含参不等式恒成立问题中求参数的取值范围

含参不等式恒成立问题中求参数的取值范围
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。

一、判别式法：
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数
),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有
1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨
⎧<∆>⇔00
a ；
2）0)(<x f 对R x ∈恒成立⎩⎨
⎧<∆<⇔0
a 。

例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，
即有04)1(2
2<--=∆a a 解得3
11>
-<a a 或。

所以实数a 的取值范围为),3
1()1,(+∞--∞ 。

若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立
当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
-≤--≥-≥∆1
220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。

综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。

二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔
例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。

解：设c x x x x g x f x F -++-=-=1232)()()(23，则由题可知0)(≤x F 对任意]3,3[-∈x 恒成立
令01266)(2'=++-=x x x F ，得21=-=x x 或
而,20)2(,7)1(a F a F -=-=-,9)3(,45)3(a F a F -=-=- ∴045)(max ≤-=a x F ，∴45≥a 即实数a 的取值范围为),45[+∞。

例4．已知函数),1[,2)(2+∞∈++=
x x
a
x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=
x
a
x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022
>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 注：本题还可将)(x f 变形为2)(++=x
a
x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小值。

三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。

这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。

一般地有：
1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔ 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔
实际上，上题就可利用此法解决。

略解：022
>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立，只要x
x a 22
-->在),1[+∞∈x 时恒成立。

而易求得二次函数x x x h 2)(2
--=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。

例5．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。

解： 将问题转化为x x x a 2
4-<
对]4,0(∈x 恒成立，令x
x x x g 2
4)(-=，则min )(x g a < 由14
4)(2
-=-=
x
x
x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0<a 即a 的取值范围为)0,(-∞。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例6．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式
044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。

解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。

当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。

当2≠x 时，应有⎩⎨
⎧>->0
)1(0
)1(f f 解之得31><x x 或。

故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。

注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为⎩⎨⎧>>0
)(0
)(βαf f 。

五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。

我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方； 2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。

例7．设x x x f 4)(2--=
, a x x g -+=
13
4
)(,若恒有)()(x g x f ≤
求实数a 的取值范围.
解：在同一直角坐标系中作出)(x f 及)(x g 的图象 如图所示，
)(x f 的图象是半圆)0(4)2(22≥=++y y x )(x g 的图象是平行的直线系03334=-+-a y x 。

要使)()(x g x f ≤恒成立，
则圆心)0,2(-到直线03334=-+-a y x 的距离
满足 25
338≥-+-=
a
d ，解得3
5
5≥
-≤a a 或（舍去) 由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。

针对训练： 一.选择题： 1.设)(1
x f
-是函数1)((2
1)(>-=
-a a a x f x x
的反函数，则使1)(1
>-x f 成立的x 的取值范围是（ ）
),21
.(2+∞-a
a A )21,.(2
a a B --∞ ),21.(2
a a a C - ),.[+∞a D 2.集合}|||{},01
1
|
{a b x x B x x x A <-=<+-=若1=a 是φ≠B A 的充分条件，则b 的取值范围是（ ） 21.13.20.02.<≤--<<-≤<<≤-b D b C b B b A
3.若不等式m x x <-+-|3||5|有解，则实数m 的取值范围是( )
2.2.1.1.≥>≥>m D m C m B m A
4..设⎩⎨⎧>-≤-=-)
0)(1()
0(3)(x x f x a x f x 若x x f =)(有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是( )
]1,.(),1.[)2,.(]2,1.[-∞+∞-∞D C B A
5.若不等式4)2(2)2(2<-+-x a x a 的解集为R ，则实数a 的取值范围是( )
)2,.(),2()2,.(]2,2.()2,2.(-∞+∞--∞--D C B A
6.当)2,1(∈x 时，不等式x x a log )12<-（恒成立，则实数a 的取值范围是( )
]2,1.()1,0.()2,1.()
,2.[D C B A +∞
二.填空题：
7. 若对任意的实数m ，关于x 的方程0)12(log 2
2=-++m x ax 恒有解，则实数a 的取值范围是
8.如果不等式1||<-a x x 在]10[，∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围是
9.设)(x f 是定义在]11[，-的奇函数又是增函数，且1)1(=f ，若12)(2+≤at t x f 对所有]11[，-∈x ，
]11[，-∈a 恒成立，则实数t 的取值范围是
三.解答题：
10.已知函数b
ax x x f +=2)(（b a ,为常数），且方程012)(=+-x x f 有两实根4321==x x ，，
（1）求函数)(x f 的解析式
（2）设1>k ，解关于x 的不等式x
k
x k x f --+<2)1()(
参考答案：
1.A
2.D
3.C
4.B
5.B
6.D
7.]1,0[
8.)2,0(
9.2
121≤≤-
t );
,2()2,1(2);,2()2,1(2);
,2(),1(210
))(1)(2(,02)1(,2)1(2)2()2(2)(218416939
01243)1(:.1022
221+∞∈>+∞∈=+∞∈<<>---<-++---+<-≠-=⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+-=+=+-+== x k x k k x k k x x x x
k x k x x k x k x x x x x x f b a b
a b
a x
b ax x x x 时，解集为③当时，解集为②当时，解集为①当即可化为不等式即为，故得：代入方程，将解。