立体几何中的存在性问题教案
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作业
(2010·浙江·理·T20)如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形.E,F,O分别是PA,PB,AC的中点,AC＝16 ,PA＝PC＝10.
证明:在△ABO内存在一点M使得FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.
提示：建系后设点M坐标为(x,y, 0 )
思考8:如何用向量来确定PC上的动点F的位置?
（令 ，通过λ的值来确定点F的位置）
思考9:如何用向量来表示BF∥平面AEC?
（ ，其中 为平面ACE的法向量）
思考1Байду номын сангаас:如何求λ的值?（利用 建立方程求出λ）
写出详细的解答过程：
【方法归纳】点F是线PC上的点,一般可设 ，求出λ即可确定点F的位置
课堂练习.(2010·湖南·理·T18)
答案：AM＝3
向量方法：建立适当的坐标系
令 ，利用 求出λ的值，但要注意，
根据线面垂直的条件还欠一组线面垂直，故还需证明PA⊥BC
或PA⊥MC
小结
作业
[课堂小结]
对存在性问题常采用以下两种方法:
1、(几何方法)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的充分条件,再从正面入手证明;
2、(向量方法)把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件
2010-2011年汕头市潮阳实验学校高中部
教学教案
教师
黄黎明
科目
数学
上课时间
2012年5月18日
课题
立体几何中的存在性问题
教学目标
知识与能力目标
1．引导学生探索立体几何中的位置性存在问题.
2．掌握利用逆向思维方法确定动点位置的方法；
3．掌握利用向量确定动点位置的方法；
4．培养学生的分析、推理、计算能力。
例
题
讲
解
例1.如图,在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=1,PB=PD= ,点E在PD上,且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.
思考1:假设存在BF∥平面AEC,那么过BF必然可作一个平面
与平面AEC平行,你能作出这个平面吗?
过程与
方法
使用多媒体辅助教学，通过观察，师生共同研究，从中体会数形结合的数学思想。
情感目标
（1）增强学生的数学应用意识；
（2）激发学生学习数学的兴趣。
教学
重难点
重点：存在性的问题的两种解决方法。
难点：逆向思维的培养及空间直角坐标系的建立。
教学
程序
教师指导与学生活动
知
识
引
入
存在性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立；在近几年的高考试卷中较多地出现了立体几何方面的条件开放的探究性试题，内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面；下面就平行与垂直等问题来探讨一下求解的策略。
几何方法:通过构造一个过点P且与AO垂直的平面来确定点的Q位置
向量方法：以O点为原点建系，令 ，利用
求出λ的值
课堂练习.(2011·浙江·理·T20)
如图,在三棱锥P－ABC中,AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8,PO＝4,AO＝3,OD＝2,在线段AP上是否存在点M,使得二面角A－MC－B为直二面角?若存在,求出AM的长；若不存在,请说明理由.
思考5:回顾刚才的过程,我们是如何寻找点F的?又该怎么样
书写解答过程?（逆向思考，正向解答）
写出详细的解答过程：
【方法归纳】通过逆向思维寻找命题成立的必要条件,然后再从正面进行证明。
即：逆向思考，正向解答。
思考6:还有其它方法来确定点F的位置吗?（向量法）
思考7:如何建立空间直角坐标系?（应注意底面不是矩形）
几何方法：逆向思考，正向解答
逆向思考寻找点M的过程：
二面角A－MC－B为直二面角 平面PAC⊥平面MBC
又由于三棱锥P－ABC关于平面PAD对称，所以还可以
得出另一组面面垂直：平面PAB⊥平面MBC
这样可以确定直线PA⊥平面MBC PA⊥MB
所以满足题意的点M为：在平面PAB内过点B作PA的垂线，垂足即为点M。
如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.
几何方法:构造一个经过点B1且与平面A1BE平行的平面
向量方法:令正方体的棱长为1,建立直角坐标系
例
题
讲
解
例2.(2010·湖北·理·T18)如图,在四面体OABC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB＝120°,且OA＝OB＝OC＝1,P为AC中点,证明:在AB上存在一点Q,使得PQ⊥OA,并计算 的值.
思路:通过确定平面BFG来确定点F、G的位置.
思考2:若平面BFG∥平面AEC,那么通过平面与平面平行的
性质找出一组线线平行吗?（FG∥EC）
思考3:若要确定平面BFG∥平面AEC,还需要另一组平行线，
你能通过相同的方法再找出一组线线平行吗?（BG∥OE）
思考4:你能确定点F、G的位置了吗?
E为GD的中点，G为PE的中点，F为PC的中点
(2010·浙江·理·T20)如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形.E,F,O分别是PA,PB,AC的中点,AC＝16 ,PA＝PC＝10.
证明:在△ABO内存在一点M使得FM⊥平面BOE,并求点M到OA,OB的距离.
提示：建系后设点M坐标为(x,y, 0 )
思考8:如何用向量来确定PC上的动点F的位置?
（令 ，通过λ的值来确定点F的位置）
思考9:如何用向量来表示BF∥平面AEC?
（ ，其中 为平面ACE的法向量）
思考1Байду номын сангаас:如何求λ的值?（利用 建立方程求出λ）
写出详细的解答过程：
【方法归纳】点F是线PC上的点,一般可设 ，求出λ即可确定点F的位置
课堂练习.(2010·湖南·理·T18)
答案：AM＝3
向量方法：建立适当的坐标系
令 ，利用 求出λ的值，但要注意，
根据线面垂直的条件还欠一组线面垂直，故还需证明PA⊥BC
或PA⊥MC
小结
作业
[课堂小结]
对存在性问题常采用以下两种方法:
1、(几何方法)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的充分条件,再从正面入手证明;
2、(向量方法)把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件
2010-2011年汕头市潮阳实验学校高中部
教学教案
教师
黄黎明
科目
数学
上课时间
2012年5月18日
课题
立体几何中的存在性问题
教学目标
知识与能力目标
1．引导学生探索立体几何中的位置性存在问题.
2．掌握利用逆向思维方法确定动点位置的方法；
3．掌握利用向量确定动点位置的方法；
4．培养学生的分析、推理、计算能力。
例
题
讲
解
例1.如图,在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=1,PB=PD= ,点E在PD上,且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.
思考1:假设存在BF∥平面AEC,那么过BF必然可作一个平面
与平面AEC平行,你能作出这个平面吗?
过程与
方法
使用多媒体辅助教学，通过观察，师生共同研究，从中体会数形结合的数学思想。
情感目标
（1）增强学生的数学应用意识；
（2）激发学生学习数学的兴趣。
教学
重难点
重点：存在性的问题的两种解决方法。
难点：逆向思维的培养及空间直角坐标系的建立。
教学
程序
教师指导与学生活动
知
识
引
入
存在性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立；在近几年的高考试卷中较多地出现了立体几何方面的条件开放的探究性试题，内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面；下面就平行与垂直等问题来探讨一下求解的策略。
几何方法:通过构造一个过点P且与AO垂直的平面来确定点的Q位置
向量方法：以O点为原点建系，令 ，利用
求出λ的值
课堂练习.(2011·浙江·理·T20)
如图,在三棱锥P－ABC中,AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8,PO＝4,AO＝3,OD＝2,在线段AP上是否存在点M,使得二面角A－MC－B为直二面角?若存在,求出AM的长；若不存在,请说明理由.
思考5:回顾刚才的过程,我们是如何寻找点F的?又该怎么样
书写解答过程?（逆向思考，正向解答）
写出详细的解答过程：
【方法归纳】通过逆向思维寻找命题成立的必要条件,然后再从正面进行证明。
即：逆向思考，正向解答。
思考6:还有其它方法来确定点F的位置吗?（向量法）
思考7:如何建立空间直角坐标系?（应注意底面不是矩形）
几何方法：逆向思考，正向解答
逆向思考寻找点M的过程：
二面角A－MC－B为直二面角 平面PAC⊥平面MBC
又由于三棱锥P－ABC关于平面PAD对称，所以还可以
得出另一组面面垂直：平面PAB⊥平面MBC
这样可以确定直线PA⊥平面MBC PA⊥MB
所以满足题意的点M为：在平面PAB内过点B作PA的垂线，垂足即为点M。
如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是DD1的中点,在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.
几何方法:构造一个经过点B1且与平面A1BE平行的平面
向量方法:令正方体的棱长为1,建立直角坐标系
例
题
讲
解
例2.(2010·湖北·理·T18)如图,在四面体OABC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB＝120°,且OA＝OB＝OC＝1,P为AC中点,证明:在AB上存在一点Q,使得PQ⊥OA,并计算 的值.
思路:通过确定平面BFG来确定点F、G的位置.
思考2:若平面BFG∥平面AEC,那么通过平面与平面平行的
性质找出一组线线平行吗?（FG∥EC）
思考3:若要确定平面BFG∥平面AEC,还需要另一组平行线，
你能通过相同的方法再找出一组线线平行吗?（BG∥OE）
思考4:你能确定点F、G的位置了吗?
E为GD的中点，G为PE的中点，F为PC的中点