第三章 系统的时间响应分析

第三章 系统的时间响应
3-1 什么是时间响应？
答：时间响应是指系统的 响应（输出）在时域上的表现形式或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。

3.2 时间响应由哪两部分组成？各部分的定义是什么?
答：按分类的原则不同，时间响应有初始状态为零时，由系统的输入引起的响应;零输入响应，即系统的 输入为零时，由初始状态引起的响应。

按响应的性质分为强迫响应和自由响应。

对于稳定的系统，其时间响应又可分为瞬态响应和稳态响应。

3.3时间响应的瞬态响应反映哪方面的性能？而稳态响应反映哪方面的性能？ 答：瞬态响应反映了系统的稳定性和响应的快速性两方面的性能；稳态响应反映了系统响应的准确性。

3.4 设系统的单位脉冲响应函数如下,试求这些系统的传递函数. 1.25(1)()0.0125;t w t e -= (2)()510s i n (44
w t t t =++）；
);t
-3(3)w(t)=0.1(1-e
(4)()0.01w t t
= 解：（1）
11()()()()()00
w t x t L X s L G s X s i --⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦ ()1X s i
=
(),()()G s G s L w t =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
-1w(t)=L 所以，0.01251.251)()()0.0125 1.25
t G s L w t L e s -⎡⎤===⎡⎤⎣⎦
⎢⎥+⎣⎦(
(2)()()G s L w t =⎡⎤⎣⎦
5510sin(4)sin 4cos422L t t t s s
=
++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
5452()2222161616
s s s s s s =
++=++++
113(3)()()0.1(1)0.11t G s L w t L e s s s ⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎢⎥==-=-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩
⎭0.1(31)s s =+ 0.01(4)()()0.012
G s L w t L t s ===
⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
3.5解
1
1()()11
0.256min.t T
G s x
t e ou Ts T -==-+=（）因为一阶系统的单位阶跃响应函数为解得，
1
(2)(),()101
21111()()2211G s r t At t Ts A T T t x t L AL A t T Te or Ts s Ts T s s =
==+⎡⎤⎡⎤---⎢⎥==-+=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎣⎦
因为一阶系统在输入作用下的时间响应
()
0.256()()()(1) 2.56(1)t
t t
T t T Te T e t r t x t At A
AT e e or
-
-
-
-+=-=-=-=-
当t=1min e(t) = 2.53度
3.6解
解：（1）该系统的微分方程可以表示为
o i u iR u += ω⎰
=
i d t C u o 1
其传递函数为 1
1
1111)
()
()(+=+=
+
==
Ts RCs Cs
R Cs s u s u s G i o 其中T=RC 。

显然，该系统为一阶系统，其单位脉冲响应函数为T t
e T
t -
=1)(ω，单位脉冲响应
如图（b ）；其单位阶跃响应函数为T
t
ou e
x -
-=1，单位阶跃响应如图（c ）；其单
位斜坡响应函数为T
t or Te
T t x -
+-=，单位斜坡响应如图（d ）。

（2）标准积分器的传递函数为 Ts
s G 1
)(= 其中T=RC 其单位脉冲响应函数为T t 1)(1=
ω；其单位阶跃响应函数为T
t
t x ou =)(1；其单位斜坡响应函数为T
t t x or 2)(2
1=，显然，用图（a ）所示网络代替积分器，存在误差e(t)。

它们分别为：
（a ） 当输入为单位脉冲函数时
)1(1
)()()(1T t
e T t t t e --=-=ωω
若t<<T, 0)1(1
)()()(1=-=-=-T t e T t t t e ωω
若t=T, )1
1(1)1(1)()()(1e T e T t t t e T t -=-=-=-ωω
若t>>T, T
e T t t t e T t 1
)1(1)()()(1=-=-=-ωω
（b ） 当输入为单位阶跃函数时
T t
ou ou e T t
t x t x t e -+-=-=1)()()(1
若t<<T, 01)()()(1=+-=-=-T t
ou ou e T t
t x t x t e
若t=T, e e T t t x t x t e T t ou ou 1
1)()()(1=+-=-=-
若t>>T, )(1
1)()()(1T t T
e T t t x t x t e T t ou ou -=+-=-=-
（c ） 当输入为单位斜坡函数时
T t
or or Te T t T
t t x t x t e --+-=-=2)()()(2
1 若t<<T, 0)()()(1=-=t x t x t e or or
若t=T, )1
5.0()()()(1e T t x t x t e or or -=-=
若t>>T, )5.0()()()(1T t T
t
t x t x t e or or -=-=
从以上分析可知，用图（a ）所示系统代替积分器时，只能用在t<<T 段，才能保证误差很小。

当T 增大时，其近似程度提高。

3.7已知控制系统的微分方程为2.5()()20()y t y t x t '+=，试用Laplace 变换法，求
该系统的单位脉冲w ()t 和单位阶跃响应()ou x t ，并讨论二者的关系。

解：由传递函数的定义和系统的微分方程，可得系统的传递函数为
()208
()() 2.510.4
Y s G s X s s s =
==++ 系统的单位脉冲响应为
0.488
()[()()][
*1][]80.40.4
t w t L G s X s L L e s s -'''====++ 系统的单位阶跃响应为
8111
()[()()][
*]20[]0.40.4
ou x t L G s X s L L s s s s '''===-++11
20[]0.4
L s s '=-+
比较()w t 和()ou x t ，有()w t =()ou x t '或()ou x t =0
()t
w t dt ⎰。

由此可得结论：系统
对某种输入的导数的响应等于系统对该输入的响应的导数；系统对某种输入的积分的响应等于系统对该输入饿响应的积分。

3.9已知单位反馈系统的开环传递函数为
(s)=
求：（1）K=20，T=0.2；（2）K=16，T=0.1；（3）K=2.5，T=1等三种情况是的单位阶跃响应。

并分析开环增益K 与时间常数T 对系统性能的影响。

解：由于单位反馈系统，其前向通道传递函数与开环传递函数相等，所以系统的闭环传递函数为
由于为一阶系统，故时间常数为。

故单位阶跃响应为
当K=20，T=0.2时，
=0.952（1-）
当K=1.6，T=0.2时，
=0.615（1-）
当K=2.5，T=1时，
=0.714（1-）
从上面可知：当K值增大时，系统的响应应快速性好；T值减小是，系统的响应快速性变好。

3.11解
解：简化传递函数方框图有
ω，且
显然，这是一个简单的二阶系统。

无阻尼固有频率为
n
ω
2
n
则，阻尼比为，有阻尼固有频率为
3.12图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求： （1）阻尼比ξ及无阻尼比固有频率w n ； （2）求该系统的M p ，t p ，t s 和N 。

解：G k (s)=
9(1)
s s + H(S)=1 G B (s)=9
(1)91(1)
s s s s ++
+ =929s s ++ 该系统为一简单的二阶系统，其中w n =3s
-1
, ξ=16
w d =w
-1=2.958s -1 σ=ξw n =0.5
β=arctan w d σ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
=arctan5.916=1.403 则单位阶跃响应参数
t r
=w d
πβ-=0.587s
t p =
w d
π=1.062s
M p =w d
e σπ⎛⎫ ⎪- ⎪
⎝⎭=0.538=53.8%
过度过程时间t s
若△=2%，t s =
4
σ
=8s
若△=5%，t s =
2s d
t w π
3
σ
=6s
振荡次数N
若△=2%，N=
2s d
t w π
πξ
=3.7≈4
若△=5%，N=
2s d
t w π
πξ
≈3
3 . 12 图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求：
（1） 阻尼比ξ及无阻尼固有频率 ω
n
；
（2） 该系统的
M
p
，t p ，t s 和 N 。

解：
G K （s ）=
)
1(9
+s s H (s) = 1
G B
（s ）=1)
s(s 911)
s(s 9
++
+ = 9
9
2
++s s
显然，该系统为一简单二阶系统，其中ωn
= 3s 1
-；ξ= 6
1
，即它是一个二阶欠阻尼系统。

ω
d
= ω
n
ξ2
1-=3 ⨯
)6
1(2
1- s
1
- = 2.958
s
1
-
σ = ξ
ω
n
= 3 ⨯ 6
1
= 0.5 β = arctan(σ
ωd ) = arctan5.916 = 1.403
则单位阶跃响应参数为 上升时间
t r = ω
β
πd
- =
958
.2403
.114.3- s = 0.587 s
峰值时间
t p =
ω
π
d
=
958
.214
.3 s = 1.062 s 最大超调量 M
p
=
e
d
π
σ
ω
)(
- =
e
14.3958
.25
.0⨯-
= 0.538 = 53.8%
过度过程时间
若 ∆= 2%
t s =
σ
4 = 5.04s = 8 s
若 ∆= 5% t s = σ3
= 5.03s = 6 s
振荡次数 N =
ω
π
d
s
t
2
若 ∆= 2% N =
ω
π
d
s
t
2 =
πξ
ξ
2
12- = 3.7 ≈ 4
若 ∆= 5% N =
ω
π
d
s
t
2 =
πξ
ξ
2
15.1- = 2.828 ≈ 3
3.13 试求下述系统在单位斜坡函数r （t ）=t （t ≥0） 输入的响应y(t)和误差函数e(t)。

1(1)()1G s Ts =
+ 2
2
2(2)()(01)2n n n G s s s ξξωωω=≤<++
21[()]L r t s =
解：（1）∵
2
2221111()()11s s T T Y s G s s T s s s T =⋅=⋅=-+
++
2
21()[]1t
T
s T T y t L t T Te
s s T -=-+=-++∴
t
t T
T
-
-
∴ e(t)=t-y(t)=t-(t-T+Te )=T-Te
2212n n s s ωξωω⋅⋅++2n 22
1
(2) ∵ Y(s)=G(s)=s s
22(
cos )
n t
d d n
e
t t ξωξ
ξ
ωωωω-+n
2∴ y(t)=t-
t
n ξωξωω≥n -d 2e =t-0)
ωω=d 其中，
t
ξωξωω≥n -d n 2e 则 e(t)=t-y(t)=
0)
3.15 要使图（题3.15）所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间p t 为2秒。

试确定K 和t K 的值
解 由图可知 系统的传递函数为
K
s K K s K
s K s K
s K s G f f B +⋅+=
++
⋅
=
22
2
)1(11)(
则K n =ω 2
K K f =ξ
又 %252
1==--ξξπ
e
M p
==+=
∴4.0)
ln (
11
2
p
M π
ξ2
K K f
而 s t p 2=2
1ξ
ωπ-=
n p t
K t w p
n
==-=
∴93.2)
1(2
22
2ξπ
93.2=∴K 47.071.14.022=÷⨯==K
K f ξ
3.17. 单位反馈系统的开环传替函数为：
)
5)(1()(++=
s s s K s G k 其斜坡函数输入时，系统的稳态误差01.0=ss e 的K 值。

解： 由于是单位反馈系统，ss ss
e ε=，并且该系统为I 型系统，归一化有
)
12.0)(1(5
/)(++=
s s s K s G k
其增益为K/5
在斜坡函数输入时，
01.05
===K
e ss ss ε
∴ 500=K
3.18 如图（题3.18a ）所示系统，已知s
s N s X i 1)()(=
=，
试求输入)(s X i 和扰动
)(s N 作用下的稳态误差。

解： 先求当
0)(,0)(≠=s N S X I 时，即
)(s N 单独作用下的稳态误差
ssN e 。

此时系统的方框图可以简化为图（题3.18.b ）所示。

因此，干扰作用下的输出为)()
54)(13(1
4)(s N s s s s X oN +++=
由干扰产生的误差为
)()()()(s X s X s X E oN oN i s N -=-=
∴ )()
54)(13(1
4)(s N s s s s E N +++=
则该误差的稳态值为
5
1
1)54)(13(14lim )(lim -=⋅+++⋅-==s s s s s s sE e N ssN
再求当
0)(,0)(=≠s N s X i 时，即)(s X i 单独作用下的稳态误差ssx e 。

此时系统的方框图可以简化为图（题3.18.C ）所示。

因此，输入作用下的传替函数为
)
54(4)()(+=
s s X s X i o
输入作用下的误差为 )(5
41
)()()(s X s s X s X s E i o i x +=
-=
则该误差的稳态值为
5
1
1)541lim )(lim 0
=⋅+⋅
==→s s s s sE e x s ssx
根据线性系统的叠加原理，系统在输入和干扰共同作用下的误差等于分别作用下的误差之和，即
05
1
51=-=+=ssN
ssX ss e e e 3-19.已知单位反馈系统的闭环传递函数为
n
n n
n
n B a s a a s a a s G +++++=--11...)(1 求斜坡函数输入和抛物线函数输入时的稳态误差。

解：将系统传递函数化为单位反馈形式有
2
2112211...1...)(1)()(11s a s a s a s a s a s a s a s a s G s G s G n n n n n n n n n
n K K B ------+++++
++++=+=
即可得
)
...(...)(232
212
21111-------++++=++++=n n n n
n n n n n n B a s a s s a s a s a s a s a a s G
可以看出：该系统为型系统，其静态无偏差系数为 静态位置无偏差系数为
∞==→)()(lim 0
s H s sG K s p
单位阶跃信号输入时的稳态偏差为 011
=+=P
ss K
ε
静态速度无偏差系数为
∞==→)()(lim 0
s H s sG K s v
单位斜坡信号输入时的稳态偏差为 01
==v
ss K
ε
静态加速度无偏系数为
2
2
)()(lim -→=
=n n s v a a s H s G s K
单位抛物线信号输入时的稳态偏差为 n
n a
ss a a K 21
-=
=
ε 故当斜坡函数输入时，系统静态无偏系数为∞，其稳态误差为零；当抛物线输入时，系统静态无偏系数为2
-n n a a ，其稳态误差为n
n a a 2
-。

3-20系统的负载变化往往是系统的主要干扰。

已知系统如图（题3.20）所示，试分析扰动N （s ）对系统输出和稳态误差的影响。

解：当X i (s)=0, N(s)0≠时，)
()
(s N s X
oN
=
)
()(11
s H s G +
系统误差为E(s)=
X
i
(s) --
X oN
(s)= --X oN (s)
所以 E(s)= --
)
()(11
s H s G + N(s)
则稳态误差为
e ss =
)(lim 0
s sE s →= --
s
s lim 0
→∙
)
()(11
s H s G +∙ N(s)
若扰动为单位阶跃函数，则
e ss =
)(lim 0
s sE s →= -- s s lim 0
→∙)()(11
s H s G +∙
s
1 = --
)
0()0(11
H G +
可见，开环传递函数G(0)H(0)越大，由阶跃扰动引起的稳态误差就越小。

对于
积分环节的个数大于或等于1的系统，G(0)H(0)∞
→，则扰动不影响稳态响应，稳态误差为零。

图（题3.20）。