高数课本例题(考试用)

高等数学下册例题
第六章 向量代数与空间解析几何
6.1 空间直角坐标系
例1 在z 轴上求一点M ，使点M 到点A （1,0,2）和到点B （1,-3,1）的距离相等.
解 因为所求的点M 在z 轴上，故M 的坐标应为（0,0,z ）
，根据题意，有
解得 z=-3，即点M 的坐标是（0,0,-3）.
例2 已知一动点M （x,y,z ）到两个点A （1,2,3）和B （-1,-3,0）的距离总是相等，求点M 的坐标所满足的方程. 解 由已知条件，有
=
两端平方后整理，得：
2x+5y+3z-2=0,
即动点坐标应满足这个三元一次方程.
6.2 向量及其线性运算 向量在轴上的投影
例1 在∆ABC 中，D,E 是BC 边上的三等分点（见图6.12），设AB =a,AC =b,试用a,b 表示AD ,AE .
解：由三角形法则，有BC =b-a,再由数与向量乘积定义，有
1111
(),(),
3333
BD BC b a EC BC b a ==-==- ABD AEC ∆∆从及中可得
11
+(b-a)=(b+2a),
33
11
()(2).33
AD AB BD a AE AC CE AC EC b b a b a =+==+=-=--=+
例2 用向量的运算来证明：三角形两腰中点的连线平行于底边且其长度为底边的一半.
证：见图6.13.设,,AB a AC b ==则
1111,,2222
,
11
()22AD AB a AE AC b BC AC AB b a DE AE AD b a BC
=
====-=-=-=-= 例3：=(4,3,0)=4i+3j,b=(1,-2,2)=i-2j+2k,+|a|.a 设求a 2b 及 解
+2=(4i+3j)+2(i-2j+2k)=4i+3j+2i-4j+4k=6i-j+4k.a b
42,21,3,0.A AB AB 例：设已知两点（B （），求向量的方向余弦、方向角:及与同向的单位向量解
==-1,1||=-1AB AB （（
有 cos 12,α=
-
cos 12,β=cos 2,
γ=-
B
23,,.334
πππαβγ=
== 与AB 同向的单位向量为
0111(,,222||
a AB AB ==--
12
5=,cos =,|a|=3, a.3
3
a x y αβ例：设向量与轴、轴的夹角余弦为 cos 且求向量
解 cos 2
=3
γ±，有
||cos x
a a = 1
=3=1=|a|cos =2,=|a|cos = 2.3
y z a a αβγ⨯±， 所求的向量有两个，分别是
+2+2i+2-2.i j k j k 及
6(21,7),4-47.
B x y z A -例：一向量的终点在，它在轴、轴和轴上的坐标依次为，和，求该向量起点的坐标
解
,,,=2-x,-1-,7-)=4-472-x,--,-=(,-,), x=-2,y=3,z=0,-2,3,0.
A A
B y z AB 设点的坐标为（x y z ）则（，又由已知条件知（.，），所以有
（1y 7z ）447因此得即所求点的坐标为（）
6.3 向量乘积
2
221|a|=1,|b|=2,|c|=4,a,b,c ++,||.
3
a s=a (a+b+c)=a a+a b+a c =|a|+|a||b|cos (a,b)+|a||c|cos (a,c) =1+12cos
+14cos
=4.
3
3
|s|==(++)(s a b c a s s s s a b c a π
π
π
∧
∧
=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⋅⋅例：设两两夹角均为，求及解 222++) =+++2(++)
=1+2+4+2(12cos +14cos
+24cos
)
3
3
3
=35 |s|=35.
b c a a b b c c a b a c b c π
π
π
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯即
22222
2
2.ABC A=622|BC|=a,|CA|=b,|AB|=c,=2cos . 6.9=,=,=,=-,|c|==(-)(a-b)=|a|+|b|-2a b ab CB a CA b Ab c c a b c c a b θθ∠+-⋅⋅例：利用向量的数量积来证明三角形的余弦定理证明 在三角形中，设（见图.），要证
c （）设则有 从而 |a||b|cos (,).
|a|=,|b|=,|c|=,(,)=,69a b a b c a b θ∧
∧
⋅由即可得到公式（.）.
例3：证明向量)()(c a a c b ⋅-⋅与向量c 垂直.
证 根据向量垂直的条件，只要两个向量的数量积为零，就说明这两个向量是垂直的.注意到b c ⋅与c a ⋅都是数量，由数积的运算律，有
[)()(c a a c b ⋅-⋅]c ⋅=0))(())(b =⋅⋅-⋅⋅c b c a c a c （
从而证明了这两个向量是相互垂直的.
例4：一质点在力F=4i+2j+2k 的作用下，从点A （2,1,0）移动到点B （5，-2,6），求F 所做的功，及F 与AB 间的夹角.
解 由数量积的定义知，F 所做的功是W=F s ⋅,其中s=AB =3i-3j+6k
是路程向量，故
W=F s ⋅=（4i+2j+2k ）（⋅3j-3j+6k)=18 如果力的单位是牛顿（N ），位移的单位是米（m ），则Ｆ做的功是18焦耳(J). 再由向量间夹角的余弦公式，有
cos θ=
|s | |F | s F ⋅=2222226)3(322418
+-+++=2
1， a b
c
C
A
B
图6.22
因此，F 与s 的夹角为θ=
3
π. 例5：求向量a=(5,-2,5)在b=(2,1,2)上的投影. 解 由公式 a b ⋅=a b Prj |b | ，有
.64
1410
210||Prj |b |b =+++-=⋅=
b b a a 例6：设|a|=2，|b|=3，6
),(π
θ==∧
b a ，且u=a+2b,v=3a+b,求以u,v 为邻边的
平行四边形的面积.
解 以u,v 为邻边的平行四边形的面积，就是向量υμ⨯的模.由向量积的运算律，有 υμ⨯=(a+2b)⨯(3a+b)
=b b a b b a a a ⨯+⨯+⨯+⨯2323
=060+⨯+⨯+a b b a =b a b a b a ⨯-=⨯-⨯56
再根据 ∧
=b)a sin
||||||，（b a c ，得到 156
sin
325sin ||||5||5|5|||=⨯⨯⨯==⨯=⨯-=⨯π
θb a b a b a v u ，
即所求的平行四边形的面积是15.
例7：设a=(1,2,-2)，b=(-2,1,0).求b a ⨯及与a,b 都垂直的单位向量.
解 b a ⨯=
k j i k j i k
j i 5421
2-2
102210122012221++=+----=--. 由向量积的定义可知，若c=a b ⨯,则同时有b c a c ⊥⊥及（-c 也是如此），因此所求的单位向量为
).542(155)542(5
421||1222k j i k j i c c ++±=++++±=±
例8：求以A(1,2,-1)，B(-2,3,1)，C(1,1,2)为顶点的三角形的面积.
解 )3,1,0(,2,1,3-AB -==AC ）（，
所要求的三角形面积S 是以AC 、AB 为邻边的平行四边形面积的一半，因此
)3,9,5(3
10
21
3
AC AB =--=⨯k
j i
，
.1152
19812521||21=++=⨯=
AC AB S
例9：设a=(-2,3,1),b=(0,-1,1),c=(1,-1,4)，问这三个向量是否共面？ 解 所谓三个向量共面，是指三个向量在一个平面上，或者经过平行移动后可以置于一个平面上，因为b a r ⨯=与a,b 所确定的平面垂直，所以当a,b,,c 三个向量共面时，应该有0,=⋅⊥c r c r 即.计算如下：
).2,2,4(110132=--=⨯=k
j i b a r
所以有
.010824)4()224(≠=+-=+-⋅++=⋅k j i k j i c r
因此所讨论的三个向量不共面.
例10：设向量a,b,c 满足条件0a =⨯+⨯+⨯a c c b b ，试证a,b,c 共面. 证 等式两边都与c 做数量积，得
c c a c c b b a ⋅=⋅⨯+⨯+⨯0)(，
即 0)()()(=⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯c a c c c b c b a ，
因为)(c b ⨯与c 垂直，故0)(=⋅⨯c c b ，同样有0)(=⋅⨯c a c ，从而得到0)(=⋅⨯c b a ，即[a b c]=0，这就证明了三向量a,b,c 是共面的.
6.4 平面及其方程 例1：
求此平面方程平面的法向量为设一平面过点),3,2,1(),2,0,1(0=-n M
解：
根据平面的点法式方程，有
（x-1）+2（y-0）+3（z+2）=0, 整理得，
x+2y+3z+5=0.
例2：123(1,0-1),(2,1,2),(-1,1-4).M M M 求过三点，
，的平面方程 121312131(1,1,3),(2,13),(63,3)(6,3,3),-6x-1)3(0)3(1)0230.
M M M M n M M M M n M y z x y z ==--⨯=--=----++=+--=解：，平行于，，
取在三点中任取一点，这里取点，由平面的点法式方程，得方程为（整理得
例3：.y )22,3()1,51(21轴，求其方程，且平行于，及，
过两个点一平面--∏M M 解 因为的形式为轴平行，故其一般方程与由于所求的平面,0z y =++∏D C Ax 点12M M ∏∏和都在上，其坐标应当满足的方程，将这两个点的坐标代入到 这个方程中得到
A+C+D=0， 3A-2C+D=0，
将A 和C 看成未知数，解这个方程组，得A=.5
2
,53D C D -=-将这个结果代入到
平面方程中，得的方程为后整理得消去∏=+-D D D Dx ,0z 5
2
53-
3x+2z-5=0.
例4：求两平面x-4y+z-2=0与2x-2y-z-5=0的夹角.
解 ,3||,18||,9),1,2,2(),1,4,1(n 212121===⋅--=-=n n n n n
.
4
,
2
2
1839||||||cos 2121π
ϕϕ=
==⋅=
即n n n n 例5：求.0622)3,2,1(0的距离到平面点=--+-z y x P 解 .3)
2(21|
63222)1(1|2
2
2
=-++-⨯-⨯+-⨯=
d
6.5 空间直线及其方程
例1:.),0,13()20,1(21求其方程，及，过点一直线--M M L 解
1212,(31,10,02)(2,1,2),
M M s s M M ==---+=-因直线过这两个点，故可取直线的方向向量为
利用点）得所求直线方程为由式（与19.6,1s M
.2
2121x +=-=-z y 例2：求过点（2,1,4）且垂直于平面y-3z+2=0的直线方程.
解 所求直线L 平行于已知平面的法向量，即可以取直线的方向向量为 S=(0,1,-3),从而所求的直线方程可以写为
.3
4
1102x --=-=-z y 此时
2
-x 并不表示除式，上述方程应理解为 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=
-.
23411x z y
例3：把直线L 的一般方程
⎩⎨⎧=+-+=-+-,04220
52z y x z y x
化为直线的标准式方程和参数方程.
解 取 x=0,得
⎩⎨⎧=+-=-+,0
4205y 2-z y z 解得 y=-2,z=1,即得直线上的一个点为（0，-2,1）
取s=.5432-1212-1k
j i k j i ++=
故L 的标准方程为
,5
1423-=+=z y x 参数方程为⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+-==.51423t z t y t
x
例4：求直线
.0623
1221的交点与平面=++-=-+=-z y x z
y x 解 将直线用参数方程来表示，有
x=1+2t,y=-2-t,z=3t,
将其代入到平面方程中，有
（1+2t ）-(-2-t)+6t+6=0,
即9t+9=0,得t=-1,所以得到x=-1,y=-1,z=-3, 即交点为（-1,-1，-3）.
例5：求点的距离到直线3
3
2217x )1,1,1(0-=-=-z y P .
解 过0P 作一垂直于已知直线的平面，该平面为
（x-1）+2(y-1)+3(x-1)=0,即x+2y+3z-6=0,
再求直线L 与平面的交点.用上例的方法求得交点为P(6,0,0),由两点间的距离
公式，得0P ,P 两点间的距离为
d=1125++=33. 即所求的点线距离是33.
例6：求两直线
间的夹角与1
1
232x 134-11+=-=-+==-z y z y x 解 s 1=(1,-4,1),s 2=(-2,2,1)由式（6.22）有 ,22
9
18|9|||||||cos 2121=-=⋅=s s s s θ
得θ=4
,4π
π
即两直线间的夹角为.
例7：判断是否在同一平面内？
和两直线4
2
311:21111:
21-=+=-==+z y x L z y x L 若在同一平面内，求两直线的交点，若不在同一平面内，求两直线间的距离及公垂线方程（见图6.40）.
解 在直线L 1上任取一点，如取M 1(-1,0,1),在直线L 2上任取一点，如取M 2(0，-1,2),得向量1212(1,1,1),(1,1,2),(1,3,4)M M s s =-==两条直线的方向向量分别是，
,2224
3121121k j i k
j i s s +--==⨯
得 1212()20,s s M M ⨯⋅=≠
故这三个向量不共面，因此这两条直线不在一个平面上.
求公垂线L ，设L 与L 21,L 的交点分别是点A,B ，因为的方向故L L L L L ,,21⊥⊥
L 2
向量s 上，故和分别在，由于点取2121,)1,1,1(),1,1,1(2)//(s L L B A s s s -=--=⨯ 可设两个点的坐标为A(-1+t 1,1t ,1+21t ),B(22242,31,t t ++-),有 212121(1,31,421),AB t t t t t t =-+---+ 由于//s,AB 故有
1
1
2411311t 121212-+-=--=+-t t t t t . 从上式可得到一个二元一次方程组
⎩⎨⎧+--=+---=+-),124(113112121212t t t t t t t t 即⎩⎨⎧-=-=2352
212
2t t t
解此方程组，得t 两点的直线过于是得到B A B A t ,).6,2,1(),3
17
,37,34(.1,3721==
为公垂线，故公垂线方程为
,16
1211-x ,3
16212311--=-=--=-=-z y z y x 即 还可以得到L 123
||3
L d AB ==与间的距离为
例8：求平面2x+y+z+3=0与直线⎩
⎨⎧=+-=-+.,0520
5x 间的夹角z x y
解 平面的法向量为n=(2,1,1),用向量积求得直线的方向向量为s=(-1,1,-2), Sin ,2
16|3||s ||n ||s n |=-=⋅=
ϕ 即所求直线与平面的夹角为.6
π
ϕ=
例9：求直线⎩⎨⎧=++=++=-+.,上上的投影直线上的z y 在平面x z x-y z-y x 0010
1
解 过已知直线的平面束为
,0)1(1x =++-+--+z y x z y λ）（ 即 （,0)1()1()1()1=+-++-+-++λλλλz y x
该平面与x+y+z=0垂直的条件是
（1+,01)1(1)1(1)=⋅+-+⋅-+⋅λλλ 由此得λ=-1，得平面方程为y-z-1=0. 所求的投影直线为
⎩⎨⎧=++=--00
1y z y x z .
6.6 曲面及其方程
例1：求半径为R ，球心在点M 0,(000,,z y x )的球面方程.
解 设M （x,y,z ）是球面上的任一点，则点M 到点M 0的距离总是为常数R ，由两点的距离公式，有
R = 则球面方程为
.
222
2000x x y y z z R -+-+-=（）（）（）
例2：一曲面上的点到z 轴的距离为常数R ，求曲面方程.
解 设M(x,y,z)是曲面上任一点，则点M 到点M 0(0,0,z)的距离就是点M 到z 轴的距离，有已知条件，有
,002
22R z z y x =-+-+-）（）（）（
即 x 222R y =+.
例3：方程?026222表示怎样的曲面=-+++y x z y x 解 将方程变形为
,10)1()3(222=+-++z y x
这是一个球心在（-3,1,0），半径为10的球面方程.
例4：将yOz 平面上的椭圆
122
22=+c
z b y
分别绕y 轴和z 轴旋转一周，求所得到的旋转曲面方程.
解 绕z 轴旋转时，旋转曲线方程为
,c
z b ）y x （122
22
22=++± 即为 .122
2
22=++c
z b y x 绕y 轴旋转时，旋转曲面方程为
.12
2
222=++
c z x b y
例5：求xOy 面上的曲面y=x 2绕y 轴旋转所得到的旋转曲面方程. 解 用22x y +±代替曲面方程中的x 即可得旋转面方程，所以 ,)(222z x y +±= 即为 y =x 22z +,
例6：直线L 绕另一个与L 相交的直线旋转一周，所得的旋转曲面称为圆锥面.
两直线的交点称为圆锥面的顶点，两直线的夹角α（2
0π
α<<）称为圆锥面的
半顶角.试求顶点在坐标原点，半顶角为α的圆锥面方程. 解 设yOz 面上过原点的直线L 的方程为 αcot z y =， 当L 绕z 轴旋转时，旋转曲面方程为 z=αcot x 22y +±, 两端平方后，得 ),(2222y x k z += 其中k=cot 4
.π
αα=
当时，圆锥面方程为
222z y x +=. 6.7空间曲线及方程
例1 方程组⎩⎨⎧==++3
25
222z z y x 表示怎样的曲线？
解 方程组中的第一个方程表示球心在圆点，半径为5的球面，第二个方程表示平行于x O y 面的平面，方程组则表示球面与平面的交线，该交线是以点（0，0，3）为圆心，半径为4，在平面z=3上的圆。

例2 方程组⎩⎨⎧=+=+6
321
22z x y x 表示怎样的曲线？
解 方程组表示圆柱面122=+y x 与平面632=+z x 的交线，该交线是一椭圆。

例3 方程组⎪⎩⎪
⎨⎧⎪
⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=22
22
2222R y R x y x R z 表示怎样的曲线？ 解 方程组中的第一个方程表示球心在圆点，半径为R 的上半球面，第二个方
程表示母线平行于z 轴的圆柱面，它的准线是x O y 面上的圆，圆心为⎪⎭
⎫ ⎝⎛0,2R ，
半径为
2
R
，方程组表示的就是二者的交线。

例4 方程组⎩⎨⎧=++=++0
2
222z y x R z y x 表示怎样的曲线？
解 方程组中的第一个方程是球心在圆点，半径为R 的球面，第二个方程是一个过原点的平面，即该平面过球心，二者的交线是以原点为圆心，R 为半径的圆，方程组表示的就是这个圆。

例5 如空间一点M 在圆柱面222R y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转，同时又以
线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升（其中v ,ω都是常数），则点M 的轨迹称为螺旋线，试建立其参数方程。

解 取时间t 为参数，设t=0时，动点在x 轴上的点（R,0,0）处经过时间t ，动点有A 运动到M （x ，y ，z ）。

记点M 在x O y 面上的投影为M '，则M '的坐标为（x ，y ，0），由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z 轴旋转，所以经过时间t ，
θω=='∠t M AO ，从而
t R t M O x ωωcos cos ='=
t
R t M O y ωωsin sin ='=
由于动点同时以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升，所以
vt M M z ='=， 因此得螺线圈的参数方程为
⎪⎩
⎪
⎨⎧===.,sin ,
cos vt z t R y t R x ωω
若以θ为参数，则螺旋线方程又可写成
⎪⎩
⎪
⎨⎧===,,sin ,cos θθθb z R y R x
其中
.
ωv
b =
例6 将曲线方程⎩⎨
⎧=++=++02222z y x R z y x 化为参数形式 解 把 第二个方程代入到第一个方程中，整理后得
.
21
222R y xy x =++ 在xOy 平面上，该方程表示一个椭圆。

该椭圆的参数方程是
⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧-=+=-=,cos 62,
sin 2cos 6,sin 2
cos 6t R z t R t R y t R t R
x π20≤≤t 。

将空间曲线化为参数式时，其参数方程不是唯一的。

例7 求曲线⎩⎨⎧==++12222z z y x 在坐标面上的投影。

解 从方程组中消去z 的12
2=+y x ，这是母线平行于z 轴的柱面，它与xOy 面
的交线
⎩⎨
⎧==+0122z y x
就是曲线在xOy 面上的投影，即投影曲线是xOy 面上的单位圆。

因为曲线在平面1=z 上，所以曲线在zOx 面上的投影为
⎩⎨
⎧==,0,1y z 且.1<x
类似可得到曲线在yOz 面上的投影。

例8 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==++222222y x z z y x 在xOy 面上的投影曲线
解 将第二个方程代入到第一个方程中，有
2)(22222=+++y x y x ， 整理为
0)1)(2(2222=-+++y x y x ，
得投影柱面为
012
2=-+y x ，故所求投影与上例中的式相同 例9 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=x
z y x z 22
22，在xOy 面上的投影曲线
解 第一个曲面是开口向上的上半锥面，第二曲面是母线平行于y 轴的抛物柱面。

将第二个方程带入到第一个方程中，得
,222y x x +=
即为
.222x y x =+
空间中，这是一个母线平行于z 轴的圆柱面，它与xOy 面的交线
⎩⎨
⎧==+0222z x y x 即为所求的投影曲线。

6.8二次曲面
例1 方程2
223y x z --=表示什么的曲面？
解 )2(2
2y x z +-=的图形是开口向下，顶点在原点的椭圆抛物面，将这个曲
面向上平移3
个单位，即得2
223y x z --=得图形（见图
例2 画出由曲面2
23y x z +=-及平面x=0, x=1,y=0, y=1, z=0所围成立体的
图形.
解 x=0, x=1, y=0, y=1都是与z 轴平行的平面，它们围成了立体的侧面.
当10,10≤≤≤≤y x 时，
032
2>--=y x z 所以平面z=0是立体的底面，曲面223y x z +=-是立体的顶部曲面
第七章 多元函数微分法及其应用 7.1多元函数的极限及连续性
例 1 长方形的面积S 与其长x 、宽y 的关系为xy S =当想x,y 在集合
{}0,0|),(>>y x y x 内取定一对值),(y x 时，S 的值就随之确定。

例2
一定量的理想气体的压强p 与体积V 和绝对温度T 之间的关系为
V RT p =
其中R 为常数，当V ，T 在集合{}
0,0|),(T T V
T V >>内取定一对值（T,V ）时，p
的对应值就随之确定。

例3
设R 是由电阻21,R R 并联后的总电阻，由电学知道，他们之间的关系为
212
1R R R R R +=。

当21,R R 在集合{}0,0|),(2121>>R R R R 内取定一对值),(21R R 时，R
的对应值就随之确定。

例4
求函数y
x y x y x z -++
=2
22)
arcsin(ln 的定义域。

解 定义域D 中的点（x,y ）应满足条件
2
220,1,0x y y x x <≤≤+>。

例5 求极限
y x xy
y x 3lim
)2,1(),(+→
解 由极限运算法则，得
7
2
23121)
3(lim )
(lim 3lim )
2,1(),()2,1(),()2,1(),(=
⨯+⨯=
+=+→→→y x xy y
x xy
y x y x y x
例6 求极限
2
4lim
)
0,0(),(-+→xy xy y x
解
4)24(lim )
24(lim 24lim
)0,0(),()0,0(),()
0,0(),(=++=++=-+→→→xy xy xy xy xy xy
y x y x y x
例7 设函数22221
sin
)(),(y
x y x y x f ++=，求极限),(lim )0,0(),(y x f y x → 解 因为2
22
2221sin
)(0y x y x y x +≤++<，
且 0)(lim
22)
0,0(),(=+→y x y x ，
由夹逼准则有
01
sin
)(lim
2
222)
0,0(),(=++→y
x y x y x ，从而所求极限为零。

例8 函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(2
2y x y x y x xy
y x f 当)0,0(),(O y x P →时极限是否存
在？
解 当点P 沿直线路径kx y =趋近于原点时，函数的极限为
2222200
1lim ),(lim k k
x k x kx y x f x x kx y +=+==→→=，
该结果于k 的值有关，当k 取不同值时，其极限值也随之变化，故所求的二重极限不存在。

例9 讨论函数
4
2
2
),(y x xy y x f += 当),(),(y x O y x P =时极限是否存在？
解 当点P 沿直线路径kx y =趋近于原点时，函数的极限为
0lim ),(lim 4423
200
=+==→→=x k x x k y x f x x kx y
7.2偏导数
例1 求函数2
23y xy x z ++=在点)2,1(处的偏导数
解 将y 看成常量，得
y x x z
32+=∂∂，
8
23122
1
=⋅+⋅=∂∂==y x x z
将x 看成常量，得
y x y z
23+=∂∂，
7
22132
1
=⋅+⋅=∂∂==y x y z
例2 求yz
x u =的偏导数
解 将x 看成变量，y 和z 看成常量，得
1
-=yz x yzx u ，
同理得
x
zx u yz y ln =，x yx u yz
z
ln =。

例3
求222z y x r ++=的偏导数
解 将y ，z 看成常量，得
r
x z y x x x
r =
++=∂∂2
22
由于所给函数关于自变量对称，所以
r y y r =∂∂，r z z r =∂∂
例4
已知理想气体的状态方程为RT pV =（R 是常数），证明
1-=∂∂•∂∂•∂∂p T
T V V p
证 因为
V RT p =
，2
V RT
V p -=∂∂;
p RT V =
，p R
T V =
∂∂;
R pV T =
，
R V p T =∂∂ 所以 1
-=∂∂•∂∂•∂∂p T T V V p
例5
设⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2
2y x y x y x xy
y x f 求)0,0(x f ，)0,0(y f
解 需要用定义来求),(y x f 在原点处的偏导数：
00
lim )0,0()0,(lim
)0,0(00
==-=→→x x f x f f x x x
00lim )0,0(),0(lim
)0,0(00
==-=→→y y f y f f y y y
例6
求函数x y x y x z sin 3324+-=的二阶偏导数。

解 x
y y x x z cos 6433+-=∂∂ 2249y x x y z -=∂∂，
x
xy y x x z cos 6123
222+-=∂∂， 232184xy x y x z -=∂∂∂， 232184xy x x y z -=∂∂∂， 2
2
2
18xy y z -=∂∂ 例7 证明函数r
u 1
=
满足Laplace 方程 022222
2=∂∂+∂∂+∂∂z u
y u x u ， 其中222z y x r ++=。

证 3
2211r x
r x r x r r x
u -=•-=∂∂•-=∂∂ 52343
2
2313r x r x r r x r x
u +-=∂∂•+-=∂∂ 由于所给函数关于自变量的对称性，所以
5232231r y r y u +-=∂∂，52
32231r z r z u +-=∂∂ 因此
033)(3352352223222222=+-=+++-=∂∂+∂∂+∂∂r r r r z y x r z u y u x u 例8 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(2
22
2y x y x y x y x xy y x f 求)0,0(xy f ，)0,0(yx f
解 当)0,0(),(≠y x 时，偏导数为
2
224224)()
4(),(y x y y x x y y x f x +-+= 2
224224)()
4(),(y x y y x x x y x f y +--=
由偏导数定义容易求的0)0,0(=x f ，0)0,0(=y f ，再利用偏导数定义，得
1
)()(lim )0,0()0,0(lim )0,0(4400-=∆⎥
⎦⎤⎢⎣⎡∆∆-∆=∆-∆+=→∆→∆y y y y x f y f f y x x y xy 1)()(lim
)0,0()0,0(lim )0,0(4400-=∆⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∆∆-∆=∆-∆+=→∆→∆x x x x y f x f f x y y x yx 。

7.3 全微分
例1 设),(y x f 在矩形区域D 内偏导数存在，且
0≡∂∂x
f
，0≡∂∂y f ，证明在D 内),(y x f 恒为常数。

证 设),(11y x ，),(22y x 是D 内任意两点，12x x x -=∆，12y y y -=∆则由定理7.2有
y y y x f x y y x x f y x f y x f y x ∆∆++∆∆+∆+=-),(),(),(),(2111111122θθ
因为偏导数恒为零，故),(22y x f —),(11y x f =0即 ),(22y x f =),(11y x f
由于),(11y x ，),(22y x 是D 内任意两点，故),(y x f 在D 内是一常数。

例2 求函数y x y x y x f z 23),(24++==的全微分 解 偏导数为
3423+=∂∂y x x
f
，224+=∂∂y x y f 全微分为dy y x dx y x dz )22()34(423+++= 例3 求函数)3sin(22z y x u +=的全微分 解
)3sin(22z y x x u +=∂∂，)3cos(22z y x y u +=∂∂，)3cos(622z y z x z
u +=∂∂ 所求全微分为
dz z y z x dy z y x dx z y x du )3cos(6)3cos()3sin(222222+++++= 例4 设函数
⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=,
0,0,0,1sin )(),(2
22
22
222y x y x y x y x y x f
(1)求偏导数),(y x f x ，),(y x f y
(2)讨论),(y x f x ，),(y x f y 在(0,0)处是否连续 (3)讨论),(y x f 在点(0,0)处是否可微 解 (1)当(x,y)≠(0,0)时，有 2
2
2
2
2
2
1cos
1sin 2),(y
x y
x x y
x x y x f x ++-
+=
由偏导数的定义求的 01
sin lim )0,0()0,0(lim
)0,0(00
=∆∆=∆-∆+=→∆→∆x
x x f x f f x x x ， ⎪⎩⎪⎨
⎧
=+≠+++-+=0
,00
,1cos
1sin 2),(2
2222
22
22
2y x y x y x y x x y x x y x f x
类似地求的
⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+=0
,00,1cos 1sin 2),(2
22
22
22222y x y x y x y x y y x y y x f y
(2)当P(x,y)沿路径y=0趋近于原点时，由于
)1cos 1sin
2(lim ),(lim 0
0x
x x x x y x f x x y x -==→=→ 不存在，故
),(lim
)
0,0(),(y x f x y x →不存在，即),(y x f x 在点(0,0)处不连续，同理可知
),(y x f y 在点(0,0)处也不连续
(3)由于
1
sin
lim )()(1
sin
])()[(lim
lim
)
)0,0()0,0((lim
2
2220
==∆+∆∆+∆=∆=∆-∆-∆→→→→ρ
ρρ
ρ
ρ
ρρρρy x y x z
y f x f z y x
故函数f(x,y)在点(x,y)可微分 7.4 多元复合函数求导 例1 xy y x z )(2+=，求
x
z
∂∂，y z ∂∂ 解 v u z =，y x u +=2，xy v =则
)
ln()()(2ln 2221221y x y x y y x y x u
y u x vu x u
v z x u u z x z xy xy v v ++++=+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂--
)
ln()()(ln 22121y x y x x y x xy u
x u vu y
u v z y u u z y z xy xy v v ++++=+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂--
例2
设),(v u f 有连续偏导数， ),sin (x ye y x f z =，求y x z z ,
解 设y x u sin =，x ye v =，则由式(7.7)，有
x
ye v
f y u f x u v f x u u f x z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂sin v f
∂∂ 为方便起见，记'=∂∂1f u f ，'
=∂∂2f v
f 则
'
+'=∂∂21sin f ye yf x
z x
类似有
'+'=∂∂21cos f e yf x y
z x 例3
设z y xe u -=，而2t x =，t y sin =，t t z 23+=，求
dt
du 解 )
322cos ()]
23(cos 2[)23(cos 24222sin 22
3
t t t t t e t x t x t e t xe t x xe t e dt
dz z u dt dy y u dt dx x u dt du t
t
t z y z y z y z y --+=+-+=+-+=∂∂+
∂∂+∂∂=------
例4 设)3,,(2y e x y x x f z -=，其中f 有连续的偏导数，求x
z
∂∂，y z ∂∂ 解 设y x u 2=，y e x v -=3，则
'+'+'=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂3213232f xyf f v
f xy u f x f x v v f x u u f x f x z '-'=∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂3222f e f x e v
f x u f y v v f y u u f y z y y 例5 设)(22y x yf z -=，其中f(u)可微，证明 z y
x
y z x x z y
=∂∂+∂∂ 证 注意到f 中只有一个中间变量u ，故f 对u 求导时应该使用导数符号而不
是偏导数符号，有
)(2)(u f xy x u
u f y x z '=∂∂'=∂∂
)(2)()()(2u f y u f y
u u f y u f y z '-=∂∂'+=∂∂ z
y
x
u yf y x u xf u f xy u xf u f xy y
z
x z z y
==='-+'=∂∂+∂∂)()()(2)()(222
例6 设),,(z y x f u =，而),(t x g y =，),(z x h t =，
各函数均有连续偏导数，求x
u ∂∂，z
u
∂∂ 解 变量间的关系x 和z 是自变量，有 )
(12121''+''+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂h g g f f x h t g x g y f x f x y y f x f x u '+'''=∂∂∂∂∂∂=
∂∂+∂∂∂∂=∂∂3
222f h g f z h t g y f z f z y y f z u ，
例7
求函数)ln(22y x z +=的全微分
解 2
222222
2
22)())(ln(y
x ydy
xdy y x y x d y x d dz ++=++=+= 例8 设),(v u f z =所有的二阶偏导数连续，y x u +=2
，y x v sin =，求22x
z
∂∂，
y x z ∂∂∂2，22y z
∂∂ 解 '+'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂21sin 2yf xf x
v v f x u u f x z
'+'=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂21cos yf x f y
v v f y u u f y z ⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂+'
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛'+'∂∂=∂∂21
12122sin 22sin 2f x y f x x f yf xf x x z 例8
设x
y
u =
，y v =，证明方程 022
2
22222
=∂∂+∂∂∂+∂∂y z y y x z xy x z x 可以化为022=∂∂u
z
，其中函数z 的所有二阶偏导数均连续
证 可以将u ，v 看成中间变量，x ，y 看成自变量，即
),(v u f z =，x
y
u =，y u =
由复合函数求偏导方法，有
u
z
x y x z ∂∂-=∂∂2
，v z u z x y z ∂∂+∂∂=∂∂1， 2
2422222u
z x y u z x y x z ∂∂+∂∂=∂∂， v
u z
x y u z x y u z x y x z ∂∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂∂22
223221， 2
222
222
222222221111v z v u z x u
z x v z
x v u z v u z x u z x y
z ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂=∂∂
将上三式中两端分别乘上2x ，2xy ，2y 后相加，得
022
2
22222222
=∂∂=∂∂+∂∂∂+∂∂v z y y z y y x z xy x z x
即原方程可化为022=∂∂u
z
例9
设)(r f u =，222z y x r ++=，在r>0内满足Laplace 方程
0222222=∂∂+∂∂+∂∂z
z
y z x z
其中f(r)二阶可导且1)1()1(='=f f 。

试将上式化为以r 为自变量的常微分方程，并求f(r).
解 r
x
r f x u )('=∂∂
3222222
222)()()()(r
z y r f r x r f r r x r r f r x r f x u +'+''=-
'+''=∂∂ 3
2
22222)()(r
z x r f r y r f y u +'+''=∂∂， 3
2
22222)()(r
y x r f r z r f z u +'+''=∂∂ 将上面的结果代到主式，得
0)(2
)(='+''r f r
r f
求的微分方程的通解为 21
)(C r
C r f +=
由条件1)1()1(='=f f 得 2,121=-=C C ,即所求的函数为
r
r f 1
2)(-=
7.5 隐函数求导法
例 1 验证方程0),(=+-=y x e e xy y x F 在点)0,0(0P 在某一邻域内唯一确定一个有连续导数的隐函数)(x y y =，并求其导数
解 函数y
x e e xy y x F +-=),(，则
e x F +=，01)0,0(≠=F
所以方程
0=+-y x e e xy 在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的函数y=y(x)，其导数为
e
x e y F F dy dx y x +--=-=
例2
设0322
22=-+++z xy z y x ，求x z ∂∂，y z ∂∂，y x ∂∂，z x ∂∂
解 设
z xy z y x z y x F -+++=2
2232),,(则 1
632222-=-+++=z z xy z y x F x
得
y
z y x F F x z x ++-=-=∂∂62，164-+-
=-=∂∂z x
y F F y
z z y y x x y F F y x x y ++-
=-=∂∂24，y x z F F z x
x z +--=-=∂∂216 例3
设),(v u Φ有连续导数，a,b,c,是常数，证明由方程0),(=--Φbz cy az cx 所确定的函数),(y x z z =满足方程
xy
c y z b x z a
=∂∂+∂∂
证 设),(),,(bz cy az cx z y x F --Φ=，az cx u -=，bz cy v ==
则
u v u
x c x v x u F Φ=∂∂Φ+∂∂Φ=，v v u
y c y v y u F Φ=∂∂Φ+∂∂Φ=
v u v u
z b a z v
z u F Φ-Φ-=∂∂Φ+∂∂Φ=
得到v u u z x b a c F F x z Φ+ΦΦ=-=∂∂，v u v z y b a c F F y z
Φ+ΦΦ=-=∂∂ 所以c b a bc ac y z b x z a
v
u v
u =Φ+ΦΦ+Φ=∂∂+∂∂ 例4
设函数),(y x z z =由方程0=-xyz e x
所确定，求22y
z ∂∂
解 所给的方程两端对y 求偏导数，得0=∂∂--∂∂y
z xy xy y z e x
即 xy e xz y z x
-=∂∂
将y z
∂∂对y 再求一次偏导数，有2
22)()()(xy e x z e xy xy e xz y z z y z
z y ----=∂∂
将一阶偏导数
y
z 带入到上式中，整理后得
3
2222
2)()(2xy e e z x xy e z x y z z z
z ---=∂∂
例5
设0=-yv xu ，1=+xv yu ，求x u ∂∂，y u ∂∂，x v
∂∂，y v ∂∂
解 将方程的两端对x 求偏导数并移向，得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂v x v x x u y u x v y x u
x
在
22≠+=-=y x x
y
y x J 的条件下，有
22
y x yu xu x
y y x x v y
u x u +--=----=∂∂，2
2
y x xv
yu x
y y x v y u
x x v +-=---=∂∂
用同样的方法地
22y x yu xv y u +-=∂∂ 2
2y x yv xu y v ++-=∂∂ 例6 设函数x=x(u,v),y=y(u,v)在点（u ，v ）的某一邻域内连续且有连续偏导
数，又 0),()
,(≠∂∂v u y x
(1)证明方程组
⎩⎨
⎧==),(),(v u y y v u x x
在点（x ，y ，u ，v ）的某一邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数u=u(x,y),v=v(x,y)
(2)求反函数u=u(x,y)和v=v(x,y)对x ，y 的偏导数 证 (1)将方程组改写成下面的形式
⎩⎨
⎧=-==-=0
),(),,,(0
),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F 则按假设0)
,()
,(),(),(≠∂∂=∂∂=
v u y x v u G F J
由定理可得所要证的结论。

(2)将方程组所确立的反函数u=u(x,y),v=v(x,y)带回到该式中，得
⎩⎨⎧≡≡)),(),,(())
,(),,((y x v y x u y y y x v y x u x x
上式两端分别对x 求偏导数，得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=x v v y x u u y x v v x x u u x 01 由于0≠J ，故可得v y J x u ∂∂=∂∂1，u y
J x
v ∂∂-
=∂∂1 同理可得
v x J y u ∂∂-=∂∂1，u
x
J y v ∂∂=∂∂1 例6 设⎪⎩
⎪⎨⎧===uv
z v e y v e x u u sin cos 求x z
∂∂，y z ∂∂
解 前两个式子确定了u 和v 是x ，y 得函数，所以在第三个式子中u 和v 相当于自变量，而x 和y 是自变量，z 对x 求偏导数，得
x
v
u x u v x z ∂∂+∂∂=∂∂
其中x u ∂∂，x
v
∂∂，可有v e x u cos =，v e y u sin =利用隐函数求导方法求出。

两式分
别对x 求偏导数，得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧∂∂+∂∂=∂∂-∂∂=x v v e x u v e x v v e x u v e u u u
u cos sin 0sin cos 1
解这个方程组，有
u u u e v e v e x u cos cos 2==∂∂，u u u e
v e v e x v sin sin 2-=-=∂∂ 则有
u u u e v u v v e
v
u e v v x z --=-=∂∂)sin cos (sin cos 类似得到
u e v v v u y
z
-+=∂∂)sin cos ( 7.6 多元函数微分法在几何上的应用
例1 求曲线x=t,y=t 2,z=t 3在点（1,1,1,）处的切线与法平面方程. 解 在点M 0处， t 0=1,得
T=（x '（t 0）y '（t 0）z '（t 0））0t =1 =(1,2,3) 所求切线方程为
3
1
2111-=
-=-z y x 法平面方程为
（x-1）+ 2(y-1) + 3(z-1) = 0, 即
x + 2y + 3z – 6 = 0.
例2 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++04532
,
03222z y x x z y x 在点（1,1,1）处的切线方程与法平面方程.
解 上面的两个方程两端对x 求导，得
⎩⎨⎧=+-=-+0
532,
03222'
'''z y zz yy x 在点（1,1,1）处，有
⎩⎨⎧=+-=-++.
0)1(5)1(32,
03)1(2)1(22'
'''z y z y 解这个方程组，得y'(1)=
169,z'(1)=16
1
-.故所求切线方程为 ,11
91161--=-=-z y x
法平面方程为
16(x-1)+9(y-1)-(z-1)=0，即16x+9y-z-24=0.
例3 求椭圆抛物面z =x 2+2y 2–1在点M 0(–1,2,8)处的切平面方程.
解 在点M 0法向量为),1,8,2(--=n
所求的切平面为 –2(x +1)+8(y –2) –(z –8)=0,
即为 2x –8y +z +10=0. 法线方程为
.1
8
8221--=-=-+z y x 例4 求椭球面2x 2+3y 2+z 2=9上的点,使该点处的切平面平行于平面2x –3y +2z +12=0,并写出该点的切平面及法线方程.
解 设切点为M 0(x 0, y 0, z 0)，在该点，法向量为),2,6,4(000z y x n =
按题意，n 与向量1n =（2,-3,2）平行，所以有
,2
236240
00z y x =-= 设,223624000t z y x ==-=则有,,2,2000t z t
y t x =-==将其代入到椭球面方程中,
有
,94
3422
22=+⋅+⋅t t t 得到 t =2±. 这样，所求的点有两个，当t =2时,得切点M 1(1,–1,2), 当t = –2时,得切点
M 2(–1,1,–2).在点M 1, 切平面为
2(x –1)–3(y +1)+2(z –2)=0,即2x –3y +2z –9=0.
在点M 2,切平面为
2x –3y +2z +9=0.
例5 求椭球面122
2222=++c
z b y a x 上点M 0(x 0, y 0, z 0)处的切平面方程.
解 在点M 0处,曲面的法向量为
),
,,(202020c z b y a x n =
切平面方程为
.0)()()(020
020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x
注意到点(x 0, y 0, z 0)在椭球面上,其坐标应满足椭球面方程,故上面的切平面方
程可整理为
.120
2020=++z c z y b y x a x
例6 设函数f (u )有连续导数，⎪⎭
⎫
⎝⎛=x y xf z 证明曲面（0≠x ）的切平面必过原点.
证 ),()())(()('2'x
y
f x y x y f x y x y xf x y f z x -=-+=
)(1''x
y f x x y xf z y ==）（.
设切点为),,,(000o z y x M 其中，,00≠x 则曲面在点0M 的法向量为
n=
,1),(),()(0
0'00'0000）（--x y
f x y f x y x y f 曲面在点M 0的切平面方程为
,0)()()(00000000000=---⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛'-z z y y x y f x x x y f x y f x y 整理后得.000000000=-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛'+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x y f x x y f x y x y f
点（0,0,0）在该平面上.由此即可看出曲面上任一点的切平面一定过原点.
例7 求曲线⎩
⎨⎧=+=++2
22222,
50z y x z y x 在点M 0(3,4,5)处的切线方程. 解 本题可利用前面例2的方法来做，也可利用曲面的切平面来做.球面
50222=++z y x 在(3,4,5)点的切平面为3x+4y+5z –50=0.圆锥面222z y x =+在
(3,4,5) 点的切平面为3x+4y –5z=0.
将两个切平面方程联立
⎩⎨
⎧=-+=-++,
0543,
050543z y x z y x
即为所求的切线L 的一般式方程. 7.7 梯度与方向导数
例1 求函数u=f(x, y, z)=2
2z xy +在点(1,1,–2)的梯度.
解 函数在点(x, y, z)的梯度为
,22),,(2zk xyj y z y x f ++=∇
所以
.42)2,1,1(k j i f -+=-∇
例2 试求数量场
r
m
所产生的梯度场,其中常数m>0,222z y x r ++=是原点O 与点M(x, y, z)间的距离.
解 ,3r mx r m x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂,3r my r m y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂,3r
mz r m z -=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂
故
.2⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭
⎫
⎝⎛∇k r z j r y i r x r m r m
例3 求函数22y x z +=在点(0,0)处沿任意方向的方向导数. 解 对任意方向l ，有
,)0,0()0,0(lim |000ρ
ρf y x f l f -∆+∆+=∂∂→）
，（
.1lim
2
2
220
=∆+∆∆+∆=→y
x y x ρ
即该函数在原点处沿任意方向的方向导数都是1.
例4 求函数⎪⎩⎪
⎨⎧+=,
0,),(22y x xy
y x f )0,0(,),0,0(,=≠）（）（y x y x 在点(0,0)沿从点(0,0)到点(1,1)
方向的方向导数.
解 在所个给方向上,∆x=∆y>0,因此
,)0,0()0,0(lim |000ρ
ρf y x f l f -∆+∆+=∂∂→）
，（ 3
22
2
)
(lim y x x y
x x ∆+∆∆=∆=∆→∆
.8lim 32
0）（x x x ∆∆=→ 该极限不存在，故所求方向导数不存在. 例5 求函数y
xe
z 2=在点P （1，0）到点Q （2，-1）方向的方向导数.
解 这里l 的方向即向量)1,1(-=PQ 的方向（见图7.18），其方向余弦为
.2
1
-cos 21cos ==
βα，由于函数可微分，且.20
,1,1)0,1(==）（y x f f 由式.cos cos ),(0βαy
f x f l y x f l f ∂∂+∂∂=⋅∇=∂∂得 .22
)2
1(2211-=-⋅+⋅=∂∂l z 例6 求函数u=f(x, y, z)=yz x
32
+在点P(1,1,1)沿椭球面
632222=++z y x 在该点的外法线方向的方向导数.
解 设),,(0000z y x M 是椭球面上的一点，该点处的法向量可取为
n=.3,2,000）（z y x ±
由于点（1,1,1）在第一卦限，而向量（1,2,3）的方向角都是锐角，显然该向量
在点（1,1,1）处的指向是椭球面的外侧，即外法线方向.由于
),14
3,142,141(
),3,3,2()1,1,1(0==∇l f 故所求的方向导数为 .14
17)962(141)1,1,1(0=++=⋅∇=∂∂l f l f 例7 求函数⎪⎩
⎪⎨⎧+++=,0,),(2
43y
x y x y x y x f ）（）（）（）（0,0,,0,0,=≠y x y x 在点O(0,0)沿任意方向的方向导数.
解 由偏导数定义求得.1)0,0(,1)0,0(==y x f f 但由于
((0,0)(0,0))
3lim
lim ,0
z f x f y x y
x y ρ
ρ∆-∆+∆=→→→当点）（y x ∆∆,沿路径y=x 2(x>0)趋于原点O(0,0)时，
,02
1
)(1)(2)(lim
2
255
)(2≠=
∆+∆∆→∆∆=∆x x x x x y 故
),(y x f 在点O （0,0）处不可微分，下面用定义计算方向导数.
ρ
βραρρ)
0,0()cos ,cos (lim
0f f l
f y x -=∂∂→==
βαρβ
αρρβραρρρ242300cos cos cos cos lim cos cos lim +++=→→
.cos cos βα+= 7.8多元函数的极值
例1 .933),(2233的极值求函数x y x y x y x f -++-=
解 先解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=,
063),(,
0963),(2
2
y y y x f x x y x f y x 求得其全部驻点为
（1,0），（1,2），（-3,0,），（-3,2）. f(x,y)的二阶偏导数为
.66),(,0),(,66),(+-==+=y y x f y x f x y x f yy xy xx
在点（1,0），AC-B 2=12⨯6=72>0,且A>0,所以函数在点（1,0）处取极小值，为f(1,0)=-5;
在点（1,2），AC-B 2=12⨯（-6）=-72<0,所以函数在点（1,2）没有极值； 在点（-3,0），AC-B 2=（-12）⨯6=-72<0, 所以函数在点 （-3,0）没有极值；
在点（-3,2），AC-B 2=（-12）⨯（-6）=72>0,且A<0,所以函数在点（-3,2）取极大值，为f(-3,2)=31.
例2 求函数()
2
222),(x y x y x f -+=在闭区域D 的最大值与最小值，其中D 是
.1)1(22≤+-y x
解 由
⎪⎩⎪⎨⎧=-+==--+=,0)2(2,
0)1)(2(22
22
2y x y x f x x y x f y
x 得f(x,y)在区域D 内的唯一驻点(1,0),且 f (1,0)=1.D 的边界为圆周x 2+y 2=2x,
在该圆上,函数值均为零，因此,函数f(x,y)在区域D 上的最为大值为f （1,0）=1，最小值为零，圆周上的点均为最小值点.
例3 某厂要用铁板做成一个体积为3m 2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最少？
解 设水箱的长为m,x m,y 宽为高为z m ，则水箱的表面积为2（xy+xz+yz ）.但
因为xyz=2,故z=
xy 2
m ，所以该水箱所用材料的面积为
).0,0(22(2)22(2>>++=⋅+⋅
+=y x y
x xy xy x xy y xy A ） 可见材料面积A 是x 和y 的二元函数.解方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=.
022,02222y x A x y A y x 得到.23==y x
由题意可知，水箱所用材料面积的最小值一定存在，并在开区域
D={}0,0|,>>y x y x ）（内取得，而函数在D 内只有唯一的驻点,223
3），（因此可断。