第二讲 整式

第二讲整式

【基础知识回顾】

一、整式的有关概念：

：由数与字母的积组成的代数式

1、整式：

多项式：。

单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。

组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。

2、同类项：

①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。

②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。

【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是式。2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。】

二、整式的运算：

1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .

②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )

③整式加减的步骤是先，再。

【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要。】

2、整式的乘法：

①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。

②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)= 。

③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)= 。

④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，

Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。

【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。】

3、整式的除法：

①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。即（am+bm）÷m= 。

三、幂的运算性质：

1、同底数幂的乘法：不变相加，即：a m a n＝（a＞0，m、n为整数）

2、幂的乘方：不变相乘，即：(a m) n ＝（a＞0，m、n为整数）

3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂。

即：(ab) n ＝（a＞0，b＞0，n为整数）。

4、同底数幂的除法: 不变相减，即：a m÷a n＝（a＞0，m、n为整数）

【名师提醒：运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a)n = （n为奇数），(-a)n = （n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知3m=4,2n=3,则9m8n= 。】

【重点考点例析】

考点一：代数式的相关概念。

A．a=2，b=3 B．a=1，b=2 C．a=1，b=3 D．a=2，b=2

点评：考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点。对应训练

1．（2013•苏州）计算-2x2+3x2的结果为（）

A．-5x2B．5x2C．-x2D．x2

考点二：代数式求值

A．1 B．

2C．

2

D．

2

点评：此题考查了代数式求值，将已知与所求式子进行适当的变形是解本题的关键，利用了整体代入的思想．

例3 （2013•湘西州）下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为3时，则输出的数值为．

点评：此题考查了代数式求值，此类题要能正确表示出代数式，然后代值计算，解答本题的关键就是弄清楚题目给出的计算程序．

考点三：单项式与多项式。

例4 （2013•云南）下列运算，结果正确的是（）

A．m6÷m3=m2B．3mn2•m2n=3m3n3

C．（m+n）2=m2+n2D．2mn+3mn=5m2n2

点评：本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．对应训练

4．（2013•沈阳）下面的计算一定正确的是（）

A．b3+b3=2b6B．（-3pq）2=-9p2q2

C．5y3•3y5=15y8D．b9÷b3=b3

考点四：幂的运算。

例5 （2013•株洲）下列计算正确的是（）

A．x+x=2x2B．x3•x2=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x2

点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．

对应训练

5．（2013•张家界）下列运算正确的是（）

A．3a-2a=1 B．x8-x4=x2

C．=-2 D．-（2x2y）3=-8x6y3

考点五：完全平方公式与平方差公式

例6 （1）（2013•郴州）已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2= ．

（2）（2013•珠海）已知a、b满足a+b=3，ab=2，则a2+b2= ．

点评：此题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

例7 （2013•张家港市二模）如图，从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为acm，则另一边长是（）

A．（2a+3）cm B．（2a+6）cm C．（2a+3）cm D．（a+6）cm

点评：本题考查了图形的变化，正确理解：第一个图形中，从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm 的正方形，剩余部分的面积与第三个图形的面积相等，是解题的关键．

对应训练

6．（2013•徐州）当m+n=3时，式子m2+2mn+n2的值为．

7．（2013•攀枝花模拟）如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2

C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2

考点六：整式的运算

例8（2013•株洲）先化简，再求值：（x-1）（x+1）-x（x-3），其中x=3．

点评：此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

例9（2013•宁波）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）

A．a=5

2

b B．a=3b C．a=

7

2

b D．a=4b

点评：此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．

对应训练

8．（2013•扬州）先化简，再求值：（x+1）（2x-1）-（x-3）2，其中x=-2．

9．（2013•泰州）把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（）

A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1=S2D．无法确定