第三讲 量子信息处理(2006)

----Hilbert 空间可分解为许多子空间, 对应地有: U=V1×V2× V3 ×…Vm ; V1,V2,…它们各自 也为 Unitary变换; 任何 n×n 的U 矩阵总可 可分解为一些 2×2 U之张乘量积; 即任何U操 作均可以通过2×2 U矩阵矩阵所表示的操作 (量子门)的联合操作来完成. ----进一步可以证明:众多的量子(2U操作)门中, 只有几种是基本的, 其他的可由它们组合或转 化而得; 对单qubit, 它们是 Pauli matrix : X, Z (or Y), Hadamard及8 (旋转)门; 对于多qubit 系统 尚需起耦合作用的CNOT门. ----将各种门,按解题需要建立的算法, 连接组成电 路,即量子电路. 量子电路按程序正确控制下,即 可完成量子计算.
100M-1G Isolated Design in Design in
Slow degradation
10-100G Associated Natural Natural
Architecture
Serial
Parallel
Astronomical
Interconnection low
• 量子计算基础 1)引言:----用量子力学理念框架代替经典力学贯 穿于计算(信息处理)模型中,以提高效率和功能 ； ----量子态比之经典状态信息含量大大提 高,如经典理论把粒子的波动性,因而把相位、 相干、缠绕态等信息都忽视了,量子信息处理中 它们都将体现；一次量子信息处理的信息量 ½ 大大超过同等能量的经典处理；处理空间大大 扩展 ----已证明,对某些难题的求解,用量子计算 的确可使复杂性大大下降, 如, 传统计算机中的 指数增长的 大数因子分解问题, 用量子计算,只 需(O3L）（Shor算法）; 而大数据库搜索 问题 则由O(N)下降到O(N1/2)(Grover算法）.
3)量子操作,量子门,量子电路 ----传统计算机解题可看成一个质点在n维二值 n 空间中(n-bit数,状态数2 ) 做有控的经典运动; 由初值点出发按 算法规定的运动轨迹而达到条 件所要求的终值点,即为要求的解。 同样, 量子 计算是由特定的初始态,单位矢|o>开始, 在 n Hilbert 空间（nqubit 时为2 维）依据量子力 n 学规律做有控运动(依据量子算法), 以达到条件 所确定的终态(解); 因为nqbit Hilbert空间比之 n 2n， 同等经典位大大扩大，状态数由2 2 每步操作的并行性、信息量大大提高。

多qubit:
例: CNOT 门 操作:
— |B>—|BA>
|A> • |A>
00 01 10 11
00 01 10 11
|A>: control bit, |B>: target bit; Ucn|A>|B>Ucn|AB>=
=
[ ][][ ] [ ]
=
1000 0100 0001 0010
特征 CMOS 神经元
Propagation delay
Power dissipation Speed power
10ps
0.1w 0.001fj
1ms
20pw 20fj
Linear size Failure rate Packaging density Interconnect density Data rate
第三讲 量子信息处理
• • • • 引言 量子信息处理基础 量子信息处理实现 小结
• 引言 ----传统信息处理的基础: 杜灵机,经典二值逻 辑; ----传统信息处理的缺点: 原则上串行、确定 逻辑随 问题越大、精度越高，计算要求的逻 辑门数迅速增加，许多成为无法处理的难题 ----设：以一个具体系统解一具体问题，需要 N个基本器件联合(并行）、各操作一次。器件 工作一次的能耗为Eb, 操作周期为。令系统功 耗为P，则有：P=NEb/
2
1
00 0 1 01 1 0 2 10 0 1 11 1 0
----量子计算要求系统 严格closed, 但无 论是初始态制备,门操作等过程中,个别元 素可以偶尔出错,以及环境的微小扰动,都 可产生噪声.所以纠错编码技术成为必需. ----量子编码与传统纠错编码类似,加入 一定数量的多余qubit, 及时对该码进行 检测,並对错码及时纠正. 量子纠错码技术 充分利用了基本量子门特性和量子纠缠, 有很高的效率.
操作例:
|0+1—X—01
0+1Z—0–1
0 1 [(01)2][((01)2] 因为:X[

]= 1 0 ] [ ]=[ ]
1 1
0 1

Байду номын сангаас
H[ ]=[1 -1 ]+…. ][
0.1m 4E-9/hr 1E9/cm 3E9/cm GHz
1m 6E-9/hr 6E8/cm 6E12/cm 200Hz
ULSI系统与人脑的比较
项目 ULSI 人脑
Failures
Elements Data storage Built in test Self healing
Complete
专用SOC提高芯片信息处理效率举例
----新兴处理系统方向 BIO-INSPIRED: ANNS FL, FLANNS 量子信息处理 量子信息比经典信息含有丰富得多(相 位、相干、态叠加、态纠缠）的信息，处理的 状态空间比之经典大多得多。可望有更高处理 效率，处理更大、更多的难题
ULSI CMOS开关与神经元的比较
0 1
(5)量子信息远程传输
qubit1 qubit2 qubit3
=(1 /)(
a0 1
1
1 2
0 00
11 1 10 01

2
1
00 0 1 01 1 0 2 10 0 1 11 1 0
量子位示意
2） 量子位:
---- 量子位(qubit): 2能级量子系统(如spin向上和向下)的状 态: 为一qubit， a0b1> , a,b为复数，且 |a|² =1 ，其中: |0>和|1> 为两个基态矢, 为叠加态; +|b|² 传统1bit 代表1或0,即 一个一位的二值信息;而1qubit 涵盖a,b 两个一位的二值信息; ---- 2qubit: ab|01>+c|10>+d|11>, |a|² +|c|² =1; 其中 |00>|0>|0> , |01>=|0>|1>…(矢量乘积); +|b|² +|d|² 由经典的1个二位信息,成为2-qubit的4个两位信息; ---- nqubit: x|x1x2--xi---xn> , i=1,2,…n , xi=0或1 ; x²=1, x=x1x2...xi…xn； ; 共有, 2n 个 同样位数n, qubit 的信息含量,比之classical bit 呈2n指数倍增 大;对每位操作的相应信息量,也大大增强; ----不同qubit 之间 存在entanglement,相关信息已被证明对 包括QC 和quantum teleportation在内的信息处理有非常重要的 作用.

=|A>|BA
0000,0101,1011,1110.
=|A>,|BA
量 子 算 法 与 量 子 电 路 把一个具体的信息处理问题或计算问题映射到一 个多个量子位系统的实行过程是：写出相应的哈 密顿，找到系统演进的酋变换，按照U变换找到 系统从初始态到求解态的演进的最佳路径，并把 后者分解为一些量子门的相继操作来达到目的。 上述这一解题过程的具体化称为对某一问题提出 的一种量子算法。把一些量子门按照一定的方式 组织起来，各个门以一定的循序进行操作，则能 实现特定的变换。这些量子门的连接组合被称为 量子电路。量子电路反映出比简单量子门为复杂 的U变换。把量子电路组合起来按循序操作，就 可以完成量子算法所要求的功能。
解题频率 F=P/（Eb） 解题效率 =F/P=1/（Eb）
(1)传统用的多系统并联处理提高系 统处理速率(OPS)的方法基本上靠提高功 率,並不提高处理效率 (2)芯片 的P有限制, 提高SOC处理 能力与性能的关键是降低(NEb),对于固定 节点,主要靠下降N,通过优化模型、算法、 微结构等SOC创新技术实现 （3）根本的解决办法：找到功能更 强、耗能更低的器件构筑硬件系统，全 新的、更强的处理系统模型，以更少的N 解决问题
例: 一个qubit 的基矢方向投映测试: P0=|0>, P1=|1> , a0b1 p(0)=(a*0+b*1)|0>< 0|(a|0>+b|1>)=a² p(1)=b² a² =1; +b² = |0><0|(a|0>+b|1>) /(a*<0|+b*<|1)<0||0>(a|0>+B|1>)=a|0>/|a*a| =b|1>/|b*b| 量子计算是一种概率计算; 人们不能直接、一 次测出a,b,c,…而是通过多次测定它们的概率分布 决定出来。
----状态 在Hilbert 空间(的状态空间)的 运动(演进---evolution) 遵循量子力学规律: iħ（(t)t)=H(t) t2)=exp[-iH(t2-t1)/ħ](t1)>, 因为, H 为 hermitian , 所以 (t2)>=U(t1,t2)(t1)>; U: 酉矩阵（Unitary operation）， Sch.Eq.: 对于 n qubit 系统, U 为 n×n酉 矩阵.
量子电路: (a) Universal 门: Hadamard, Phase, 8, CNOT.
(b) 多Qubit 门 的连接量子电路 真值表 (c) 例: Toffoli门 inputs outputs a • 000 000 b • 001 001 c ab
010 011 100 101 110 111 010 011 100 101 111 110
a b c
4) 量子测试
----在一个closed的量子系统中,(t)按量子力学规律演 进,量子操作一步步也按此推进,保持其Closed状态. 但在某一时间,状态如何,人们不得而知.只有通过测 试. 但测试意味着外界的作用,原系统不再是Closed, 实际上原状态立刻 塌缩(collapse),改变为另一. ----设作用于狀态空间的测试 算符M; {Mm}代表 该 可观测量的集合, 为保持测试的完备性: m† †m M Mm=I, 量子力学设定: 测出结果与m相关的实验的 † 概率为: † p(m)=†mMm| † † 而 然, ’=(M†mMm)/ †mm 显
† †
----投映测试
设可观测量M, 在空间有本征谱(对应本征态 的几率谱—一般可用实验测定): m, (m=0,1,2,…m-1为完整谱系) ,对应的谱强度为 Mm; 与此相应有本征矢Pm. Pm (m=0,1,2,…m-1) † † † 组成正交系; Pm 为M向各基矢的投映. 因为 mMmMm=I, 所以mMmMm=I 状态谱 † 线m的相对强度(检出m线的几率): † † p(m)= PmPm † 因为 mMmMm=I , 所以 mPmPm=I mp(m)=mPmPm=1, 为完备系; † 测试后状态变为: ’>=Pm|PmPm
(6) 量子纠错与容错计算
----量子容错: 对不同的量子门,测试电路 分别 实施量子纠错编码,(包括级联—前 后级分别编码—和 bit-wise 编码),使错误 不横向传递,纵向扩大,並及时得到自动纠 正,这样的量子电路称为容错电路,计算为 量子容错计算. ----理论已证明: 只要每个量子位在操作 -4 -5 过程中的出错率小于一定值(10 --10 ), 容错计算总是可能的, 即电路中增加一定 qubit 数实现容错计算.