第二章 静电场中的导体与电介质

第二章 静电场中的导体与电介质
2.1 导体与电介质的区别：（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很大（相差10多个数量级，而不同导体间电导率数量级最多就相差几个数量级）。

（2）微观上导体内部存在大量的自由电子，在外电场下会发生定向移动，产生宏观上的电流而电介质内部的电子处于束缚状态，在外场下不会发生定向移动（电介质被击穿除外）。

2.2静电场中的导体
1. 导体对电场的响应：静电场中的导体，其内部的自由电子会发生定向漂移，电荷分布会发生变化，这是导体对电场的响应方式称为静电感应，导体表面会产生感应电荷，感应电荷激发的附加场会在导体内部削弱外电场直至导体内部不再有自由电子定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，这时导体处于静电平衡状态。

2. 导体处于静电平衡状态的必要条件:
0i E =（当导体处于静电平衡状态时，导体内部
不再有自由电子定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，自然其内部电场（指外场与感应电荷产生的电场相叠加的总电场）必为0。

3. 静电平衡下导体的电学性质：（1）导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本
身带的电荷）只分布在导体表面。

这个可以由高斯定理推得：
i
i s
q E ds ε⋅=
⎰⎰
，S 是导
体内“紧贴”表面的高斯面，所以0i q =。

（2）导体是等势体，导体表面是等势面。

显然()
()
0b a b i a V V E dl -=⋅=⎰
，a,b 为导体内或
导体表面的任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。

（3）导体表面以处附近空间的场强为：0
ˆE
n δ
ε=
，δ为邻近场点的导体表面面元处的电荷密度，ˆn
为该面元的处法向。

简单的证明下：以导体表面面元为中截面作一穿过导体的高斯柱面，柱面的处底面过场点，下底面处于导体内部。

由高斯定理可得：
1
2
i s s ds
E ds E ds δε⋅+⋅=
⎰⎰⎰⎰，1s ,2s 分别为高斯柱面的上、下底面。

因为导体表面为等势面所以ˆE En
=，所以1
s E ds Eds ⋅=⎰⎰而i E =0所以0ds Eds δε=
，即0
ˆE n δ
ε=
（0δ>E 沿导体表面面元处法线方向，0δ<E 沿导体表面面元处法线指向导体内部）。

（4）导体表面的静电压强：2
ˆp n δε=
证明：任取导体表面的一个电荷元ds δ，设除去该电荷元外其它场源（包括外场源、导体表面的其它电荷元）在该电荷元处产生的电场为E '；由高斯定理可算出电荷元ds δ在导体表面外邻近点的电场强度0ˆ2E n δε''=。

而0ˆE E n δε'''+=，所以0
ˆ2E n δ
ε'=，电荷元ds δ受到的静电力0ˆ2dq dF E dq n δε'==，所以2
ˆ2dF p n ds δε==。

导体所受静电力由s
p ds ⋅⎰⎰给出（s 是导体表面）。

2.3静电平衡下的空腔导体
1.空腔内没有带电体：
（1）导体内表面处处没有电荷，电荷只分布在导体的外表面。

在导体内作包含内表面的高斯面S,由于0i E =，所以S 内包含的净电荷为0.这包含两种情况：（Ⅰ）导体内表面处处没有电荷。

（Ⅱ）导体内表面存在等量异号电荷。

这种情况下将有电场线从导体内表面一处指向导体内表面另一处，既导体内表面电势不等，这不符合导体处于静电平衡状态下是等势体这一性质，所以只能有结果（I ）。

（2）空腔内场强处处为0，空腔成为等势区，与导体电势相等。

假设腔内有电场线，由（1）可知电场线不能贯穿于导体内表面之间，又由于腔内无电荷所以电场线不能以腔内某点为终点或起点，这样电场线只能在腔内形成闭合曲线这与静电场线的性质不符合，所以腔内必无电场，自然空腔成为等势区，与导体电势相等。

由上分析我可知：导体的外表面所包围区域场强始终为0，不受外电场的影响。

像这种导体的外表面“保护”它所包围区域不受外电场的影响的现象称为静电屏蔽。

2.空腔内有带电体： （1）导体的内表面的带电量与腔内电荷等量异号。

结合导体内场强为0与高斯定理就可得到。

（2）将内表面接地则腔内电场不会影响导体的内表面以外区域。

这个根据电荷守恒与高斯定理得到。

2.3静电场中的电介质
上面介绍了导体响应外电场的方式（静电感应），电介质响应外电场的方式则为极化。

构成电介质的分子分为两种：（1）无极分子，电荷中心重合 （2）有极分子，电荷中心不重
1. 无极分子的位移极化：无极分子在外电场中，受到静电力的作用，电荷中心不再重合
形成电偶极子，这些电偶极子取向与外电场一致。

2. 有极分子的取向极化：在无外电场情况下，有极分子的电偶极距沿各个方向的概率相
同。

在外电场作用下分子的电偶极距取向将发生变化，当外电场的作用和热运动的作用达到平衡时，绝大多数分子的电偶极矩不同程度和外电场一致。

由上可以看出电介质中取向与外电场一致的分子的电偶极距数目可以反应电介质的极化程度。

单位体积内向与外电场一致的分子偶子距数量越多则电介质极化程度就越高。

由此定义：
3. 极化强度矢量：p P dV
=
∑（p 是dV 内取向与外电场一致的分子电偶极距，dV 是介
质里包含某点的无限小体积元。

则P 就为该点极化强度）
4. 极化电荷： 介质中，取向与外电场一致的分子电偶极子穿出面s 的电荷总和就是面S 上的极化电荷。

5. 极化强度与极化电荷分布的关系：设介质里的任一面元ds ，设分子的电偶极距p ql =,
以ds 为底，l 为斜高作一圆柱体，圆柱体体积记为dV ，设dV 内取向与外电场一致的分子电偶矩数量为N ，显然在圆柱体内的分子电偶矩都穿出面元ds 又
Nql ds
P ds Nq dV
⋅⋅=
=，所以Nq 就是穿过面元ds 的极化电量dq '。

在介质里任取一闭合曲面S ，则穿出S 的极化电量o
s
q P ds '=⋅⎰⎰,由电荷守恒（原来电介质是呈电中性）
可知面内有等值异号的极化电荷i s
q P ds '=-
⋅⎰⎰。

6. 各项同性电介质的极化规律：电场不太强时，该电介质中的任意点的极化强度P 的方
向与该电场强度E （包括外电场与极化电荷产生的附加场）的方向一致，大小与该点的电场强度E 成正比，即0P E χε= 其中χ为该点的极化率。

若电介质又是均匀的则
χ为常数。

2.4 有电介质时的高斯定理
实验表明组成物质的原子中原子核与核外电子的静电作用也遵循库仑定律。

因此有电介质时的静电场，可把电介质看成弥散在真空中的粒子（电介质分子）团。

这样高斯定理还成立只是要考虑到高斯面内的极化电荷：
s
q q E ds ε'
+⋅=
⎰⎰ ，其中q 是面S 内的自由电荷，
q '是面S 内的极化电荷，而s
q P ds '=-⋅⎰⎰，所以0()s
E P ds q ε+⋅=⎰⎰，令0D E P ε=+，
D 叫作电位移矢量，则有电介质时的高斯定理就可以写成：s
D ds q ⋅=⎰⎰ 。

由于真空中
的极化强度0P =，可看出真空中的高斯定理就是有电介质时的高斯定理的特例。

电介质的性能方程：对于各向同性的电介质，0P E χε=。

所以00(1)D E P E εχε=+=+，令r ε=1χ+，称作电介质的相对电容率，令0r εεε=，称为电介质的绝对电容率。

则
0r D E E εεε==，称为电介质的性能方程。

（一个重要结论）各向同性的均匀介质中内部的极化电荷体密度ρ'总等于自由电荷休密度
0ρ的1
(1)r
ε--
倍
证明：0011
()()(1)(1)r r r
P D E D E D ερερεεε'=-∇⋅=-∇⋅-=-∇⋅-
=--∇⋅=-- 可看出当各向同性的均匀介质内没有自由电荷时，电介质内部不会出现极化电荷，此时极
化电荷只分布在不同介质的分界面上。

2.5 静电场的边值关系
设两电介质电容率分别为1ε、2ε；S 是两电介质的交界面，在S 上取一面元ds （ˆn
是ds 的法向由介质2指向介质1）
，其中ds 为无穷小量。

以ds 为主截面作一圆柱面，圆柱面的高为高阶无穷小量，则侧面的电位移通量是可略去的。

由有介质时的高斯定理得：
s
D ds q
⋅=⎰⎰，而
1122
s
D d
s D d s D d
s ⋅=⋅+⋅⎰⎰，其中1ds ，2ds 为圆柱面两底面，1ds ds =，
2ds ds =-。

所以1122120D ds D ds D ds D ds q ⋅+⋅=⋅-⋅=。

设交界面的自由电荷面密度为
0δ，则12120ˆ()n n D D n
D D δ-⋅=-=。

这样如果交界面上自由电荷面密度00δ≠ ，则说明电位移矢量D 在交界面处法向不连续，若交界面上自由电荷面密度00δ=，则D 在交界面处法向连续。

对于电场
E 我可以用类似的方法分析，但由于交界面存在极化电荷，所以无论交界面上是否有自由电荷，E 在交界面处法向都不连续。

有电质下静电场的环路定理：0L
E ds ⋅=⎰
仍是成立的，在S 上任取一线元dl （ˆl 为其
单位方向矢量），以dl （无穷小）所在直线为对称轴作一以dl 为长的矩形回路，回路穿过面S ，矩形回路的宽取为高阶无穷小，这样电场E 在沿回路的宽上的路径各分可视为0即
1
1
2
2
L
E ds E dl E dl
⋅=+⎰，其中12dl dl dl ==-,所以12()0E E dl -⋅=。

设矩形回路所在
平面的法向为0ˆn ，面S 上线元dl 处的法向为ˆn 。

由几何关系可得0ˆˆdl kn n =⨯，其中0k ≠为常数。

所以12120120ˆˆˆˆ()()[()]0E E dl E E kn
n k E E n n -⋅=-⋅⨯=-⨯⋅=，而由0ˆn 是由我们所取的矩形回路取向有关，0ˆn
是任意的。

所以1212ˆ()0t t E E n E E -⨯=-=，即在交界面处电场切向是连续的。

2.7电容器的电容
1. 孤立导体的电容：孤立导体在它自己激发的电场中具有一定的电势，导体的电势与它的带电量成正比。

定义：电容q
C V
=
；表示每变化单位电势，导体带电量变化了多少。

电容是一个与电量q 无关而仅与导体几何参数有关的常量。

电容的单位是F ，1F=1C/V ，
61211010F F pF μ==。

2.电容器与其电容:电势差与电量成正比且不受其它导体影响的两个导体组成的系统称为电容器，记A B
q
C V V =
-。

3.几个常见的电容器及其电容
（1）平行板电容器：设两极板面积为S ，极板间距为d 。

d S <<，q 、-q 分别是两极板A 、B 上的带电量，设这两极板的电荷面密度为分别为δ，δ-。

两极板间填充着电容率为ε的电介质，我们计算下它的电容。

由定义我们知道B
A B
A
q
q
C V V E dl
=
=
-⋅⎰
，由此我们要先
来分析极板间的电场分布。

我们以A 极板上的一面元ds 为中截面作一高斯柱面，柱面的上底面处于极板内，下底面处于极板间的电介质中，由于极板处于静电平衡状态所以极板内的电位移矢量为0，而电介质内电位移矢量在高斯柱面的侧面是没有电通量的，所以
1
s
D ds D ds
ds δ⋅=⋅=⎰⎰，1ds 为下底面的面元矢量，方向由A 指向B （要注意到D 与1
ds 是同向的）。

所以D δ=，由电介质的性能方程D E ε=，ˆE n δ
ε
=，ˆn 为A 极板法向由A 指向B 。

所以B
A
q
S
S
C Ed
d
E dl
δε=
=
=
⋅⎰。

（2）圆柱形电容器电容：2ln B A
l
C R R πε=
（3）球形电容器电容：4A B
B A
R R C R R πε=
-
计算的思路是相同的，这里就直接给出计算结果。

4.电容的联结 （1）电容的并联
设n 个电容并联起来，其电容与极板电量分别为i C 、i q ,加在电容的两端电压为i U U =（i=1,2…n ）。

现计算其等效电容C 。

因为各电容并联所以等效电容两端的电压为U ，此时
等效电容的带电量为1
n
i i q =∑，所以1
1
n
i
n
i i i q
C C U
===
=∑∑
（2）电容的串联
现将这n 个电容串联起来，等效电容的两端电压为1
n
i
i U U
==
∑，而由电荷守恒可知各电容
带电量相同，相邻两电容的相邻两极板带等量异号电荷，即等效电容的带电量为q 。

所以
1
111n
i
n
i i i
U C q C ====∑∑
5．电容器储能
电容器的极板一旦带电，它就储存了能量，设电容器的电容为C ，充电完毕完极板带电量为Q ，极板两端电压为U ，电容器所储存的电势能是来源于充电过程电源克服极板上的电荷产生的电场把自由电荷从电容器的一个极板迁移到另一个极板，设充电某一瞬时，极板
上的电量为q ，此时两极板间的电势差为q
C
，电源把电量为－dq 的电子从正极板搬运至负极板，电源作的元功q dA dq C =-，电容器储存的电势能增加了q
dW dq C
=，从充电开始
至充电结束电容器储存的电势能220
1
22
Q
q Q W dq CU C C =
==⎰。

7. 电场能量密度
电磁理论和实验证明：电能不是分布在电荷上，而分布在电场中。

电容器中所储存的电势能实际就是极板上电荷在两极板之间所激发的电场具有的能量。

以平行板电容器为例推导电场中的能量密度公式，设平行板两极板面积为S ，两极板之间的距离为d ，极板间的均
匀电介质的电容率为ε，我们知道电容器所储存的电势能
22221111()2222
S U W CU U Sd E V d d εεε====，V 是两极板之间的体积（也是电场分
布的空间区域的体积）；这些能量分布在有电场的空间区域，由上我们可将电势能写成
12W D EV =
⋅，那么两极板之间电场存在区域的电场能量密度1
2
e W w D E V ==⋅。

这个式子称为电场能量密度公式。

虽然公式是由平行板电容器这一特例推导出的，但这是一个普遍成立的公式。

若电场能量分布不均匀，ω则不为常数，空间体积V 内的电场能量
1
2e V
V
W w dV D EdV ==
⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2.8带电体的静电能
1. 点电荷之间的相互作用能（e W ）：设两点电荷1q ,2q 。

我们知道1q 通过激发1E 作用于2
q （2q 则通过激发2E 作用于1q ），2q 在1E 中具有电势能21W ，1q 在2E 中具有电势能12W ，并有21W =12W 。

即1q ,2q 组成的系统确定的电势能W=12W =21W 是1q ,2q 共有的，称电势能W 是1q ,2q 的相互作用能。

2. 带电体系的自能（s W ）：由点电荷i q 组成的点电荷系，它们之间相互作用的相互作用能
之和称为该系统的自能。

（对于孤立的由若干个电荷连续分布的带电体组成的系统可看
成点电荷系）。

3. 静电能（W ）:对于孤立的带电体它的自能就是它的静电能。

但对于（孤立的）由若干
个电荷连续分布的带电体组成的系统中的任一个带电体，它不仅具有自能，还具有其它带电体对它的作用能，这两部分能量之和是这个带电体的静电能。

但从整体看，系统的自能就是系统的静电能。

需要注意的是：带电体的静电能并不等于带电体的各部分在电
场中具有的电势能之和W '（点电荷系则i i
i
W q u
'=
∑，i u 是i q 处其它电荷产生的电势
之和，对于连续带电体则过渡到积分：W udq '=⎰
，积分包含线、面、体形式），W 与W '存在着简单倍数关系。

4. 带电体的静电能的计算：
（1） 点电荷系{}|1,2,...,i q i n =：由静电能W 的定义我们知112n
i ij i j i
W q u =≠=∑∑,其中ij
u 是点电荷j q 在i q 处产生的电势。

所以1
12n
i i i W q u ==∑(其中i u 是除i q 其它电荷在i q 处
产生的电势之和)，即W=12
W '。

（2） 单一电荷连续分布的带电体：1
2
W udq =
⎰，积分遍及整个带电区域，其中u 为电荷元dq 处的电势，这个电势是由整个带电体产生的，dq 处的电势可以认为不含有
dq 的贡献（dq 产生的电势du 较其它电荷元产生的电势来说是一个无穷小量）
（3） 若干个电荷连续分布的带电体组成的系统：1
2
W udq =
⎰，这时积分遍及所有的带电体。

值得考虑的一个问题：系统中任一带电体（以下记为1）的静电能怎么求？上面提到过，此时带电体的静电能包含两方面，一个是它的自能,1s W ，别一个是其它带电体对它的作用能,1e W 。

1,1,1s e W W W =+
11
2
s W u dq =
⎰,其中1u 是带电体1在dq 处产生的电势，1e W u dq '=⎰，其中1
u ' 是除1外其它带电体在dq 处产生的电势111
1
2
W u dq u dq '=+⎰⎰，两项积分只遍及带电体1。

显然11
2
W W udq ≠=
⎰（这里的积分是遍及所有带电体）。

那么W 的它的结构是什么样的呢？
设该系统由n 个电荷连续分布的带电体组成，i u ，i u '分别为带电体i 、除去i 的其它带电体在i 上电荷元dq 处产生的电势，u 为某一电荷元d q 处的总电势。

11122n
i i W udq udq =∴==∑⎰⎰，而11
()22i i i i i
udq u dq u dq '=+⎰⎰⎰其中积分只遍及
带电体i 。

i i j
i j j i
j i i
i i
u dq u
dq u dq ≠≠'==∑∑⎰⎰⎰其中i j u 是带电体j 在带电体i 的电荷元dq
处产生的电势，显然
,i j
e ij
i
u
dq W =⎰，
,e ij W 指的是带电体j 与带电体i 之间
的相互作用能，又
,1
2
i s i
i
u dq W
=⎰，
,s i W 表示的是带电体i 的自能，所以：
,,,,,111
11
()()22n
n n
s i e ij s i e i s i e i i j i i W W W W W W W =≠===+=+=+∑∑∑∑，其只,e i W 是其它带电
体对i 的作用能，e W 是系统的作用能。

5. 带电体的自能与带电体所激发的电场具有的能量之间的关系：
11
22s e V V
W w dV D EdV
==⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰积分遍及了电场弥漫的整个空间区域（比如平
行板电容器所具有的电势能与它在两极板间产生的电场能量是相等的）。

定性分析似乎也可以解释5.式：（单一带电荷连续分布的带电体）设想这个带电体由电荷元
}{|1,2,...,i
dq i n =构成，取这些电荷元彼此相距无限远时系统电势能为0。

我们逐一将这
些电荷元移动，直至聚集成带电体的原状，这个过程要克服电场力做功，显然A=s W ，A 是外力所做的功。

这似乎暗示了带电体所激发的电场总能来自构成带电体的那部分能量，即带电体所拥有的自能。

（若干电荷连续分布的带电体系统）也可以类似的分析只不过情况比上述的复杂了点，由
,1
n
s i e i W W W ==+∑我们可以看出：我们让彼此相距无限远的电荷元先各自逐一的聚集成
带电体i （i=1,2,...n ）,这些带电体也是彼此相距无限远的，然后再将这些带电体移至原来的各自的位置，这个过程外力做的功可以分成两部分。

一部分是聚集过程做的功，显然
1,1
n
s i
i A W ==∑，另一部分是移动带电体所做的功
2e A W =，仍有A W =。