷：
N ma xA ;
Pf(Ni)
17
[例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布 集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用
31
[例7]图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用
拉应力为[]=100MPa ；许用剪应力为[]=50MPa ，并设杆的
强度由胶合面控制,杆的横截面积为A= 4cm²，试问:为使杆承受
最大拉力,a角值应为多大?(规定: a在0~60度之间)。
m P
a
P
解：aP Aco2as[] (1)
24
根据Saint-Venant原理：
25
7. 应力集中（Stress Concentration）：
由于截面尺寸急剧变化而引起的局部应力增大的现象。
·应力集中因数
K max m
26
不同性质的材料对应力集中的敏感程度不同
1.脆性材料
σmax 达到强度极限，此位置开裂，所 以脆性材料构件对应力集中很敏感。
m A 0 ,( N B sD i)n ( h ct ) g Px NBD
PL
hcos
BD杆横截面面积A：
ANBD /
36
L x
XA A
B
YA
NBD
PC
③ 求VBD 的最小值： VALBDAh/sin[]2sP iL n2; 45o时, Vmin2[P]L
37
补充： 1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面
由分离体平衡得：
a
a
x
图3
a a
0 cos2a 0 sinacosa
或:
a a
0
2
0
2
(1cos2a sin2a
)
39
§1－4 拉压杆的变形 弹性定律
一、拉压杆的变形及应变
ab cd
x L
2、线应变：单位长度的线变形。
1、杆的纵向总变形：
LL1 L
3、平均线应变：
L L1 L
L
L
40
29
当a = ± 45°时，|a|max20 (45 °斜截面上剪应力达到最大)
当a = 0,90°时， |a|min0 （纵截面上剪应力等于零）
事实上，通过受力物体内任一点处所取的相互垂直的两个截 面上，剪应力总是绝对值相等而正负号相反的。上述结论称为 剪应力互等定理
30
[例6] 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪应 力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和剪应力。
P
a´
b´
P
c´
d´
xdx
4、x点处的纵向线应变：
L1 6、x点处的横向线应变：
lim dx
x0 x 5、杆的横向变形：
ac
ac 7、泊松比（或横向变形系数）
a cacac 或:
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二、拉压杆的弹性定律 胡克（虎克）定律 1、等内力拉压杆的弹性定律
P
P
L PL A
※“E”称为材料的弹性模量。
0.49
μ 0.25～0.33 0.23～0.27 0.25～0.29 0.31～0.42
0.33 0.16～0.18
0.47
43
2、变内力拉压杆的弹性定律 NN（(xx)）
(dx) N(x)dx EA(x)
x
dx
LL(dx) L
N(x)dx EA(x)
内力在n段中分别为常量时
L n N i Li
131MP a
④强度校核与结论： m a 1 xM 3 1 P 1 aM 70Pa
此杆满足强度要求，是安全的。
20
[例5] 某冷锻机的曲柄滑块机构如图所示。锻压工作时，连杆接 近水平位置，锻压力P=3780kN。连杆横截面为矩形，高与宽之 比=1.4，材料的许用应力［σ］=90MPa (此处的［σ］已考虑到稳 定效应影响)，试设计截面尺寸h和b。