船舶流体力学第6章 水波理论

色散关系：
2 gkthkh
z 通解（基元波叠加）： iN 1a ig i cc k ih k z ih h h sk iix n ico it si
6.2.2 平面驻波的运动特征
讨论 0,特解0代表的波浪运动
波动特征参数：
a c gk c h(zk hh h)siknc xo ts 振幅 a：振动峰值高度
持不变。
即：平衡时刻位于平面 z z0上的质点组成等压面，在波动过程中它 们仍为等压面。这些等压面称为次波面，由 1 决定
g t zz0
6.4 波群与群速度（wave group & group velocity)
z1asikn 1x (1 t) z2asikn 2x (2 t)
z1 g t1 2 , (zz)
z(x,y,t) p
求解困难
自由面条件的线性化（微幅波）：
假定
1 a 1
a 1 h
2 1
z
a o
h(x,y)
z = z(x,y,t) x
z
t z
z 1
g t
2 gkthkh 2
k
2
2 gth2h
6.3.1 波形及波速
波形： zacoks x(t)
波峰位置 kxt2n
x 2 n t n ct(n 0 , 1 , 2 , ) kk
波速：
c
k
gthkh k
2 gth2h
x
6.1.2 边界条件及其线性化
2(x,y,z,t)0, (influ)id
z a
o h(x,y)
z = z(x,y,t) x
1 底面不可穿透
0 n
zh(x,y)
Fzh(x,y)0
2 自由面运动学条件
Fz(x,y,t)0
DF FvF0 Dt t
应用(Applications) ——波浪与结构物的相互作用
•海洋工程（Ocean Engineering) •海上钻井平台、海工结构物、海底管线、岸堤坝和港口设计； •海浪发电。 •船舶工程(Naval Architecture) •兴波理论（wave making,）、兴波阻力（wave resistance） •船舶摇摆（seakeeping）、抨击（slamming）、武器出入水 •船舶操纵（ship manoeuvering） •水利工程(Hydraulic Engineering) •水坝设计、明渠流动、河流动力学（川流、水跃）
潮汐波(tidal 0.5day)：太阳和月亮引力
地震津波(tsunami 1m 0 i~n 1h)o ：u 海r底摇荡
涌浪(ground swell) : 暴风停止后的余留
风波(wind wave 5~20 se)c：阵风作用
海波的特点：较长( c1.25 , 0.8 ) 8 se c 1m 00
本章内容：讨论重力场中具有自由面的水波运动（水表 面波、水波或重力波），重点讲述线性简谐波的数学描 述、运动特性和能量概念。为研究非线性波打下基础。
波动的物理本质： 恢复力与惯性力的动态平衡。
INTRODUCTION 工程中常见的波： 声波(sound wave): 微弱压缩波 激波(shock wave): 有限强度压缩波 水波(water wave): 水表面波（g） 内波(internal wave)：密度分层 毛细波(capillary wave): 表面张力(ripple) 海波：
x n (n0,1,2,) z k

驻波实例：常常发生于有界域
o
(容器、油船)或半无界流体域
a
（垂直堤岸附近海域）内。
x
节点
6.2.3 无限水深平面驻波
a c gk c h(zk h h h)siknc xo ts
h
chk(zh) ekz chkh
thkh1
2 gkthkh
轨迹曲线
浅水波—长轴一定,短轴线性减小
z=－λ/2
有限深— 椭圆中心 (x0, z0) — 无限深— 等角速圆周运动
uaek0z cosk(x0 t) waek0z sink(z0 t)
Vu2w2a ek0z
浅水波 h 1 20
有限深水波
1 h1 20 2
（波速、相速度）
色散关系
2 gkthkh
色
散
波
水底深度 h 对波浪运动的影响：
无限深水波(deep water wave )： 浅水波（shallow water wave ）：
h
ag e kz sin( kx t )

色 2 gk 2 g

2 gkthkh (色散关系)
波高 H：2a波峰波谷高度差
圆频率 ： 2秒 钟振动的次数
zasi ntsiknx
频率 f ：每1 秒钟振动的次数
z 1
g t z0
2 周期 2 ：波面上下振动一次的时间

z

波长 2 ：相邻两波峰间距
质点运动速度： ux ddxtachks(hzkhh)cosk(xt) wz ddztashks(hzkhh)sink(xt)
流体质点作简谐运动（不传播）；质点速度随深度以指数递减。
质点运动轨迹： (x,z) (x0,z0)
xx0 achks(hzk0 hh)sink(x0 t)

z

2 , g
(z 0)
(x,z)X (x)Z(z)
分离变量
z B
o B’

x
Байду номын сангаас


z

0,
(z h)
A ck ( h z h )sk i(x n )
柱波周期性解：
a c g k c h (z k h h h )sk i(n x )co t s )(
3 自由面动力学条件 p p0 const
t p0 1 2v2gzp0
h h 0 , (z h(x,y))
x x y y z
0, (zh) （底面水平）
z
zzz, (zz)
z t xx yy
2(x ,y ,z ,t) 0 ( h z 0 )
定解条件：
2
g 0 t2 z
(z0)
0
(z h)
z F (x ,y ), f(x ,y )(t 0 ,z 0 )
t
线性波—物相互作用问题定解条件：
nvbn (onS)
x x 0 2 z z 0 2 a e k0z 2
Va2a1 cc
深水波
h1 2
z
波传播方 向
x =λ/2
O
(z 0)
x=λ x
6.3.3 压力分布（无限深）
pp0

gakezcoks x(t)z
pp0 g0z
波浪中的质点x0,z0在 运动过程中经过不同的位置 x,时z，它的压力保
(z 0)


(z 0)
或
2
t2 g z 0
(z 0)
z 1
(z 0)
g t

pp0 gz

t
6.1.3 初始条件(initial condition)
作用于自由面和水中的两种扰动引起波动
线性水波问题
z 2 a c o 1 2 (s k x t) s ik 1 n 2 k 2x 1 22t
kk1k2, 12
2
2
k2 k 1 k,2 1
z z 2 a c o 1 2 (k s x t) sk i n xt) (sk i n xt) (
a c gk c h(zk hh h)sikncxo ts zasi ntsiknx 0,0
a c gk c h (zk h h h)co kss xi n t
zacotscoksx
,
2k

2
a g ck c h(zk hh h)sikn x(t)（progressive wave）
风波和船行波的恢复力是重力
6.1 水波问题的基本方程和定解条件
基本假定：
• 理想流体
• 不可压 • 重力场
Kelvin condition
• 不计表面张力
运动无旋
6.1.1 基本方程
2(x,y,z,t)0
v
p1V2gzf(t) t 2 压力场
z
a o
h(x,y)
z = z(x,y,t)
波群的波长和波速:
g

4 k
cg k
k 0, 0 cgd dkckd dk c cd dc 3 z
无限深、有限深和浅水波的比较：
记 c、 、c 为c s 三种波的波速， 、 为无 限和有限深水波的波长。
c th2 h c
c th2 h cs 2 h
1 当 时 c c
1.25
2 当 c c 时
3 当 hcons时t c
cs
4 当 h 1 时 c 0.998
2
c
无限深水波——
h 1, 2
有限深水波——
1 h1
20 2
浅水波（长波）——
h 1 20
1.00
c
0.75
c
0.50
c
0.25
2
c

hs
0.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
6.3.2 质点运动速度和轨迹

求得液体的运动、自由面形状和压力分布。
6.2 平面驻波——周期性解
设平面驻波的速度势： ( x ,z ,t) co t s )( ( x ,z )
6.2.1 有限水深平面驻波的解（hcon）st
波动初相位 波动圆频率
2 2


x
2

z2

0,
(z

0)

zasi ntsik nx
agek
zsink(x)co st()

2 gk (色散关系)

无限水深情况下波动以指数规律 e kz衰减.
在 z 处，ekze 0.043，流体几乎不动了。
2 因此水深大于半个波长时，有限水深波动可按无限深处理。
6.3 平面进行波
散


波
c
g k
g 1 . 25 2




2
2
0 .8


g

波越长，则跑得越快， 周期越长
h 1, a 1

h
kh 2h 0
非
2 gk 2 h
色 散
c gh 波
海洋中的潮汐波与河流中的 水跃（水库泻水）均属于长波， 这时流体质点运动的垂向速度与 水平速度相比是个小量。
流体力学
第6章 水波理论
（ Chapter 6. Water Wave Theory）
本章内容：讨论重力场中具有自由面的水波（水表面波 或重力波）运动，重点讲述线性简谐波的数学描述、运 动特性和能量概念。为研究非线性波打下基础。
波动的物理本质： 恢复力与惯性力的动态平衡。
Chapter 6. Water Wave Theory
z
z0
ashks(hzk0 hh)cosk(x0

t)
ddxtachks(hzk0 hh)cosk(x0 t)
ddztashks(hzk0 hh)sink(x0
t)

xx02 zz02 1
achks(zhk0hh)2 ashks(zhk0hh)2
k
o
x
波数 k： 2 长度内波长个数
a
节点
2 gkthkh
2 gth 2h
驻波运动特征：
• 波 面:空间上是正弦曲线，时间上在 间a周期性上下振动。
• 表面性：离水面越远，波动衰减，即波动仅限于水面附近区域。
• 节 点：波面与水平面的交点位置不随时间变化，波形不向左右
传播，故称驻波。