金融中的数学分析方法专题讲义
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程度, 是所消费商品量的函数，即 U U c
三、消费者效用跨时序分析
假设1：消费函数是一个递增的凹函数，即
U '(c) 0 U ''(c) 0
U
C
三、消费者效用跨时序分析
我们考察两个时期内个人的消费决策问 题。设个人在第1期和第2期消费的商品 分别为c1 和 c2 ，则个人得到的效用为：
U u(c1 ) u(c2 )
yt
1 3
(
2 t 1
2 t2
2 t 3
)
t
二、时间序列分析
时间序列的平稳性：AR 时间序列的自相关性：MA 时间序列的异方差现象：ARCH
三、跨时序分析与经济建模
跨时序分析(Inter-temporal Model) ----消费者效用最大化的跨时序列分析
定义1：效用是指个人通过消费商品获得的满足
二、时间序列分析
解决办法：一阶差分、二阶差分或三阶差分， 或考察两者的增长率的关系。
GDP增长率 VS Year
0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00
1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005
GDP增长率
从二叉树模型到布莱克—斯克尔斯公式 无套利均衡模型 条件期望模型
q
yt j t j t j 1
t ~ N 0,1
二、时间序列分析
p
yt p yt p t
1
t ~ N 0,1
当p=1且Alpha=1时，自回归过程AR就服从 布朗运动。
yt yt1 t
t ~ N 0,1
二、时间序列分析
自相关过程p=1，Alpha=1 （布朗运动）。
金融中的数学分析方法
一、金融与数学
金融学是一门年轻的学科，最早起源于 西方的会计学和法律。二十世纪七十年 代以来逐渐发展成为一门相对独立的学 科，具有特定的研究对象、研究方法和 研究思路。
一、金融与数学
➢ 资产组合理论与资本资产定价模型 基本假设：投资者是风险厌恶的。 数学方法：概率论、均值方差理论
GDP AP
GDP VS Year 20
AP VS Year 14
15
13
10
12
5
11
0
10
1985 1990 1995 2000 2005 2010
1985
1990
1995
2000
2005
二、时间序列分析
平稳时间序列：
二、时间序列分析
平稳时间序列：均值不随时间变化而变化的时 间序列数据。
实际生活当中，平稳时间序列是很少见的。 如果用具有共同趋势的非平稳时间序列，采用 经典的回归分析方法来进行分析，就会产生伪 回归，亦即不存在的、虚假的关系。比如，用 你的年龄与我国的GDP回归。
其中，是个人的偏好贴现因子，且 0 1
三、消费者效用跨时序分析
设个人在第1期和第2期的收入水平分别 为 y1 、y2 ，r表示第1期资本市场的借贷 利率，则个人的消费预算必须满足以下 约束条件：
c1
c2 1 r
y1
y2 1 r
三、消费者效用跨时序分析
个人的消费行为可以表示为：
MaxU U u(c1 ) u(c2 )
二、时间序列分析
以下是我国1986年至2005年的国民生产总值和 人口数，回归结果为：GDP=-74.15+6.7AP。回 归合理吗？怎么解决？
GDP VS AP
国民生产总值
20
16
12
8
4
0
10
11
12
13
14
人口数
二、时间序列分析
实际上，GDP、AP都是随时间递增的，都不是平 稳的时间序列数据，因此导致了伪回归。
➢ 期权定价模型 基本假设：投资者是风险中性的。 数学方法：布朗运动、伊藤公式、
随机偏微分方程
一、金融与数学
➢ 美式期权定价与复杂期权 基本假设：投资者是风险中性的。
数学方法：计算机技术（Rocket Science)、 蒙特卡洛模拟、数值分析、人工智能（遗 传算法）、鞅、测度理论
一、金融与数学
s.t.
c1
c2 1 r
y1
y2 1 r
三、消费者效用跨时序分析
当上式取等号时（假设个人的寿命为2，月 光族）。个人的效用最大化行为必须满足 一阶条件（Euler Equilibrium)：
u ' (c1 ) (1 r)u ' (c2 )
四、计算机金融
随机过程 确定性
随机过程
可微分
不可微分
四、计算机金融
二、时间序列分析
结论：我国GDP与AP都随时间递增，但两者的 增长率与时间没有显著的线性关系。
GDP增长率
0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00
0
GDP增长率 VS 人口增长率
0.005
0.01
人口增长率
0.015
0.02
二、时间序列分析
以下是一只股票A的收益率，你能找出它的波动规 律并决定在适当的时候买入卖出吗？
➢ 信息理论： 基本假设：市场价格能反映所有的信息；
价格波动符合随机游走假设。
数学方法：时间序列数据分析、人工智能 （神经网络技术）、概率理论、 小波分析、、卡尔曼滤波、 MCMC
一、金融与数学
时间序列分析 跨时序分析与经济建模 计算机金融
二、时间序列分析
时间序列的平稳性 时间序列的自相关性 时间序列的异方差现象
二、时间序列分析
股票A的收益率服从以零为期望值、方差 为1的正态分布。由于在每一个时间段的期 望值、方差点不变，因此是平稳过程。
Yt t t ~ N 0， 1
二、时间序列分析
时间序列相关的类型分为： 自回归过程(AR)
p
yt p yt p t
1
移动平均过程(MA)
t ~ N 0,1
二、时间序列分析
移动平均过程(MA)：加入移动平均趋势的
一阶自相关过程。 yt yt1 0.5t1 t
二、时间序列分析
自相关移动平均过程ARIMA（1，0，1）：
yt yt1 t1 t
yt yt1 2t1 t
二、时间序列分析
同方差的时间序列： yt t
二、时间序列分析
异方差的时间序列数据ARCH(3)：
确定性函数
四、计算机金融
布朗运动
四、计算机金融
源自文库
从概率论到测度论 从正态分布到布朗运动
计算
微分 积分
概率统计
密度分布 概率
随机计算
Ito 微分 Ito 积分
随机过程
测度 对应概率
四、计算机金融
布朗运动性质、Martingale、马尔珂夫链 伊藤公式 布朗过程
四、计算机金融
布莱克—斯克尔斯期权定价公式
三、消费者效用跨时序分析
假设1：消费函数是一个递增的凹函数，即
U '(c) 0 U ''(c) 0
U
C
三、消费者效用跨时序分析
我们考察两个时期内个人的消费决策问 题。设个人在第1期和第2期消费的商品 分别为c1 和 c2 ，则个人得到的效用为：
U u(c1 ) u(c2 )
yt
1 3
(
2 t 1
2 t2
2 t 3
)
t
二、时间序列分析
时间序列的平稳性：AR 时间序列的自相关性：MA 时间序列的异方差现象：ARCH
三、跨时序分析与经济建模
跨时序分析(Inter-temporal Model) ----消费者效用最大化的跨时序列分析
定义1：效用是指个人通过消费商品获得的满足
二、时间序列分析
解决办法：一阶差分、二阶差分或三阶差分， 或考察两者的增长率的关系。
GDP增长率 VS Year
0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00
1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003 2005
GDP增长率
从二叉树模型到布莱克—斯克尔斯公式 无套利均衡模型 条件期望模型
q
yt j t j t j 1
t ~ N 0,1
二、时间序列分析
p
yt p yt p t
1
t ~ N 0,1
当p=1且Alpha=1时，自回归过程AR就服从 布朗运动。
yt yt1 t
t ~ N 0,1
二、时间序列分析
自相关过程p=1，Alpha=1 （布朗运动）。
金融中的数学分析方法
一、金融与数学
金融学是一门年轻的学科，最早起源于 西方的会计学和法律。二十世纪七十年 代以来逐渐发展成为一门相对独立的学 科，具有特定的研究对象、研究方法和 研究思路。
一、金融与数学
➢ 资产组合理论与资本资产定价模型 基本假设：投资者是风险厌恶的。 数学方法：概率论、均值方差理论
GDP AP
GDP VS Year 20
AP VS Year 14
15
13
10
12
5
11
0
10
1985 1990 1995 2000 2005 2010
1985
1990
1995
2000
2005
二、时间序列分析
平稳时间序列：
二、时间序列分析
平稳时间序列：均值不随时间变化而变化的时 间序列数据。
实际生活当中，平稳时间序列是很少见的。 如果用具有共同趋势的非平稳时间序列，采用 经典的回归分析方法来进行分析，就会产生伪 回归，亦即不存在的、虚假的关系。比如，用 你的年龄与我国的GDP回归。
其中，是个人的偏好贴现因子，且 0 1
三、消费者效用跨时序分析
设个人在第1期和第2期的收入水平分别 为 y1 、y2 ，r表示第1期资本市场的借贷 利率，则个人的消费预算必须满足以下 约束条件：
c1
c2 1 r
y1
y2 1 r
三、消费者效用跨时序分析
个人的消费行为可以表示为：
MaxU U u(c1 ) u(c2 )
二、时间序列分析
以下是我国1986年至2005年的国民生产总值和 人口数，回归结果为：GDP=-74.15+6.7AP。回 归合理吗？怎么解决？
GDP VS AP
国民生产总值
20
16
12
8
4
0
10
11
12
13
14
人口数
二、时间序列分析
实际上，GDP、AP都是随时间递增的，都不是平 稳的时间序列数据，因此导致了伪回归。
➢ 期权定价模型 基本假设：投资者是风险中性的。 数学方法：布朗运动、伊藤公式、
随机偏微分方程
一、金融与数学
➢ 美式期权定价与复杂期权 基本假设：投资者是风险中性的。
数学方法：计算机技术（Rocket Science)、 蒙特卡洛模拟、数值分析、人工智能（遗 传算法）、鞅、测度理论
一、金融与数学
s.t.
c1
c2 1 r
y1
y2 1 r
三、消费者效用跨时序分析
当上式取等号时（假设个人的寿命为2，月 光族）。个人的效用最大化行为必须满足 一阶条件（Euler Equilibrium)：
u ' (c1 ) (1 r)u ' (c2 )
四、计算机金融
随机过程 确定性
随机过程
可微分
不可微分
四、计算机金融
二、时间序列分析
结论：我国GDP与AP都随时间递增，但两者的 增长率与时间没有显著的线性关系。
GDP增长率
0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00
0
GDP增长率 VS 人口增长率
0.005
0.01
人口增长率
0.015
0.02
二、时间序列分析
以下是一只股票A的收益率，你能找出它的波动规 律并决定在适当的时候买入卖出吗？
➢ 信息理论： 基本假设：市场价格能反映所有的信息；
价格波动符合随机游走假设。
数学方法：时间序列数据分析、人工智能 （神经网络技术）、概率理论、 小波分析、、卡尔曼滤波、 MCMC
一、金融与数学
时间序列分析 跨时序分析与经济建模 计算机金融
二、时间序列分析
时间序列的平稳性 时间序列的自相关性 时间序列的异方差现象
二、时间序列分析
股票A的收益率服从以零为期望值、方差 为1的正态分布。由于在每一个时间段的期 望值、方差点不变，因此是平稳过程。
Yt t t ~ N 0， 1
二、时间序列分析
时间序列相关的类型分为： 自回归过程(AR)
p
yt p yt p t
1
移动平均过程(MA)
t ~ N 0,1
二、时间序列分析
移动平均过程(MA)：加入移动平均趋势的
一阶自相关过程。 yt yt1 0.5t1 t
二、时间序列分析
自相关移动平均过程ARIMA（1，0，1）：
yt yt1 t1 t
yt yt1 2t1 t
二、时间序列分析
同方差的时间序列： yt t
二、时间序列分析
异方差的时间序列数据ARCH(3)：
确定性函数
四、计算机金融
布朗运动
四、计算机金融
源自文库
从概率论到测度论 从正态分布到布朗运动
计算
微分 积分
概率统计
密度分布 概率
随机计算
Ito 微分 Ito 积分
随机过程
测度 对应概率
四、计算机金融
布朗运动性质、Martingale、马尔珂夫链 伊藤公式 布朗过程
四、计算机金融
布莱克—斯克尔斯期权定价公式