新苏科版九年级数学下册《6章 图形的相似 小结与思考》教案_5

“专题复习: 手拉手模型”教学设计

一、内容与目标分析

在平时的练习过程中，我们常常会遇到这么一对特殊的等腰三角形，它们有共同的顶角顶点，而且这两个三角形相似，根据条件，我们可以进一步衍生出另一对全等或相似三角形，从而使问题得以解决。因此，我把这一类问题归集起来，设计了本节课，并通俗的称之为“手拉手”，主要是想让学生见到这类问题，不再害怕，不再毫无头绪，由此进一步熟悉可以通过“转化”来求线段的长、或求线段的范围，突出“转化”的数学方法。

二、教学过程

【图片引入】

师：同学们，这张照片定格的是，一位老师和他的孩子们，手拉手欢快地去郊游。那么，除了在生活上有手拉手的友好之外，在数学上也有类似的友好图形。今天，我们一起来探讨。

【模型探究】

Ⅰ.“手拉手”模型——全等

（1）如图，△ABC和△CED均为等边三角形，点C为公共点，那么，在这张图中，我们能得到哪些结论呢？

常见结论：

三角形全等：；线段相等：；角的结论：. （注：学生口答，教师板书。）

（2）稍微变下形，如下图，△ABC和△CED均为等腰直

图2

D

B

C

图1

D E

A

B

C

角三角形，点C 为公共点．你还能找出结论吗？

（3）再稍微变一下型，我们把两个等腰直角三角形换成两个正方形，你还能找出结论吗？

（4）我们拓展到一般情况，如下图，△ABC 和△ADE 均为等腰三角形，点A 为公共点，且满足∠BAC ＝∠DAE . 你还能找出结论吗？

设计意图:通过一组变化图形的变式训练，旨在让学生熟练找出新生成的一对全等三角形、以及相等的线段，以期达到将线段转化的目的。

【跟踪练习】

（1）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE 、CD ，请证明BE=CD 。

（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD 中，AD=3，CD=2，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC=45°，求BD 的长。

设计意图：模型一探索后练习第（1）和（2）问，图1简单，直接看出手拉手图形；图2稍有难度，需要构造一对手拉手图形，然后把BD 转化即可解决。这样就达到让学生“挑一挑，能摘桃”的效果，真正是在学生最近发展区设置问题，既激发他

们的兴趣，又调动他们遇到困难，不言放弃的斗志。 Ⅱ. “手拉手”模型——相似

如图，△ABC 和△CED 均为直角三角形，点C 为公共点，且满足∠BAC ＝∠CDE .

图3

A C

D

B

仿照上面结论：

三角形相似： 、相似比为 ；

线段关系： ；角的结论： .

【拓展提问】（1）若∠CAB=30°，则

=AD

BE

； （2）连结BD ，取AB 、BD 、DE 的中点，分别为M 、N 、P ，则

=PN

PM

； 师：若命题人将上面的图形补成矩形，大家可要慧眼识珠哦！

设计意图:此处的两个拓展提问，就是初步运用新生成的相似三角形的性质，以及AD 和BE 的垂直关系，及数量关系。 【跟踪练习】

（3）如图3，四边形ABCD 中，∠CAB=90°，∠ADC=∠ACB ＝α，34

tan =α，CD=5，AD=12，

求BD 的长。（学生先独立思考，然后交流）

设计意图：有了刚才对相似模型的探索经验，再来练习第（3）问，学生就不会无从下手，而是会根据题意，构造出了一对与△CAB 相似的手拉手三角形，从而把BD 转化，然后类似第2问解决。

【课堂小结】在刚才一系列图形的探究中，你有哪些收获？（学生口答，并互相补充） 【挑战自我】

如图，点O 在线段AB 上，OA ＝1，OB ＝3，以O 为圆心、OA 长为半径作⊙O ，点M 在⊙O 上运动，连接MB ，以MB 为腰作等腰Rt △MBC ，使∠MBC ＝90°，M 、B 、

C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围是_______ _____.

【变式1】如图，点O在线段AB上，OA＝1，OC＝3，以O为圆心、OA长为半径作⊙O，点P为⊙O一动点，连接CP，以CP为腰作等腰Rt△CPD，连接OD，则OD 长的取值范围是___________.

【变式2】如图，点O在线段AB上，OA＝1，OC＝3，以O为圆心、OA长为半径作⊙O，点P为⊙O一动点，连接CP，以CP为边作等边△CPD，连接OD，则OD长的取值范围是____________.

设计说明：这一组变式题有一定的难度，需要学生克服为难情绪，然后积极寻找解题途径。通过这一组变式题型的训练，让学生真正理解在哪个点构造怎样的三角形，才能达到转化所求线段的目的。

三、结语

师：同学们，离中考还有24天，让我们手拉手，肩并肩，共同努力，战胜懒惰，战胜恐惧，战胜中考！同学们，加油！！！