概率统计第七章参数估计

第七章 参数估计

参数估计是统计推断的基本内容之一，它是凭借从总体中抽取的样本，构造合适的样本函数，对总体中的未知参数作出符合要求的估计.

例1. 某批产品的质量用次品率来衡量，但是数量太大，无法一一检测，那么如何估计该

批产品的质量呢？我们可以抽取100件进行检测，如果其中有95件正品，5件次品.这时我们就把100件样品的次品率0.05，作为该批产品的次品率的估计。

例2. 要统计某地人均年商品消费额，我们抽取1000户进行调查，计算得到人均年商品消

费额为6800元，这时我们就把样本的人均年商品消费额6800元作为该地人均年商

品消费额的估计。

上述例子的共同之处是：利用样本资料得到的信息来估计有关总体分布中的一些未知参数，这类估计方法称为参数估计。依据估计形式的不同，参数估计分为点估计和区间估计两种。

第一节 参数的点估计

一.估计量，估计值和点估计

1. 估计量 ：设

是来自总体X 的样本，是总体的未知参数，若用一个合

适的统计量

来估计，则称为参数的估计量.

2. 估计值：在抽样后，每当有了一组样本值12,,,n x x x ，将其代入统计量

，称()12ˆ,,,n x x x θθ= 为参数

的估计值。

3. 点估计：设

是总体的未知参数，如果用估计值()12ˆ,,,n x x x θθ= 来估计未知参数

，

这种估计称为点估计。

二.点估计的两个基本估计式

1.用样本均值X 作为总体X 的数学期望()E X 的估计量

2. 用样本方差2S 作为总体X 的方差()D X 的估计量

特别地，对于正态总体()2,N μσ，有2

2

ˆˆ,X S μ

σ

==.

例1. 某灯泡工厂某天生产了一大批灯泡，从中任意取出10只进行寿命试验，测得数据如

下（单位：小时）：1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200

试估计该天生产的灯泡的平均寿命。 解：()11050110010801120120012501040113013001200114710

x

=+++++++++=

所以ˆ1147x μ

==，即：估计该天生产的灯泡的平均寿命为1147小时. 例2. 设总体X 的概率密度为

()1,

01;0,

0,1

x x f x x x θθθ-⎧<<=⎨

≤≥⎩，其中是总体的未知参数，求

的估计量。

解：设

为取自总体X 的样本，因为()()11

;1

E X xf

x dx

x x

dx θθθθθ+∞

--∞

==

⋅=

+⎰⎰

取样本均值X 作为总体X 的数学期望()E X 的估计量，即：()ˆE

X X

=，于是得到：

ˆˆ1

X

θθ=+ ，所以 ˆ1X X

θ=

- .

第二节 估计量的评价标准

一.无偏性

[定义] 设为未知参数的估计量，若成立()ˆE θθ=，则称为参数的无偏估计量. 【注1】

无偏估计的实际意义就是无系统偏差，即若对总体进行大量重复的抽样，那么

所有这些得出的估计值的平均值收敛于.或者可以理解为“平均偏差为0”.当然“平均偏差为0”的估计优于平均偏差不为0的估计.

例1. 设

为取自总体X 的样本，()()2,E X D X μσ==，试证：样本均值

X

及样本方差2S 分别是μ和2σ的无偏估计量.

证：因为 ()

()()1

1

111n

n

i i

i i E X

E X E X nE X n

n

n

μ==⎛⎫===

⋅=

⎪⎝⎭∑

∑ ，

所以 1

n

i

i X

X ==

∑

是μ的无偏估计量.

※｛又：()

()2

2

2

2

1

1

111n

n

i i

i i D X D X D X n n

n

n

n

σ

σ

==⎛⎫

===

⋅=

⎪⎝⎭∑

∑，

而()

()

()()()2

2

2

2

2

2

11

1

111111n

n n i i i i i i E S

E X X

E X nX E X nE X n n n ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=-=

⋅-=

⋅-⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣

⎦⎣⎦⎣⎦

∑∑∑

()()()()()()

()22

22

2

211

111n i i i D X E X n D X E X

n n n n n σσ

μμ=⎡⎤⎛⎫

⎧⎫⎡⎤⎡

⎤=⋅+-+=⋅+-+⎨⎬⎢⎥

⎪⎢⎥⎣

⎦⎣⎦--⎩⎭⎝⎭⎣⎦

∑

()2

2

111

n n σ

σ

=

⋅-⋅=-. 所以，2S 分别是2σ的无偏估计量.｝※

例2. 设总体()2

~,X

N μσ，1

23,,X

X X 为取自总体X 的样本，则1

123211ˆ5

10

2

X X X θ=

+

+

，

2123111ˆ3

3

3

X X X θ=

+

+

都是μ

的无偏估计量.

解：∵()11232112

11ˆ51025

102E E X X X θμμμμ

⎛⎫=++=++= ⎪⎝⎭；

∵()21231111

11ˆ3333

33E E X X X θμμμμ

⎛⎫=

++=++= ⎪⎝⎭.

∴ 它们都是μ的无偏估计量.

二.有效性

[定义] 设1ˆθ和2ˆθ都是未知参数的无偏估计量，若()()12ˆˆD D θθ<，则称1ˆθ比2ˆθ有效. 【注2】 作为无偏估计量，它们的观察值都是在的真值左右摆动，而1ˆθ比2ˆθ有效指的是1ˆθ的摆动幅度比2ˆθ的摆动幅度更小些，因此有效性还有比较高的估计精度的含义.