天津市静海县2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析

天津市静海县2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
讨论当1a >时，2210ax x ++>是否恒成立；讨论当2210ax x ++>恒成立时，1a >是否成立，即可选出正确答案. 【详解】
解：当1a >时，440a ∆=-<，由2
21y ax x =++开口向上，则2210ax x ++>恒成立； 当2210ax x ++>恒成立时，若0a =，则210x +> 不恒成立，不符合题意，
若0a ≠ 时，要使得2
210ax x ++>恒成立，则0440a a >⎧
⎨
∆=-<⎩
，即1a > . 所以“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的充要条件. 故选:C. 【点睛】
本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q ⇒，则推出p 是q 的充分条件；若q p ⇒，则推出p 是q 的必要条件. 2．已知命题p ：,x R ∃∈使1
sin 2
x x <
成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1
sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1
sin 2x x <
均成立 C ．,x R ∃∈使1
sin 2
x x ≥成立
D ．,x R ∃∈使1
sin 2
x x =成立
【答案】A 【解析】
试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2
x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题. 3．已知复数z 满足
1
1i z
=+，则z 的值为（ ）
A ．
12
B ．
C ．
2
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z ，进而求得其模. 【详解】
因为21111111122i i z i z i i -=+⇒===-+-，所以2z == 故选：C 【点睛】
本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.
4．已知集合2{|log (1)2},,A x x B N =-<=则A B =I （ ）
A ．{}2345，
，， B ．{}234，， C ．{}1234，，， D ．{}01
234，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】
解对数不等式可得集合A ，由交集运算即可求解. 【详解】
集合2{|log (1)2},A x x =-<解得{}
15,A x x =<<
,B N =
由集合交集运算可得{}
{}152,3,4A B x x N ⋂=<<⋂=， 故选：B. 【点睛】
本题考查了集合交集的简单运算，对数不等式解法，属于基础题.
5．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A ．6.25%
B ．7.5%
C ．10.25%
D ．31.25%
【答案】A 【解析】 【分析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】
水费开支占总开支的百分比为250
20% 6.25%250450100
⨯=++.
故选：A 【点睛】
本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 6．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i - B ．33i +
C ．13i +
D ．13i -
【答案】D 【解析】 【分析】
直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】
∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】
熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4
B ．8
C ．16
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】
()
1252512511152550442
a a S a a a a +=
=⇒+=⇒+=.
故选:A . 【点睛】
本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.
8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）
A ．16π
B ．
323π
C ．
6423
π
D ．
205π
【答案】C 【解析】 【分析】
作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】
2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为
22r =(3
4
642
22
3
V π=⨯=
. 故选：C 【点睛】
本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.
9．集合{}
2,A x x x R =>∈，{
}
2
230B x x x =-->，则A B =I （ ） A ．(3,)+∞ B ．(,1)(3,)-∞-+∞U
C ．(2,)+∞
D ．(2,3)
【答案】A 【解析】 【分析】
计算()(),13,B =-∞-+∞U ，再计算交集得到答案. 【详解】
{}
()()2230,13,B x x x =-->=-∞-⋃+∞，{}2,A x x x R =>∈，故(3,)A B =+∞I .
故选：A . 【点睛】
本题考查了交集运算，属于简单题.
10．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒ B ．30︒
C ．45︒
D ．60︒
【答案】D 【解析】 【分析】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】
设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是
1
2
R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】
本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.
11．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D 【解析】
【分析】
先把(1)21z i i ⋅+=+变形为21
1i z i
+=+，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z ，得到其坐标可得答案. 【详解】
解：由(1)21z i i ⋅+=+，得21(21)(1)331
1(1)(1)222
i i i i z i i i i ++-+=
===+++-， 所以3122z i =
-，其在复平面内对应的点为31,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，在第四象限 故选：D 【点睛】
此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.
12．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于
点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）
A B ．C ．D 【答案】A 【解析】 【分析】
在12PF F ∆中，由余弦定理，得到2||PF ，再利用12||||2PF PF a -=即可建立,,a b c 的方程. 【详解】
由已知，1||HF b =
==，在12PF F ∆中，由余弦定理，得
2||PF ===
1133PF HF b ==，12||||2PF PF a -=，所以32b a =，
32b a ⇒=e =∴= 故选：A. 【点睛】
本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立,,a b c 三者间的关系，本题是一道中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某次足球比赛中，A ，B ，C ，D 四支球队进入了半决赛.半决赛中，A 对阵C ，B 对阵D ，获胜的两队进入决赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.
A
B
C
D
A 获胜概率
— 0.4 0.3 0.8 B 获胜概率
0.6 — 0.7 0.5 C 获胜概率
0.7 0.3 — 0.3 D 获胜概率
0.2
0.5
0.7
—
则A 队获得冠军的概率为______. 【答案】0.18 【解析】 【分析】
根据表中信息，可得A 胜C 的概率；分类讨论B 或D 进入决赛，再计算A 胜B 或A 胜C 的概率即可求解. 【详解】
由表中信息可知，A 胜C 的概率为0.3；
若B 进入决赛，B 胜D 的概率为0.5，则A 胜B 的概率为0.50.40.2⨯=； 若D 进入决赛，D 胜B 的概率为0.5，则A 胜D 的概率为0.50.80.4⨯=；
由相应的概率公式知，则A 获得冠军的概率为()0.30.50.40.50.80.18P =⨯⨯+⨯=. 故答案为：0.18 【点睛】
本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题.
14．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB 长是__________，弧田的面积是__________．
【答案】3 12π﹣3 【解析】
【分析】
过O 作OC AB ⊥，交AB 于D ，先求得圆心角AOB ∠的弧度数，然后解解三角形求得AB 的长.利用扇形面积减去三角形OAB 的面积，求得弧田的面积. 【详解】
∵如图，弧田的弧AB 长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O 作OC AB ⊥，交AB 于D ，根据圆的几何性质可知，OC 垂直平分AB . ∴α＝∠AOB ＝
46
π＝23π，可得∠AOD
＝3π
，OA ＝6，
∴AB ＝2AD ＝2OAsin
3π＝2×3
6⨯＝63， ∴弧田的面积S ＝S 扇形OAB ﹣S △OAB ＝12⨯4π×6﹣1
6332
⨯⨯＝12π﹣93． 故答案为：63，12π﹣93．
【点睛】
本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题. 15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(]0,1x ∈时，()3
a
f x x =+，则()f a 的值为___________________． 【答案】0 【解析】 【分析】
由题意可得：(),0130,0,10
3a x x f x x a
x x ⎧+<≤⎪⎪
==⎨⎪⎪--≤<⎩
，周期为2，可得()()11f f =-，可求出0a =，最后再求()
f a 的值即可. 【详解】
解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
∴(),0130,0,10
3a x x f x x a
x x ⎧+<≤⎪⎪
==⎨⎪⎪--≤<⎩
.
由周期为2，可知()()11f f =-，∴1133
a a
+
=-，∴0a =. ∴()()00f a f ==.
故答案为：0. 【点睛】
本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.
16．已知椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左右焦点分别为12F F 、，过2(1,0)F 且斜率为1的直线交
椭圆于A B 、，若三角形1F AB
2，则该椭圆的离心率为________.
1 【解析】 【分析】
由题得直线AB 的方程为1x y =+，代入椭圆方程得：(
)22
2
222220a b
y
b y b a b +++-=，
设点()()1122,,A B x y x y ，，则有2222
1212222
2
2，b b a b y y y y a b a b
--+==++，由
1212121
2
F AB S F F y y ∆=⨯⨯-=，且221a b -=解出a ，进而求解出离心率.
【详解】
由题知，直线AB 的方程为1x y =+，代入22
221x y a b
+=消x 得：
()2
22222220a
b y b y b a b +++-=，
设点()()1122,,A B x y x y ，，则有2222
1212222
2
2，b b a b y y y y a b a b
--+==++，
12y y ∴-=
==，
而1
2
121222
112222F AB
S F F y y a b ∆=⨯⨯-=⨯⨯=+，又221a b -=，
解得：1
2
a +=
，所以离心率1
c e a
=
==.
1 【点睛】
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别是,,,a b c
其中2,a c ==（1）若角A
为锐角，且sin 3
C =
，求sin B 的值； （2
）设2()cos 3cos f C C C C =+，求()f C 的取值范围.
【答案】（1
）9
；（2
）33,22⎡+⎢⎣.
【解析】 【分析】
（1）由正弦定理直接可求sin A ，然后运用两角和的正弦公式算出sin B ；
（2）化简(
)3232f C C π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由余弦定理得22211cos 24a b c C b ab b +-⎛⎫
=
=+ ⎪⎝⎭
，利用基本不等式求出1
cos 2
C ≥，确定角C 范围，进而求出()f C 的取值范围. 【详解】
（1）由正弦定理，得：
sin sin a c
A C
= sin 2
sin 3
a C A c ∴=
= sin sin C A ∴<，且A 为锐角
cos ,cos 33
C A ∴=
=
sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ∴=+=+=
（2）(
)1cos 21323sin 22222C f C C C C ⎫+=+⨯=++⎪⎪⎭
3232C π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭。