高等数学(理工科)课件1.1-1.2
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而我们所说的周期 一般是指最小正周期 .
y sinx 的周期是 2π . | |
例8 ［波形函数］ 在电子科学中，有大量波形函数， 图 1-10 是周期为 T 的锯齿形波的图形. 此函数在一个周期 [0，T ) 上可表示为
y h x (0≤x T ) T
高等数学应用教程
1.1.2 函数的几种特性
[1,1]
，值域为
π 2
,
π 2
.
高等数学应用教程
1.1.3 反函数与反三角函数
类似地，可以定义其余反三角函数： 反余弦函数： y arccos x (x [1,1], y [0, π] )
反正切函数： y arctan x 反余切函数： y arccot x
x
(,
),
y
π 2
,
π 2
( (
x x
3 3
500) 500)
3%, 10%
105,
(x 3 500) 20% 555,
0 ≤ x ≤ 3 500 3 500 x ≤ 5 000 5 000 x ≤ 8 000 8 000 x ≤13 500
高等数学应用教程
1.1.1 函数的概念
像例 5 这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式 子来表示的函数通常称为分段函数. 它的定义域是各段自变 量取值集合的并. 常用的绝对值函数可以表示为
常数函数 y c（ c 为常数），幂函数 y x（ 为实数），
指 数 函 数 y ax (a 0, a 1) ， 对 数 函 数 y loga x (a 0, a 1) ， 三 角函 数 y sin x 、 y cos x 、 y tan x 、 y cot x 、 y sec x 、 y csc x 以及反三角函数 y arcsin x 、 y arccos x 、 y arctan x 、 y arccot x 统称 为基本初等函数.
( x (,), y (0, π))
例9 求值.
（1） arcsin
3； 2
（2）
arccos
1 2
；
（3）
tan
arcsin
1 3
解 （1）因为 sin π 3 ，且 π π π ，
32
232
所以
arcsin 3 π 23
高等数学应用教程
1.1.3 反函数与反三角函数
（2）因为 cos 2π 1 ，且 0 2π π ，
中的任意一个 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对
应，则称 f 为集合 A 到集合 B 的一个函数，
记作
y f (x) ， x A
其中， x 称为自变量，其变化范围
A 称为函数的定义域，记作 D( f ) .函数值
的取值范围称为函数 f 的值域，记作 R( f ) .
高等数学应用教程
32
3
所以
arccos
1 2
2π 3
（3）设 arcsin 1 ， 则 sin 1 ，
3
3
由辅助直角三角形（见图1-13）可得
tan
arcsin
1 3
tan
2
1 2
课堂练习
P15，习题1-1: 5 （2），(3)
高等数学应用教程
1.1.4 初等函数
1.1.4 初等函数
1. 基本初等函数
1.1.1 函数的概念
例5 ［个人所得税］ 2011 年 6 月 30 日，十一届全国人大 常委 会第二十一 次会议通 过了修改个 人所得税法 的决定， 2011 年 9 月 1 日开始将工资薪金免征额（起征点）由每月 2 000 元 上调至每月 3 500 元（3 500 元是指扣除“三险一金”后的收入， 即工薪收入 4 545 元以下不用缴个税），税率结构由 9 级累进税 率调整为 7 级累进税率.
图 1-11 是指数函数 y 10x 和它的反 函数对数函数 y lg x 的图形.
? 函数 y x2 有反函数吗?
高等数学应用教程
1.1.3 反函数与反三角函数
2. 反三角函数 正 弦 函 数 y sin x 在 区 间
π 2
,
π 2
上的反函数称为反正弦函
数，记作 y arcsin x ，它的定义域为
高等数学应用教程
第一堂数学课须知
一、为什么学习高等数学
高等数学与初等数学的区别 初等数学——常量数学
主要以不变的量为主要研究对象
– 代数式 方程 不等式
高等数学——变量数学 主要以变量以及变量间的依赖关系（函数关系）
为研究对象
– 基本工具 极限 – 主要内容微积分 微分方程
高等数学应用教程
第一堂数学课须知
二、微积分历史简介
1.求瞬时速度，加速度
2.求切线
3.求最大最小值
4.求面积，体积
微积分创始人——牛顿与莱布尼茨
高等数学应用教程
第一堂数学课须知
三、如何学好高等数学
四多原则
1.多听 (课堂专心听讲，记好笔记) 2. 多看 (课前预习，课后及时复习，阅读参考书) 3. 多做 (认真完成作业，多做练习） 4. 多问（问老师、问同学）
x, x 0
y |Baidu Nhomakorabeax|
x,
x≥0
例6 ［开关函数］ 赫维赛德函数 H 定义如下：
0, t 0
H
(t)
1,
t≥0
它被用在电路的研究中，用来表示电闸接通
的瞬时电路中电流或电压的突然变动，也称
为开关函数（见图1-4）.
高等数学应用教程
1.1.1 函数的概念
例7 设函数
3x,
y
f
(x)
2,
工资 、薪金所得是 指个人因任 职或受雇而取 得的工资、薪 金、 奖金、年终加 薪、劳动分红 、津贴、补贴 以及与任职、受
雇有关的其他所得. 表 1-2 是工资薪金个人所得税率计算表，计 算公式为： 个人所得税应纳税额 = 应纳税所得额 ×适用税率 速算扣除数
试用数学方法对前 三级的计算加以解释 .
偶函数的图形关于 y 轴对称
奇函数的图形关于原点对称
高等数学应用教程
1.1.2 函数的几种特性
2. 函数的单调性 设函数 f (x) 的定义域为 D ， I D，如果对于区间 I 上
任意两点 x1, x2 D ，当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ,则称函 数 y f (x) 在 区 间 I 上 单 调 增 加 ； 当 x1 x2 时 ， 恒 有 f (x1) f (x2 ) ,则称函数 y f (x) 在区间 I 上单调减少.
4. 函数的有界性 设函数 f (x) 的定义域为 D ， I D，如果存在正数M
使得对于任意的 x I ，都有 f (x) ≤ M
则称函数 f (x) 在 I 上有界，也称 f (x) 是 I 上的有界函数， 否则，称函数 f (x) 在 I 上无界.
例如， sin x ≤1，则 y sin x 在 (,) 上是有界函数； 1 在 (1, ) 上 是有 界 函数 ， 但是 在 (0, ) 上 是 无界 函 x 数. 因此，有界性是针对于某一区间而言的.
高等数学应用教程
1.1.1 函数的概念
1.1.2 函数的概念
例1 ［自由落体运动］ 某物体做自由落体 运动，经过 2 s 落到地面，物体的下降距离 h（单 位：m）随下落时间 t（单位：s）的运动规律为
h 4.9t2
（1-1）
下落时间 t 的变化范围是数集 A {t | 0 ≤t ≤ 2} ，下降距
y 1500 3% (x 3 500 1500) 10% (x 3 500) 10% 105 当 8 000 x ≤13 500 时，
y 1500 3% (4 500 1500) 10% (x 3 500 4 500) 20%
(x 3 500) 20% 555
从而
0,
y
高等数学应用教程
1.1.3 反函数与反三角函数
1.1.3 反函数与反三角函数
1. 反函数
定义1.3 设 函 数 y f (x) 的 定 义 域 为 D( f ) ， 值 域 为 R( f ) ， 如 果 对 每一 个 y R( f ) ， 都 有唯 一 的 x D( f ) 使 y f (x) ，则 x 也是 y 的函数，把这个函数记作 x f 1( y) ， 并称它为函数 y f (x) 的反函数. 通常把函数 y f (x) 的反函数 x f 1( y) 写成 y f 1(x) .
所示.
高等数学应用教程
1.1.2 函数的几种特性
1.1.2 函数的几种特性
1. 函数的奇偶性 设函数 f (x) 的定义域 D 关于原点对称，如果对于任意
的 xD都有 f (x) f (x) ，则称 f (x) 为偶函数；如果对于 任意的 xD 都有 f (x) f (x) ，则称 f (x) 为奇函数.
1.1.1 函数的概念
表示函数有3种方法，分别为解析法、图形法和列表法.
课堂练习
P15，习题1-1: 2
例4 求下列函数的定义域
（1） y 1 ；（2）若函数 y f (x) 的定义域 ln(2 x)
为 [3 , 7] ，求 f (2x 1) 的定义域.
，
解（1）要使函数 y 有意义，必须满足
高等数学应用教程
第一堂数学课须知
一、为什么学习高等数学
数学的三个显著的特点：
高度的抽象性 严谨的逻辑性
广泛的应用性
学习高等数学的目的：
为学习后继专业课程服务
解决实际问题
锻炼思维
有利于可持续发展（专升本、考研、……）
数学 名言
培根：“数学是打开科学大门的钥匙”，“数学使人精细” “计算机之父”冯·诺伊曼：数学处于人类智慧的中心领域 加里宁：数学是锻炼思维的体操.
定义1.1 设在某个变化过程中有两个变量 x 与 y ，如果
对于 x 在其变化范围内的每一个数值，变量 y 都有唯一确定
的数值和它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ，又
称 x 为自变量， y 为因变量.
定义1.2 设 A 、B 是非空实数集合，如果按照某种确定 的对应关系（也称对应规则或对应法则）f ，使对于集合 A
高等数学应用教程
1.1.1 函数的概念
例3 ［恩格尔系数］国际上常用恩格尔系数反映了一个 国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越
高. 表 1-1 中是恩格尔系数随时间（年）变化的情况.
以上3个实例中变量之间的关系用数学语言 描述出来就得到了函数的定义.
高等数学应用教程
1.1.1 函数的概念
x2
1,
（1）求 f (1) ， f (2) ；
x0 x0 0 x≤2
（2）求该函数的定义域并作图.
解 （1）因为 1( , 0) ，所以 f (1) 3 (1) 3 ；
而 2 (0 , 2]，则 f (2) 22 1 5 . （2）函数 f (x) 的定义域为 ( , 2]，函数图形如图 1-5
2 x 0
2 x 0
x 2
ln(2 x) 0 2 x 1
x
1
所以函数的定义域为： D ( ,1) U(1, 2)
（2）要使函数 f (2x 1) 有意义，必须满足
3≤2x 1≤7 2 ≤ x ≤3
即 f (2x 1) 的定义域为： D [2 , 3] .
高等数学应用教程
单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，对应
的区间 I 称为单调区间.
高等数学应用教程
1.1.2 函数的几种特性
3. 函数的周期性 设函数 f (x) 的定义域为 D ，如果存在一个正数T ，使得对于
任意的 xD 有 (x T ) D ，且
f (x T ) f (x)
则称 f (x) 是以 T 为周期的周期函数，
高等数学应用教程
第1章 函数、极限与连续
第 1 章 函数、极限与连续
1.1 函数、方程与数学模型 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性
高等数学应用教程
1.1 函数、方程与数学模型
1.1 函数、方程与数学模型
➢ 1.1.1 函数的概念 ➢ 1.1.2 函数的几种特性 ➢ 1.1.3 反函数与反三角函数 ➢ 1.1.4 初等函数 ➢ 1.1.5 方程与函数 ➢ 1.1.6 数学模型
离 h 的变化范围是数集 B {h | 0 ≤ h ≤19.6} . 由题可知，
对于数集 A 中的任意一个时间 t ，按照对应关系式（1-1）， 在数集 B 中都有唯一确定的距离 h 和它对应.
高等数学应用教程
1.1.1 函数的概念
例2 ［股价走势曲线］ 图 1-1 所示是沪市股票“冠农股 份”在 2011 年 4 月 20 日的股价分时图，最高股价是 30.42 元，最低股价是 29.01 元，沪市交易时间是上午 9∶30─ 11∶30，下午 13∶00─15∶00.
高等数学应用教程
1.1.1 函数的概念
解 设某人月收入（除去“三险一金”）为 x 元，个人 所得税应纳税额为 y 元.
“三险一金”指基本养老保险、医疗 保险、失业保险及住房公积金
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1.1.1 函数的概念
当 0 ≤ x ≤ 3 500 时， y 0 当 35 00 x ≤5 000 时， y (x 3 500) 3% 当 5 000 x ≤8 000 时，
y sinx 的周期是 2π . | |
例8 ［波形函数］ 在电子科学中，有大量波形函数， 图 1-10 是周期为 T 的锯齿形波的图形. 此函数在一个周期 [0，T ) 上可表示为
y h x (0≤x T ) T
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1.1.2 函数的几种特性
[1,1]
，值域为
π 2
,
π 2
.
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1.1.3 反函数与反三角函数
类似地，可以定义其余反三角函数： 反余弦函数： y arccos x (x [1,1], y [0, π] )
反正切函数： y arctan x 反余切函数： y arccot x
x
(,
),
y
π 2
,
π 2
( (
x x
3 3
500) 500)
3%, 10%
105,
(x 3 500) 20% 555,
0 ≤ x ≤ 3 500 3 500 x ≤ 5 000 5 000 x ≤ 8 000 8 000 x ≤13 500
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1.1.1 函数的概念
像例 5 这种在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式 子来表示的函数通常称为分段函数. 它的定义域是各段自变 量取值集合的并. 常用的绝对值函数可以表示为
常数函数 y c（ c 为常数），幂函数 y x（ 为实数），
指 数 函 数 y ax (a 0, a 1) ， 对 数 函 数 y loga x (a 0, a 1) ， 三 角函 数 y sin x 、 y cos x 、 y tan x 、 y cot x 、 y sec x 、 y csc x 以及反三角函数 y arcsin x 、 y arccos x 、 y arctan x 、 y arccot x 统称 为基本初等函数.
( x (,), y (0, π))
例9 求值.
（1） arcsin
3； 2
（2）
arccos
1 2
；
（3）
tan
arcsin
1 3
解 （1）因为 sin π 3 ，且 π π π ，
32
232
所以
arcsin 3 π 23
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1.1.3 反函数与反三角函数
（2）因为 cos 2π 1 ，且 0 2π π ，
中的任意一个 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对
应，则称 f 为集合 A 到集合 B 的一个函数，
记作
y f (x) ， x A
其中， x 称为自变量，其变化范围
A 称为函数的定义域，记作 D( f ) .函数值
的取值范围称为函数 f 的值域，记作 R( f ) .
高等数学应用教程
32
3
所以
arccos
1 2
2π 3
（3）设 arcsin 1 ， 则 sin 1 ，
3
3
由辅助直角三角形（见图1-13）可得
tan
arcsin
1 3
tan
2
1 2
课堂练习
P15，习题1-1: 5 （2），(3)
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1.1.4 初等函数
1.1.4 初等函数
1. 基本初等函数
1.1.1 函数的概念
例5 ［个人所得税］ 2011 年 6 月 30 日，十一届全国人大 常委 会第二十一 次会议通 过了修改个 人所得税法 的决定， 2011 年 9 月 1 日开始将工资薪金免征额（起征点）由每月 2 000 元 上调至每月 3 500 元（3 500 元是指扣除“三险一金”后的收入， 即工薪收入 4 545 元以下不用缴个税），税率结构由 9 级累进税 率调整为 7 级累进税率.
图 1-11 是指数函数 y 10x 和它的反 函数对数函数 y lg x 的图形.
? 函数 y x2 有反函数吗?
高等数学应用教程
1.1.3 反函数与反三角函数
2. 反三角函数 正 弦 函 数 y sin x 在 区 间
π 2
,
π 2
上的反函数称为反正弦函
数，记作 y arcsin x ，它的定义域为
高等数学应用教程
第一堂数学课须知
一、为什么学习高等数学
高等数学与初等数学的区别 初等数学——常量数学
主要以不变的量为主要研究对象
– 代数式 方程 不等式
高等数学——变量数学 主要以变量以及变量间的依赖关系（函数关系）
为研究对象
– 基本工具 极限 – 主要内容微积分 微分方程
高等数学应用教程
第一堂数学课须知
二、微积分历史简介
1.求瞬时速度，加速度
2.求切线
3.求最大最小值
4.求面积，体积
微积分创始人——牛顿与莱布尼茨
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第一堂数学课须知
三、如何学好高等数学
四多原则
1.多听 (课堂专心听讲，记好笔记) 2. 多看 (课前预习，课后及时复习，阅读参考书) 3. 多做 (认真完成作业，多做练习） 4. 多问（问老师、问同学）
x, x 0
y |Baidu Nhomakorabeax|
x,
x≥0
例6 ［开关函数］ 赫维赛德函数 H 定义如下：
0, t 0
H
(t)
1,
t≥0
它被用在电路的研究中，用来表示电闸接通
的瞬时电路中电流或电压的突然变动，也称
为开关函数（见图1-4）.
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1.1.1 函数的概念
例7 设函数
3x,
y
f
(x)
2,
工资 、薪金所得是 指个人因任 职或受雇而取 得的工资、薪 金、 奖金、年终加 薪、劳动分红 、津贴、补贴 以及与任职、受
雇有关的其他所得. 表 1-2 是工资薪金个人所得税率计算表，计 算公式为： 个人所得税应纳税额 = 应纳税所得额 ×适用税率 速算扣除数
试用数学方法对前 三级的计算加以解释 .
偶函数的图形关于 y 轴对称
奇函数的图形关于原点对称
高等数学应用教程
1.1.2 函数的几种特性
2. 函数的单调性 设函数 f (x) 的定义域为 D ， I D，如果对于区间 I 上
任意两点 x1, x2 D ，当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ,则称函 数 y f (x) 在 区 间 I 上 单 调 增 加 ； 当 x1 x2 时 ， 恒 有 f (x1) f (x2 ) ,则称函数 y f (x) 在区间 I 上单调减少.
4. 函数的有界性 设函数 f (x) 的定义域为 D ， I D，如果存在正数M
使得对于任意的 x I ，都有 f (x) ≤ M
则称函数 f (x) 在 I 上有界，也称 f (x) 是 I 上的有界函数， 否则，称函数 f (x) 在 I 上无界.
例如， sin x ≤1，则 y sin x 在 (,) 上是有界函数； 1 在 (1, ) 上 是有 界 函数 ， 但是 在 (0, ) 上 是 无界 函 x 数. 因此，有界性是针对于某一区间而言的.
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1.1.1 函数的概念
1.1.2 函数的概念
例1 ［自由落体运动］ 某物体做自由落体 运动，经过 2 s 落到地面，物体的下降距离 h（单 位：m）随下落时间 t（单位：s）的运动规律为
h 4.9t2
（1-1）
下落时间 t 的变化范围是数集 A {t | 0 ≤t ≤ 2} ，下降距
y 1500 3% (x 3 500 1500) 10% (x 3 500) 10% 105 当 8 000 x ≤13 500 时，
y 1500 3% (4 500 1500) 10% (x 3 500 4 500) 20%
(x 3 500) 20% 555
从而
0,
y
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1.1.3 反函数与反三角函数
1.1.3 反函数与反三角函数
1. 反函数
定义1.3 设 函 数 y f (x) 的 定 义 域 为 D( f ) ， 值 域 为 R( f ) ， 如 果 对 每一 个 y R( f ) ， 都 有唯 一 的 x D( f ) 使 y f (x) ，则 x 也是 y 的函数，把这个函数记作 x f 1( y) ， 并称它为函数 y f (x) 的反函数. 通常把函数 y f (x) 的反函数 x f 1( y) 写成 y f 1(x) .
所示.
高等数学应用教程
1.1.2 函数的几种特性
1.1.2 函数的几种特性
1. 函数的奇偶性 设函数 f (x) 的定义域 D 关于原点对称，如果对于任意
的 xD都有 f (x) f (x) ，则称 f (x) 为偶函数；如果对于 任意的 xD 都有 f (x) f (x) ，则称 f (x) 为奇函数.
1.1.1 函数的概念
表示函数有3种方法，分别为解析法、图形法和列表法.
课堂练习
P15，习题1-1: 2
例4 求下列函数的定义域
（1） y 1 ；（2）若函数 y f (x) 的定义域 ln(2 x)
为 [3 , 7] ，求 f (2x 1) 的定义域.
，
解（1）要使函数 y 有意义，必须满足
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第一堂数学课须知
一、为什么学习高等数学
数学的三个显著的特点：
高度的抽象性 严谨的逻辑性
广泛的应用性
学习高等数学的目的：
为学习后继专业课程服务
解决实际问题
锻炼思维
有利于可持续发展（专升本、考研、……）
数学 名言
培根：“数学是打开科学大门的钥匙”，“数学使人精细” “计算机之父”冯·诺伊曼：数学处于人类智慧的中心领域 加里宁：数学是锻炼思维的体操.
定义1.1 设在某个变化过程中有两个变量 x 与 y ，如果
对于 x 在其变化范围内的每一个数值，变量 y 都有唯一确定
的数值和它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作 y f (x) ，又
称 x 为自变量， y 为因变量.
定义1.2 设 A 、B 是非空实数集合，如果按照某种确定 的对应关系（也称对应规则或对应法则）f ，使对于集合 A
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1.1.1 函数的概念
例3 ［恩格尔系数］国际上常用恩格尔系数反映了一个 国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越
高. 表 1-1 中是恩格尔系数随时间（年）变化的情况.
以上3个实例中变量之间的关系用数学语言 描述出来就得到了函数的定义.
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1.1.1 函数的概念
x2
1,
（1）求 f (1) ， f (2) ；
x0 x0 0 x≤2
（2）求该函数的定义域并作图.
解 （1）因为 1( , 0) ，所以 f (1) 3 (1) 3 ；
而 2 (0 , 2]，则 f (2) 22 1 5 . （2）函数 f (x) 的定义域为 ( , 2]，函数图形如图 1-5
2 x 0
2 x 0
x 2
ln(2 x) 0 2 x 1
x
1
所以函数的定义域为： D ( ,1) U(1, 2)
（2）要使函数 f (2x 1) 有意义，必须满足
3≤2x 1≤7 2 ≤ x ≤3
即 f (2x 1) 的定义域为： D [2 , 3] .
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单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，对应
的区间 I 称为单调区间.
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1.1.2 函数的几种特性
3. 函数的周期性 设函数 f (x) 的定义域为 D ，如果存在一个正数T ，使得对于
任意的 xD 有 (x T ) D ，且
f (x T ) f (x)
则称 f (x) 是以 T 为周期的周期函数，
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第1章 函数、极限与连续
第 1 章 函数、极限与连续
1.1 函数、方程与数学模型 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性
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1.1 函数、方程与数学模型
1.1 函数、方程与数学模型
➢ 1.1.1 函数的概念 ➢ 1.1.2 函数的几种特性 ➢ 1.1.3 反函数与反三角函数 ➢ 1.1.4 初等函数 ➢ 1.1.5 方程与函数 ➢ 1.1.6 数学模型
离 h 的变化范围是数集 B {h | 0 ≤ h ≤19.6} . 由题可知，
对于数集 A 中的任意一个时间 t ，按照对应关系式（1-1）， 在数集 B 中都有唯一确定的距离 h 和它对应.
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1.1.1 函数的概念
例2 ［股价走势曲线］ 图 1-1 所示是沪市股票“冠农股 份”在 2011 年 4 月 20 日的股价分时图，最高股价是 30.42 元，最低股价是 29.01 元，沪市交易时间是上午 9∶30─ 11∶30，下午 13∶00─15∶00.
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1.1.1 函数的概念
解 设某人月收入（除去“三险一金”）为 x 元，个人 所得税应纳税额为 y 元.
“三险一金”指基本养老保险、医疗 保险、失业保险及住房公积金
高等数学应用教程
1.1.1 函数的概念
当 0 ≤ x ≤ 3 500 时， y 0 当 35 00 x ≤5 000 时， y (x 3 500) 3% 当 5 000 x ≤8 000 时，