大一高等数学期末考试试卷及答案

大一高等数学期末考试试卷

一、选择题（共12分）

1. （3分）若2,0,(),0

x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1

2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h

→--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)12

3. （3分）定积分222

1cos xdx π

π--⎰的值为（ ）.

(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ).

(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限

二、填空题（共12分）

1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .

2. （3分） 1

241(sin )x x x dx -+=⎰ .

3. （3分） 20

1lim sin x x x

→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .

三、计算题（共42分）

1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+

2. （6分）设2,1

x e y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰

4. （6分）求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩

5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy

6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰

7. （6分）求极限3lim 1.2n

n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 四、解答题（共28分）

1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x

2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭

与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.

4. （7分）求函数1y x x =+-在[5,1]-上的最小值和最大值.

五、证明题(6分)

设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明

标准答案

一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.

二、 1 31;y x =+ 2

2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2

05lim 3x x x x →⋅= 5分 53

= 1分 2 解 22ln ln ln(1),12

x e x y x x ==-++Q 2分

2212[]121

x e x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2

x d x =++⎰ 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x

=++-+⋅+⎰ 2分 2221[(1)ln(1)]2

x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分

3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分

1211(1)1cos t t dt e dt t

-=+++⎰⎰ 1分 21

0[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分 5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分 cos y x y e '=-

Q 1分 cos sin 1

x x =- 1分 cos sin 1

x dy dx x ∴=- 2分 6 解 1(23)(23)(22)2

f x dx f x d x +=++⎰⎰ 2分 21sin(23)2

x C =++ 4分 7 解 原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 4分

=32

e 2分

四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分 ()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分 (0)1,0,f C =∴=Q 2分 ().x f x x e ∴=+ 1分 2 解 222cos x V xdx π

ππ-=⎰ 3分 2202cos xdx π

π=⎰ 2分 2

.2π= 2分

3 解 23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分 令0,y ''=得 1.x = 1分 当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分 (1,3)∴为拐点, 1分 该点处的切线为321(1).y x =+- 2分

4 解 12111,2121x y x x

--'=-=-- 2分 令0,y '=得3.4

x = 1分 35(5)56, 2.55,,(1)1,44

y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分 ∴ 最小值为(5)56,y -=-+最大值为35.44

y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分 五、证明

()()()()()()b

b

a a x a x

b f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分

[()()()]()[2()b

b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分 [2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分

{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰ 1分 ()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分 移项即得所证. 1分