数学模型建模方法论一

目标态
教师的主要 教学目标
* 解决实际问题时，分析出问题的初态和 目标态很困难.
* 未清晰地描述出问题的“初态”和“目 标态”之前，过早地进入解决问题的阶段， 会条件不清、目标不明. 例6．飞行管理问题 尽量拓展思路的基础上, 再进行充分分析 得到的问题分解结果：
初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰 撞条件
, t0
r 其中 S , c K 1 N0 K
数学分析
1. 若 r＜0，则S＜0，随着 t ,则 N ( t ) 0
2. 若 r＞0，讨论Logistic曲线特征
(1) N ( t ) 0, N(t) 是单调上升函数.
K ( 2) K lim N ( t ) lim KSt t 1 Ce t
K是使得人口净增长率 r(K)=0 的人口数，可
理解为该地区能容纳的人口上限.
CK 3 S 2e KSt (Ce KSt 1) ( 3) 令 N ( t ) 0 KSt (1 Ce )
K 存在 t 0 使 N ( t 0 ) 0， x( t 0 ) , 且 2
距离
优 化 算 法
问题的初步理解和想法: 飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的 幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及 算法的实时性.
思考题：尝试读题与分析
MCM1999A题：强烈的碰撞 美国国家航空和航天局(NASA)从过去某 个时间以来一直在考虑一颗大的小行星撞击 地球会产生的后果。 作为这种努力的组成部分，要求你们队来 考虑这种撞击的后果，假如该小行星撞击到 了南极洲的话。人们关心的是撞到南极洲比 撞到地球的其他地方可能会有很不同的后果。
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学 建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
数学建模的重要意义
• 数学建模的创新作用 • 数学建模的综合作用
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。
掌握几类方法：问题解决法、思想表
达法、创造发明法. 对于创造能力 的培养不可或 缺
方法的共同特点： 怀疑一般常识，
不轻易否定别人的意见， 努力发现别人尚未察觉的事物等 以下介绍几种（个体和集体的）创造 性思维方法
一、打开思路的方法
发散性思维和猜测思维是创造性思维方 式的重要组成部分 面对新问题，应尽量打开自己的思路： 1. 不要轻易沿一条思路深入，不要轻易 做出结论. 2. 尽量多一些想法，多一些猜测。
马线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公
路,为方便行人，准备在一些特殊地点增设
“斑马线”,让行人可穿越公路,并且还要保
证行人的平均等待时间不超过15秒.
增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？
1. 考虑问题的立场, 司机或行人的哪方面的 利益更为重要？
2. 公路情况: 是否有弯道？车道间是否设 有安全隔离带？…… 3. 车流情况：车流的密度大小？ 4. 行人情况: 穿越公路的速度大小？穿越公
摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目
睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人
员伤亡和财产损失.
大楼内居住人员的安全保障在于无论发生
什么情况,都能使人员有组织,有秩序地进行
疏散撤离.
一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散 人员的演习.
问题分析 演习之前需要考虑许多方面, 如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离 路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个 较庞大的系统工程 应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如 * 一个房间内人员的撤离； * 一个通道的撤离；
目标态：实时调整，避免碰撞。 过程：建立碰撞的判别准则，优化管理方
案及相应算法.
1.4
•机理分析
数学建模的方法和步骤
根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
(4) 重新组合又会怎样？
为进一步打开思路可提以下问题： (5) 我们还可以做什么工作？ (6)有无需要进一步完善的内容？ (7) 可否换一种数学工具来解决此问题？ 针对问题和初始方案可以先设计出类似的 问题清单，然后反复展开。
例1 穿越公路问题
一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“冲”
过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑
想一想 此问题与我们遇到的哪一个建模问题 相类似？
分析 Logistic人口模型，t 时刻的人口数为
N N (t) rN(1 ) N0

N(t)
N 0 Ke rt K N 0 (e rt 1)

改写为
K K 1 ( N 1)e rt
0
,
t≥0
N (t )
K 1 ce KSt
* 一层楼人员的撤离；……
最后，将各个子问题重新组合起来.
2.关键词联想法
一种有效的发散思维方式. 主要步骤如下： (1) 抓住问题或方案的关键词,不受任何约束
地进行联想； (2) 把联想到的内容用关键词的方式登记 在卡片上,进一步激发产生新的想法,进一步 想出新的主意； (3) 再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题 的初步思路与步骤.
第一章
绪论
1.1 数学与数学的应用
1.2 数学建模
1.3 创造性思维方法 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 数学建模示例
1.1 数学与数学的应用
近半个世纪以来，数学的形象发生了很大 的变化，数学不在仅仅是数学家和少数物理学 家、天文学家、力学家等少数人手中的神秘武 器，它渐渐为越来越多的人们所了解和关注。
将问题分解为“三要素”的三个部分. 问 题 分 解 三 要 素 初态 觉察到的现在状态(目前“有什 么”，如条件、数据等). 目标态 觉察到的希望目标(想要什么、
希望达到什么等). 过程
能在“初态”和“目标态”之间发 生 作用的行动(能做什么).
例5 常见数学题目模式 已知 求（证）
解题
初态
过程
思考、思考、再思考.
提问题法 帮助展开思路的方法： 关键词联想法 1.提问题法 借助于一系列问题来展开思路. 面临难题, 束手无策时通过提出一系列问 题来导出一些想法或一个好的方案. 如： (l) 这个问题和什么问题相类似？ (2) 假如变动问题的某些条件将会怎样？
(3) 将问题分解成若干部分再考虑会怎样？
* 对问题仔细阅读, 首先抓住题目中的关键 词“管理”进行联想.
* 抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞” “立即”、“判断”等等词语. * 联系解决问题的方案,不加约束继续联 想，再将关键词搭配起来.
碰撞
立即
判断
条件 算法
优化问题 优 化 调 整 方 案
实时
避 免 碰 撞 调 整 方 向 角 实时 幅度尽量小 相对
假如小行星的直径大约为1000米，还假设它 正好在南极与南极洲大陆相撞。 要求你们队对这样一颗小行星的撞击提供 评估。特别是，NASA希望有一个关于这种撞 击下可能的人类人员伤亡的数量和所在地区 的估计，对南半球海洋的食物生产区域造成 的破坏的估计，以及由于南极洲极地冰岩的 大量融化造成的可能的沿海岸地区的洪水的 估计。
• 数学模型的桥梁地位
1.3 创造性思维方法
重要的科学思维方式之一是创新 思维，创新思维是创新能力的核心 与灵魂。
数学模型(E.A.Bendar 定义)： 关于部分现实世界为一定目的而做 的抽象、简化的数学结构。
现 实 世 界
建立数学模型 翻译为实际解答
数 学 世 界
推理 演绎 求解
实际解答：如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果。
此流程 具有指导意义 ，应注意 * 流程应用是弹性的，切不能生搬硬套. * 建模过程往往是一个反复循环的过程. 本章基本上按照此流程来介绍数学建 模的方法。
数学建模过程是一种创新过程，在思考
方法和思维方式上与学习其他课程有很大
差别。
数 学 创 新 思 维 类比思维 归纳思维 逆向思维 …….等等. 发散思维 猜测思维
例4 飞行管理问题 在约10,000米高空的某边长160公里的
正方形区域内，经常有若干架飞机作水平
飞行.区域内每架飞机的位臵和速度均由计
算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一
架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录
其数据后，要立即计算并判断是否会与区
域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应
计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞 行方向角，以避免碰撞.现假定条件如下： …… 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数 学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算 (方向角误差不超过0.01度).要求飞机飞行方 向角调整的幅度尽量小.记录数据为： …… 试根据实际应用背景对你的模型进行评价 与推广.
21世纪以高科技为核心的的知识经济占主 导地位，社会的信息化、数字化、及计算机 的应用也就日益广泛。
信息时代高科技的竞争本质上是 数学的竞争 ——钱学森
在经济竞争中数学科学是必不可 少的，数学科学是一种关键的、普遍 的、能够实行的技术 ——钱学森
现代数学在理论上更抽象，在方 法上更综合，在应用上更广泛，新的 数学分支层出不穷，相互交叉，相互 渗透。
定时间点后增长速度减缓，且有上界控制. 对原问题的分析： (1) 一般每户只需用1～2只电饭煲就足够, 一个地区的需求量是有限的； (2) 初期在广告之类推销作用下销售速度 较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓. 电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可 利用类比方法建立模型.
记x(t)为t 时刻已售出的电饭煲总数,市场
始于现实世界并终于现实世界
数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁，
怎样构架这座桥梁？
* 数学建模没有普遍适用的方法与技巧.
* 有一些普遍适用的思想方法与思维方式.
整个数学建模过程由若干个有 明显差别的阶段性工作组成
数学建模的各阶段工作
实际问题分析 建立数学模型
提交的分析及检验
学习数学很重要的一个方面在于 数学知识和数学方法的应用，数学可 以为组织和构造知识提供方法，用于 技术时就能使科学家和工程师们生产 出系统的、能复制的、可以传播的知 识。
1.2 数学建模
模型
是指所研究客观事物有关属性的模拟， 它具有事物中我们感兴趣的主要性质。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
路的人群密度？穿越公路者的性质？
例2 电饭煲销售问题
一种新产品刚面世，厂家和商家总是采
取各种措施促进销售，比如不惜血本大做
广告等等.他们都希望对这种新产品的推销
速度做到心中有数,厂家用于组织生产，商
家便于安排进货. 怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭 煲)推销速度，并由此分析出一些有用的结 果以指导生产.
强烈的碰撞读题分析
爆炸？
冲击波
热能释放 撞击
后果
地震、海啸、飓风
冰融 放射物
海岸线上升 洪水 减少日照、 大气层变化
粉尘放射
人员伤亡
沿海
所在地区
海啸、地震、洪水、放射物
冰融
食物生产区的破坏 对地球运行轨迹的影响
相关因素：
小行星形状、成分与密度 撞击角度、速度、位臵（运行轨迹） 太阳、地球、月亮——轨道 能量来源 引力、动能 南极冰盖的成分（深度、密度、温度） 以及冰盖下的成分 冰融的估算 大气环流 粉尘的传送
的饱和量(最大需求量)为M,利用Logistic模
型
X (t )
M
1 ce
kMt
, t0
来描述电饭煲的销售速度变化情况.
实际情况与Logistic销售曲线十分吻合 思考 请考虑现实中哪些变量的变化可用 Logistic模型进行描述？
例3 “9.11”事件的反思 现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的
温室效应
相关理论：
Newton引力模型 碰撞的动力学 冰的热力学（冰融、汽化）、热传导 生态系统（磷虾.krill） 水温 轨迹
后期工作：
预测与预警
二、整体把握问题的方法 有两种把握住问题的全貌的有效方法： (1) 层次结构法 (2) 问题分解法
问题分解法是一种简单而有效的把握问 题整体的方法.
当 t t 0 , N ( t ) 0, 即N ( t )单调上升；
当 t t 0 , N ( t ) 0, 即N ( t )单调下降。
k
k/2
N0 0
t0
人口不会无限增长，存在一个转折时 间点t0 ，过此点以后增长速度会减缓。
Logistic模型特点：初期高速增长，过一个特