第4章 一阶线性电路的暂态分析
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表示换路后的初始瞬间。 换路定律：在 t 0 到 t 0 的换路瞬间，电容元件的 电压和电感元件的电流不能突变。即
uC (0 ) uC (0 ) iL (0 ) iL (0 )
含有储能元件的电路在换路时产生过渡过程的根本原因 是能量不能突变。由于电阻不是储能元件，因而纯电阻电路 不存在过渡过程。
US U 0 US 式中 L iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e （ ）e R R R R （3）时间常数 （秒），或 L（秒） RC R 时间常数 影响动态电路的变化过程，反间越长，τ小则过渡过程时间越 短。
（1）直流电源激励的RC电路
图示电路，开关S原处于a端且已 稳定。在t=0时发生换路，开关S从a 端切换到b端。 由换路定律，有初始值
uC (0 ) uC (0 ) U 0
4(12)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
当电路达到新的稳定状态时，有稳态值
uC () US
通过定性分析可知，当初始值大于稳 态值（U0>US）时，电容发生放电，如图 (b)；当初始值小于稳态值（U0<US）时， 电容发生充电，如图(c)。电容电压uC(t)按
4(4)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
4.1.2 动态电路初始值的确定 分析暂态过程的变化规律，首先要确定电路中待求量的 初始值。电路初始值的确定可按照以下步骤进行。
（1）由t=0-时的电路求uC(0-)或iL(0-)。
（2）由换路定律，有uC(0+)=uC(0-)、iL(0+)=iL(0-)。 （3）由t=0+的电路及uC(0+)或iL(0+)求其他待求电压、电流 的初始值。 注意：在换路瞬间， uC或iL不能突变，但电路中其他电
（2）求稳态值UC() 、i1( ) 。
当电路达到新的稳态时，电 容可视为开路，有图(c)，则有 US i1 (∞) 180 2 A R1 R2 30 60
uC (∞) R2i1 (∞) 60 2 120 V
（3）求时间常数τ。 将网络中的电源置零（电压源短 路、电流源开路），有图(d)，则有
u "C Ae
t
其中 RC
4(14)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
综合以上式子，则有全响应的表达式
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e US (U 0 US )e
t t
由上式可得出：全响应=稳态响应+暂态响应
（2）直流电源激励的RL电路
第4章
一阶线性电路的暂态分析
【例4.2.2】图(a)电路原已稳定，在t=0时将开关S闭合，试求
换路后电路中所示的电压和电流，并画出其变化曲线。 解（1）三要素法求电容电压uC(t) ① 求初始值 uC (0 ) 。
4(19)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
由uC (0 ) uC (0 ) 0 、 (∞) U ，可得零状态响应的表达 uC S 式为
uC (t ) uC (∞) (1 e
t
) U S (1 e
t
)
经过一个时间常数，电容电压uC(t)从零增加到稳态电压 的63.2%。
压和电流（如iC、uL、uR、iR等）的初始值是可以发生突变的。
4(5)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
【例4.1.1】 在图（a）所示的电路中，在t=0时刻开关S闭合，
求换路后各电流和电压的初始值。 解 （1）求uC(0-)和iL(0-)。 作 t 0 时直流稳态电路图 (b) ，电容元件视为开路，电
电工电子技术
陈佳新 主编 周理 陈炳煌 卢光宝 鄢仁武 编
福建工程学院 2013年
第4章
一阶线性电路的暂态分析
第4章 一阶线性电路的暂态分析
4.1 换路定律及初始值的确定 4.2 一阶线性动态电路的分析
4(2)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间变化过 程称为电路的暂态过程（也称为过渡过程）。当电路中只含有 一个储能元件或可简化为一个储能元件，并且根据电路所列出 的方程是一阶微分方程时，这类电路则称为一阶电路。
4.1 换路定律及初始值的确定
4.1.1 换路定律 电路中的暂态过程是由电路的接通、断开电源或电路中的 参数突然改变等原因引起的，把电路状态的改变统称为换路。 电路状态的改变是产生暂态过程的外在原因，而电路中含有储 能元件（电容或电感）是产生暂态过程的内因。
4(3)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
t 假设t=0时进行换路， t 0 表示换路前的终了瞬间， 0
感元件视为短路。
iL (0 ) 1 IS 4mA 3
uC (0 ) iL (0 ) R3 4mA 2k 8V
4(6)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
（2）求t=0+时的初始值。由换路定律得
iL (0 ) iL (0 ) 4mA
uC (0 ) uC (0 ) 8V
f (t ) f (∞) [ f (0 ) f (∞)]e
t
时间常数 RC 或（ L ），其中R为等效电阻，是换 R 路后从储能元件C（或L）两端看进去的除源网络的入端电阻， 即戴维宁或诺顿等效电路的等效电阻。
4(21)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
【例4.2.1】 图示电路，US=180 V，R1=30，R2=60，C
Req R1 R2 30 60 20 R1 R2 30 60
则时间常数
τ= ReqC = 20×100×10-6 = 2×10-3s
4(23)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
（4）由三要素法公式得
uC (t ) uC (∞) [uC (0 ) uC (∞)]e
4(16)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
2．一阶动态电路的零输入响应
动态电路在无外加激励电源时，仅由动态元件初始储能所 产生的响应称为零输入响应。
图示为直流电源激励的RC电路，电路已稳定。t=0时开关
S从a端切换到b端，电容由初始储能通过电阻R进行放电，最 终电容储能全部放完，可得到uC(t)放电曲线。
5的时间，过渡过程即结束。
4(18)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
3．一阶动态电路的零状态响应
动态元件的初始储能为零，动态电路在零初始状态下由 外加激励电源所引起的响应称为零状态响应。 图示为直流电源激励的RC电路，电路已稳定。t=0时开关 S从a端切换到b端，电源通过电阻R对电容进行充电，最终达 到稳定值，可得到uC(t)充电曲线。
i1 (0 ) i(0 ) IS
代入数据有
uC (0 ) 14i(0 ) 10i1 (0 ) 4i1 (0 )
i1 (0 ) i(0 ) 4
解得
uC (0 ) 28V
4(10)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
（2）求i(0+)、i1(0+)。
由t 0 时等效电路得
一定的规律由初始值变化到稳态值。
由图(a)电路，列写t＞0时KVL方程，有
u R uC U S
而电阻元件和电容元件的伏安关系为
duC uR RiC ， iC C dt
4(13)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
则有
duC RC uC US dt
上式为一阶常系数线性非齐次微分方程。方程的解由对应于非 齐次微分方程的特解和对应于齐次微分方程的通解组成，即
4(20)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
4.2.2 一阶动态电路暂态分析的三要素法 零输入响应和零状态响应可看成是全响应的特例。直流 电源激励下的一阶动态电路中的电压或电流，其全响应总是
由初始值开始，按指数规律变化而接近于稳态值。
初始值f (0+)、稳态值f()和时间常数 为三个要素，直流 电源激励下的一阶动态电路的全响应，用三要素法可表示为
4(8)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
（2）t=0+时开关S打开，图 (b)，由换路定律得
iL (0 ) iL (0 ) 20mA
（大小、方向都不变） 由图(b)知，iL(0+ )经电 压表形成放电回路，则有
uV (0 ) iL (0 ) RV 20 103 500 103 10 000 V
作t=0+时的电路图(c) ，电 容C用电压源代替，电感L用电 流源代替，则有
iR(0+)=0
uC (0 ) iC (0 ) 8 mA 8mA R2 1
则有
uL (0 ) iL (0 ) R3 4mA 2k 8V
iX (0 ) IS iR (0 ) iC (0 ) iL (0 ) [12 0 (8) 4] 16mA
t
120 (0 120)e 500t 120(1 e 500t ) V
i1 (t ) i1 (∞) [i1 (0 ) i1 (∞)]e
t
2 (6 2)e 500t 2 4e 500t A
uC(t)和i1(t)的波形如图示。
4(24)
4(7)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
【例4.1.2】 某一线圈外加电压U=20V，已知线圈的电 阻 R=1k，电感L=1H，电压表的内阻RV=500k。设开关S 在t=0时打开，求S打开瞬间电压表两端的电压。
解 （1）t=0-时，由换路前电
路图(a)得
iL (0 ) U 20 20mA R 1000
uC (t ) u 'C u "C
① 特解 u 'C 。特解和外加激励信号具有相同的形式。取换路后 的新稳态值为特解（稳态分量、强制分量）。由图(a)电路得
u 'C uC () U S
② 通解 u "C 。为暂态分量，对应的齐次微分方程为 du RC C uC 0 dt 根据线性微分方程解的理论，其通解为
i1 (0 ) i (0 ) 4 14i1 (0 ) 7 i (0 ) 28
解得
i1 (0 ) 8 A 3
i (0 ) 4 A 3
4(11)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
4.2 一阶线性动态电路的分析
4.2.1 动态电路的响应 1．一阶动态电路的全响应 一阶动态电路的全响应是指换路后电路的初始状态不为 零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
4(17)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
由 uC (0 ) uC (0 ) U 0 、uC (∞) 0 ，可得零输入响应的表达 式为
uC (t ) uC (0 )e
t
U 0e
t
经过一个时间常数，电容电压衰减到原来电压的36.8%。 理论上要经过无限长的时间（t =∞ ），uC(t)的过渡过程才 能结束，才能衰减到零。但工程上一般认为换路后，经过3～
此例说明，当线圈断电时，可能在线圈两端产生高电
压，在实际使用中要考虑加保护措施（如续流二极管）。
4(9)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
【例4.1.3】 图示电路，已知
t＜0时电路已稳定，t=0时打开 开关S。求i、i1的初始值。
解 （1）求 uC (0 ) 。
由 t 0 时的电路得
uC (0 ) R2 i(0 ) 10i1 (0 ) R1i1 (0 )
=100F，电容初始电压为零，t=0时开关S合上，试求换路后 的uC(t)、i1(t)。
解 （1）求初始值uC(0+)、i1(0+)。 由uC(0+) = uC(0-) = 0，此时电
容可视为短路，有图(b)电路， 则有
US 180 i1 (0 ) 6A R1 30
4(22)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
图示电路，开关S原来处于a 端且电路已稳定。在t=0时发生换 路，开关S从a端切换到b端。 U0 初始值： iL (0 ) iL (0 ) R US diL iL (∞) 稳态值： 电感元件的伏安关系： uL L R dt
4(15)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
通过分析可得全响应的表达式为
uC (0 ) uC (0 ) iL (0 ) iL (0 )
含有储能元件的电路在换路时产生过渡过程的根本原因 是能量不能突变。由于电阻不是储能元件，因而纯电阻电路 不存在过渡过程。
US U 0 US 式中 L iL (t ) iL () [iL (0 ) iL ()]e （ ）e R R R R （3）时间常数 （秒），或 L（秒） RC R 时间常数 影响动态电路的变化过程，反间越长，τ小则过渡过程时间越 短。
（1）直流电源激励的RC电路
图示电路，开关S原处于a端且已 稳定。在t=0时发生换路，开关S从a 端切换到b端。 由换路定律，有初始值
uC (0 ) uC (0 ) U 0
4(12)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
当电路达到新的稳定状态时，有稳态值
uC () US
通过定性分析可知，当初始值大于稳 态值（U0>US）时，电容发生放电，如图 (b)；当初始值小于稳态值（U0<US）时， 电容发生充电，如图(c)。电容电压uC(t)按
4(4)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
4.1.2 动态电路初始值的确定 分析暂态过程的变化规律，首先要确定电路中待求量的 初始值。电路初始值的确定可按照以下步骤进行。
（1）由t=0-时的电路求uC(0-)或iL(0-)。
（2）由换路定律，有uC(0+)=uC(0-)、iL(0+)=iL(0-)。 （3）由t=0+的电路及uC(0+)或iL(0+)求其他待求电压、电流 的初始值。 注意：在换路瞬间， uC或iL不能突变，但电路中其他电
（2）求稳态值UC() 、i1( ) 。
当电路达到新的稳态时，电 容可视为开路，有图(c)，则有 US i1 (∞) 180 2 A R1 R2 30 60
uC (∞) R2i1 (∞) 60 2 120 V
（3）求时间常数τ。 将网络中的电源置零（电压源短 路、电流源开路），有图(d)，则有
u "C Ae
t
其中 RC
4(14)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
综合以上式子，则有全响应的表达式
uC (t ) uC () [uC (0 ) uC ()]e US (U 0 US )e
t t
由上式可得出：全响应=稳态响应+暂态响应
（2）直流电源激励的RL电路
第4章
一阶线性电路的暂态分析
【例4.2.2】图(a)电路原已稳定，在t=0时将开关S闭合，试求
换路后电路中所示的电压和电流，并画出其变化曲线。 解（1）三要素法求电容电压uC(t) ① 求初始值 uC (0 ) 。
4(19)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
由uC (0 ) uC (0 ) 0 、 (∞) U ，可得零状态响应的表达 uC S 式为
uC (t ) uC (∞) (1 e
t
) U S (1 e
t
)
经过一个时间常数，电容电压uC(t)从零增加到稳态电压 的63.2%。
压和电流（如iC、uL、uR、iR等）的初始值是可以发生突变的。
4(5)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
【例4.1.1】 在图（a）所示的电路中，在t=0时刻开关S闭合，
求换路后各电流和电压的初始值。 解 （1）求uC(0-)和iL(0-)。 作 t 0 时直流稳态电路图 (b) ，电容元件视为开路，电
电工电子技术
陈佳新 主编 周理 陈炳煌 卢光宝 鄢仁武 编
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第4章
一阶线性电路的暂态分析
第4章 一阶线性电路的暂态分析
4.1 换路定律及初始值的确定 4.2 一阶线性动态电路的分析
4(2)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间变化过 程称为电路的暂态过程（也称为过渡过程）。当电路中只含有 一个储能元件或可简化为一个储能元件，并且根据电路所列出 的方程是一阶微分方程时，这类电路则称为一阶电路。
4.1 换路定律及初始值的确定
4.1.1 换路定律 电路中的暂态过程是由电路的接通、断开电源或电路中的 参数突然改变等原因引起的，把电路状态的改变统称为换路。 电路状态的改变是产生暂态过程的外在原因，而电路中含有储 能元件（电容或电感）是产生暂态过程的内因。
4(3)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
t 假设t=0时进行换路， t 0 表示换路前的终了瞬间， 0
感元件视为短路。
iL (0 ) 1 IS 4mA 3
uC (0 ) iL (0 ) R3 4mA 2k 8V
4(6)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
（2）求t=0+时的初始值。由换路定律得
iL (0 ) iL (0 ) 4mA
uC (0 ) uC (0 ) 8V
f (t ) f (∞) [ f (0 ) f (∞)]e
t
时间常数 RC 或（ L ），其中R为等效电阻，是换 R 路后从储能元件C（或L）两端看进去的除源网络的入端电阻， 即戴维宁或诺顿等效电路的等效电阻。
4(21)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
【例4.2.1】 图示电路，US=180 V，R1=30，R2=60，C
Req R1 R2 30 60 20 R1 R2 30 60
则时间常数
τ= ReqC = 20×100×10-6 = 2×10-3s
4(23)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
（4）由三要素法公式得
uC (t ) uC (∞) [uC (0 ) uC (∞)]e
4(16)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
2．一阶动态电路的零输入响应
动态电路在无外加激励电源时，仅由动态元件初始储能所 产生的响应称为零输入响应。
图示为直流电源激励的RC电路，电路已稳定。t=0时开关
S从a端切换到b端，电容由初始储能通过电阻R进行放电，最 终电容储能全部放完，可得到uC(t)放电曲线。
5的时间，过渡过程即结束。
4(18)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
3．一阶动态电路的零状态响应
动态元件的初始储能为零，动态电路在零初始状态下由 外加激励电源所引起的响应称为零状态响应。 图示为直流电源激励的RC电路，电路已稳定。t=0时开关 S从a端切换到b端，电源通过电阻R对电容进行充电，最终达 到稳定值，可得到uC(t)充电曲线。
i1 (0 ) i(0 ) IS
代入数据有
uC (0 ) 14i(0 ) 10i1 (0 ) 4i1 (0 )
i1 (0 ) i(0 ) 4
解得
uC (0 ) 28V
4(10)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
（2）求i(0+)、i1(0+)。
由t 0 时等效电路得
一定的规律由初始值变化到稳态值。
由图(a)电路，列写t＞0时KVL方程，有
u R uC U S
而电阻元件和电容元件的伏安关系为
duC uR RiC ， iC C dt
4(13)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
则有
duC RC uC US dt
上式为一阶常系数线性非齐次微分方程。方程的解由对应于非 齐次微分方程的特解和对应于齐次微分方程的通解组成，即
4(20)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
4.2.2 一阶动态电路暂态分析的三要素法 零输入响应和零状态响应可看成是全响应的特例。直流 电源激励下的一阶动态电路中的电压或电流，其全响应总是
由初始值开始，按指数规律变化而接近于稳态值。
初始值f (0+)、稳态值f()和时间常数 为三个要素，直流 电源激励下的一阶动态电路的全响应，用三要素法可表示为
4(8)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
（2）t=0+时开关S打开，图 (b)，由换路定律得
iL (0 ) iL (0 ) 20mA
（大小、方向都不变） 由图(b)知，iL(0+ )经电 压表形成放电回路，则有
uV (0 ) iL (0 ) RV 20 103 500 103 10 000 V
作t=0+时的电路图(c) ，电 容C用电压源代替，电感L用电 流源代替，则有
iR(0+)=0
uC (0 ) iC (0 ) 8 mA 8mA R2 1
则有
uL (0 ) iL (0 ) R3 4mA 2k 8V
iX (0 ) IS iR (0 ) iC (0 ) iL (0 ) [12 0 (8) 4] 16mA
t
120 (0 120)e 500t 120(1 e 500t ) V
i1 (t ) i1 (∞) [i1 (0 ) i1 (∞)]e
t
2 (6 2)e 500t 2 4e 500t A
uC(t)和i1(t)的波形如图示。
4(24)
4(7)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
【例4.1.2】 某一线圈外加电压U=20V，已知线圈的电 阻 R=1k，电感L=1H，电压表的内阻RV=500k。设开关S 在t=0时打开，求S打开瞬间电压表两端的电压。
解 （1）t=0-时，由换路前电
路图(a)得
iL (0 ) U 20 20mA R 1000
uC (t ) u 'C u "C
① 特解 u 'C 。特解和外加激励信号具有相同的形式。取换路后 的新稳态值为特解（稳态分量、强制分量）。由图(a)电路得
u 'C uC () U S
② 通解 u "C 。为暂态分量，对应的齐次微分方程为 du RC C uC 0 dt 根据线性微分方程解的理论，其通解为
i1 (0 ) i (0 ) 4 14i1 (0 ) 7 i (0 ) 28
解得
i1 (0 ) 8 A 3
i (0 ) 4 A 3
4(11)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
4.2 一阶线性动态电路的分析
4.2.1 动态电路的响应 1．一阶动态电路的全响应 一阶动态电路的全响应是指换路后电路的初始状态不为 零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。
4(17)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
由 uC (0 ) uC (0 ) U 0 、uC (∞) 0 ，可得零输入响应的表达 式为
uC (t ) uC (0 )e
t
U 0e
t
经过一个时间常数，电容电压衰减到原来电压的36.8%。 理论上要经过无限长的时间（t =∞ ），uC(t)的过渡过程才 能结束，才能衰减到零。但工程上一般认为换路后，经过3～
此例说明，当线圈断电时，可能在线圈两端产生高电
压，在实际使用中要考虑加保护措施（如续流二极管）。
4(9)
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一阶线性电路的暂态分析
【例4.1.3】 图示电路，已知
t＜0时电路已稳定，t=0时打开 开关S。求i、i1的初始值。
解 （1）求 uC (0 ) 。
由 t 0 时的电路得
uC (0 ) R2 i(0 ) 10i1 (0 ) R1i1 (0 )
=100F，电容初始电压为零，t=0时开关S合上，试求换路后 的uC(t)、i1(t)。
解 （1）求初始值uC(0+)、i1(0+)。 由uC(0+) = uC(0-) = 0，此时电
容可视为短路，有图(b)电路， 则有
US 180 i1 (0 ) 6A R1 30
4(22)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
图示电路，开关S原来处于a 端且电路已稳定。在t=0时发生换 路，开关S从a端切换到b端。 U0 初始值： iL (0 ) iL (0 ) R US diL iL (∞) 稳态值： 电感元件的伏安关系： uL L R dt
4(15)
第4章
一阶线性电路的暂态分析
通过分析可得全响应的表达式为