驻波能量流动特性(参考)_994306910

驻波能量流动特性的一个教学方案

陈信义

（清华大学物理系，北京 100084）

摘 要 通过计算弹性棒中纵向驻波的能流密度，给出驻波中能量的流 动特性。

关键词 驻波；能流密度

通过计算弹性棒中纵向驻波的能流密度，给出驻波中能量的流动特性：在各波节和波腹处，能流密度为零而能量密度随时间的变化幅度最大，能量不能流过任何波节和波腹，只能在相邻的波节和波腹间流动;在相邻波节和波腹间的中点处，能流密度随时间的变化幅度最大而能量密度却始终不变，处于该点质元的各种行为与弹簧振子完全相同。

图1表示一个按纵向驻波形变的弹性棒。驻波的表达式为 t x k A t x y ωcos cos 2,=)( （1） 驻波的能量密度表达式为 ()

t kx A x y Y t y t x w ωωρρ2cos 2cos 12121,2222-=∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛)( （2）

式中ρ为介质的密度，Y 为杨氏模量。

下面计算驻波的能流密度。按胡克定律，截面所受应力为 x x y Y S F ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂= （3） 式中的S 为截面面积。截面的位移速度为

x t y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂= （4） 流过截面的能流密度，即流过单位截面的功率，可按下式计算

()u S F u S F t ,x j -=⋅= （5） 由上式可知，因波节处的截面固定不动，而波腹处的截面无形变不受应力，则在各波节和波腹处能流密度为零。能量不能流过任何波节和波腹，只能在相邻的波节和波腹间流动。

把（1）式代入（3）～（5）式可得能流密度

()t kx k YA t x j ωω2sin 2sin ,2

-= （6） 上式表明，驻波中的能流密度也是一个驻波，其波长为原驻波波长的一半，波节出现在原驻波的波节或波腹的位置上，而波腹则出现在原驻波相邻的波节和波腹间的中点处。

图2 t =T /12 时刻位移y （虚线）和能流密度 j （实线）

图2给出了t =T /12 时刻的位移y （虚线）和能流密度 j （实线）。以图中波腹x = 0 到相邻波节x =λ/4的区间为例说明。在此区间，能流密度取负值表示能量由波节流向波腹。此时刻弹性棒正在向平衡状态恢复，波腹处截面的动能在增加而波节处的形变势能在减小，能量由波节流向波腹。此外，能流密度驻波的波腹处于原驻波相邻的波节和波腹间的中点x =λ/8处，这里的能流密度的变化幅度最大。

下面讨论能流密度与能量密度的关系。因介质不吸收能量，则由图1 可知 [][]S t x x j t x j x S t x w t )()()(,d ,d ,+-=∂∂

（7）

由上式可得能量的连续性方程 x t x j t t x w ∂∂-=∂∂)()

(,, （8）

在原驻波的波节和波腹处，w 对t 的变化率最大，这里的j 虽为零，但j 对x 的变化率却最大；在原驻波相邻的波节和波腹的中点处，w 对t 的变化率为零，j 虽最大，但j 对x 的变化率却为零。这与（8）式是一致的。