材料力学哈工大压杆稳定
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当压杆所受的轴向压力 F 达到临界力 Fcr 时，其直线形态的 平衡开始丧失，称压杆发生了稳定性失效，简称失稳。这是不同 于强度失效的又一类构件失效问题。
研究压杆稳定性的关键是寻求其临界力 Fcr的值。
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力 假设两端球形铰支的等直细长压杆所受的轴向压力刚好等于 其临界力，并且已经失稳而在微微弯曲状态下保持平衡 。
(e) K nπ (n 1,2,) (i) l
Fcr
n2π2EI l2
(n 1,2,) (k)
取 n = 1，得欧拉公式
Fcr
π2EI l2
在此临界力作用下，
式(e）可写成
K
π l
v
C1
sin
π l
x
(6 -1) ，则
(l)
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力
• 当轴向压力 F 小于某一数值时，压杆又恢复到原来的直 线平衡形态。
• 当轴向压力 F 增加到这一数值时，虽然干扰力已解除， 但压杆不再恢复到原来的直线平衡形态，而在微微弯曲的形 态下平衡。
第一种情况表明压杆的直线平衡形态是稳定的；而第二 种情况表明压杆的直线平衡形态是不稳定的。
第16章 压杆稳定
(n 1,2,) (k)
式 (k) 表 明 , 使 压 杆 保 持 曲 线 形wk.baidu.com态 平衡的压力，在理论上是多值的。而 在这些压力中，使压杆保持微微弯曲 的最小轴向压力，才是其临界力。故
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力
v C1 sin Kx C2 cos Kx
16-1 压杆稳定性概念 1）关于压杆稳定性的概念
可见，压杆原来直线形态的平衡是否稳定，与所受的轴向压 力 F 的大小有关；当轴向压力 F 由小逐渐增加到某一个数值时， 压杆的直线形态平衡由稳定过渡到不稳定 。
压杆的直线形态平衡由稳定过渡到不稳定所受的轴向压力的 界限值，称为压杆的临界力，用 Fcr 表示。
在其他约束情况下，可用上述静力法求临界力， 也可用如下简捷的方法求临界力。
以一端固定、一端自由长为l 的压杆为例
以固定端B为对称点向下延长至 A。延长后的挠曲线AA 是一
条半波正弦曲线，与两端铰支压杆失稳后的挠曲线形状一样。
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式
1）两端铰支细长压杆的临界力
持平衡，但前者是不稳定的，后者是稳定的。
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力
直线 AF与曲线 AB的交点 A 称为 平衡路径的分叉点，说明从该点开始， 压杆出现两种平衡形态。
以上讨论的均假设压杆轴线是理想 直线，压力是轴向压力，压杆材料均匀 连续。这是理想情况，称为理想压杆。
v
C1 sin
π l
x
(l)
由式(l)可见，两端铰支细长压杆失
稳后，挠曲线是一条半波正弦曲线。
最大挠度 vmax 与轴向压力F 间的理
论关系曲线，即压杆的平衡路径。
与 v曲max线间表关明系，为当直压线杆O所A，承说受明的压轴杆向只压有力直F小线于这临一界种力平F衡cr 形时态，，F
直线平衡形态是稳定的。当轴向压力F大于临界力 Fcr 时，压杆既 可在直线形态（AF）下保持平衡，也可在曲线形态下（AB）保
Kl nπ (n 1,2,) K nπ (n 1,2,) (i)
l
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式
1）两端铰支细长压杆的临界力
K 2 Fcr
(c)
EI
K nπ (n 1,2,) (i)
l
K2
n2π2 l2
(n 1,2,)
(j)
由式(j)、式(c)得
Fcr
n2π2EI l2
但是，实际压杆并非理想压杆，这些与理想压杆不相符合 的因素，可相当于作用在压杆上的压力与压杆轴线有一个微小
的偏心距。实验结果表明，实际压杆的 F 与 vmax 间关系如图
中的曲线OD所示。偏心距越小，曲线越接近OAB。
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力 2）不同杆端约束细长压杆的临界力 工程中的压杆，两端会有各种不同的约束。从上 述推导临界力的过程可看出，约束条件不同，压杆的 临界力也不同，即杆端约束对临界力有影响。
称为长度系数，可查手册； l 称为压杆的相当长度。
第16章 压杆稳定
16-3 超过比例极限压杆的临界力计算
将式(16-2)的两端同时除以压杆的横截面面积A，得到压
杆的临界应力
16-1 压杆稳定性概念 1）关于压杆稳定性的概念
工程中的压杆
第16章 压杆稳定
轴侧方向
俯视方向
16-1 压杆稳定性概念 1）关于压杆稳定性的概念
压杆稳定性试验
第16章 压杆稳定
第16章 压杆稳定
16-1 压杆稳定性概念
1）关于压杆稳定性的概念
压杆稳定性试验表明，两端铰支均质等直细长杆，加轴向压 力F，压杆呈直线形态平衡。若此压杆受到一很小的横向干扰力 (例如，轻轻地推一下)，则压杆弯曲。当横向干扰力解除后，会 出现下述两种情况：
2）不同杆端约束细长压杆的临界力
这样就比拟得到，一端固定、一端自由长为l 的压
杆的临界力与两端铰支长为2l压杆的临界力相同，即
Fcr
π2EI (2l )2
用这种比较失稳后挠曲线形状的方法，同样会得
到其他约束情况下压杆的临界力公式，这些公式可统
一写成
Fcr
π2EI
( l )2
(16 - 2)
欧拉公式的一般形式
d2v dx2
K 2v
0
(d)
v C1 sin Kx C2 cos Kx
(e)
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力
边界条件
v x0 0
(f)
v xl 0
(g)
由式(f)、式(g)得 C2 0
C1 sin Kl 0
只有
sin Kl 0 (h)
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式
1）两端铰支细长压杆的临界力 假设两端球形铰支的等直细长压杆所受的轴向压力刚好等于 其临界力，并且已经失稳而在微微弯曲状态下保持平衡 。
M (x) Fcrv
(a)
d2v dx2
M (x) EI
Fcr v EI
(b)
令
K 2 Fcr
(c)
EI
研究压杆稳定性的关键是寻求其临界力 Fcr的值。
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力 假设两端球形铰支的等直细长压杆所受的轴向压力刚好等于 其临界力，并且已经失稳而在微微弯曲状态下保持平衡 。
(e) K nπ (n 1,2,) (i) l
Fcr
n2π2EI l2
(n 1,2,) (k)
取 n = 1，得欧拉公式
Fcr
π2EI l2
在此临界力作用下，
式(e）可写成
K
π l
v
C1
sin
π l
x
(6 -1) ，则
(l)
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力
• 当轴向压力 F 小于某一数值时，压杆又恢复到原来的直 线平衡形态。
• 当轴向压力 F 增加到这一数值时，虽然干扰力已解除， 但压杆不再恢复到原来的直线平衡形态，而在微微弯曲的形 态下平衡。
第一种情况表明压杆的直线平衡形态是稳定的；而第二 种情况表明压杆的直线平衡形态是不稳定的。
第16章 压杆稳定
(n 1,2,) (k)
式 (k) 表 明 , 使 压 杆 保 持 曲 线 形wk.baidu.com态 平衡的压力，在理论上是多值的。而 在这些压力中，使压杆保持微微弯曲 的最小轴向压力，才是其临界力。故
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力
v C1 sin Kx C2 cos Kx
16-1 压杆稳定性概念 1）关于压杆稳定性的概念
可见，压杆原来直线形态的平衡是否稳定，与所受的轴向压 力 F 的大小有关；当轴向压力 F 由小逐渐增加到某一个数值时， 压杆的直线形态平衡由稳定过渡到不稳定 。
压杆的直线形态平衡由稳定过渡到不稳定所受的轴向压力的 界限值，称为压杆的临界力，用 Fcr 表示。
在其他约束情况下，可用上述静力法求临界力， 也可用如下简捷的方法求临界力。
以一端固定、一端自由长为l 的压杆为例
以固定端B为对称点向下延长至 A。延长后的挠曲线AA 是一
条半波正弦曲线，与两端铰支压杆失稳后的挠曲线形状一样。
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式
1）两端铰支细长压杆的临界力
持平衡，但前者是不稳定的，后者是稳定的。
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力
直线 AF与曲线 AB的交点 A 称为 平衡路径的分叉点，说明从该点开始， 压杆出现两种平衡形态。
以上讨论的均假设压杆轴线是理想 直线，压力是轴向压力，压杆材料均匀 连续。这是理想情况，称为理想压杆。
v
C1 sin
π l
x
(l)
由式(l)可见，两端铰支细长压杆失
稳后，挠曲线是一条半波正弦曲线。
最大挠度 vmax 与轴向压力F 间的理
论关系曲线，即压杆的平衡路径。
与 v曲max线间表关明系，为当直压线杆O所A，承说受明的压轴杆向只压有力直F小线于这临一界种力平F衡cr 形时态，，F
直线平衡形态是稳定的。当轴向压力F大于临界力 Fcr 时，压杆既 可在直线形态（AF）下保持平衡，也可在曲线形态下（AB）保
Kl nπ (n 1,2,) K nπ (n 1,2,) (i)
l
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式
1）两端铰支细长压杆的临界力
K 2 Fcr
(c)
EI
K nπ (n 1,2,) (i)
l
K2
n2π2 l2
(n 1,2,)
(j)
由式(j)、式(c)得
Fcr
n2π2EI l2
但是，实际压杆并非理想压杆，这些与理想压杆不相符合 的因素，可相当于作用在压杆上的压力与压杆轴线有一个微小
的偏心距。实验结果表明，实际压杆的 F 与 vmax 间关系如图
中的曲线OD所示。偏心距越小，曲线越接近OAB。
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力 2）不同杆端约束细长压杆的临界力 工程中的压杆，两端会有各种不同的约束。从上 述推导临界力的过程可看出，约束条件不同，压杆的 临界力也不同，即杆端约束对临界力有影响。
称为长度系数，可查手册； l 称为压杆的相当长度。
第16章 压杆稳定
16-3 超过比例极限压杆的临界力计算
将式(16-2)的两端同时除以压杆的横截面面积A，得到压
杆的临界应力
16-1 压杆稳定性概念 1）关于压杆稳定性的概念
工程中的压杆
第16章 压杆稳定
轴侧方向
俯视方向
16-1 压杆稳定性概念 1）关于压杆稳定性的概念
压杆稳定性试验
第16章 压杆稳定
第16章 压杆稳定
16-1 压杆稳定性概念
1）关于压杆稳定性的概念
压杆稳定性试验表明，两端铰支均质等直细长杆，加轴向压 力F，压杆呈直线形态平衡。若此压杆受到一很小的横向干扰力 (例如，轻轻地推一下)，则压杆弯曲。当横向干扰力解除后，会 出现下述两种情况：
2）不同杆端约束细长压杆的临界力
这样就比拟得到，一端固定、一端自由长为l 的压
杆的临界力与两端铰支长为2l压杆的临界力相同，即
Fcr
π2EI (2l )2
用这种比较失稳后挠曲线形状的方法，同样会得
到其他约束情况下压杆的临界力公式，这些公式可统
一写成
Fcr
π2EI
( l )2
(16 - 2)
欧拉公式的一般形式
d2v dx2
K 2v
0
(d)
v C1 sin Kx C2 cos Kx
(e)
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式 1）两端铰支细长压杆的临界力
边界条件
v x0 0
(f)
v xl 0
(g)
由式(f)、式(g)得 C2 0
C1 sin Kl 0
只有
sin Kl 0 (h)
第16章 压杆稳定
16-2 确定临界力的静力法 欧拉公式
1）两端铰支细长压杆的临界力 假设两端球形铰支的等直细长压杆所受的轴向压力刚好等于 其临界力，并且已经失稳而在微微弯曲状态下保持平衡 。
M (x) Fcrv
(a)
d2v dx2
M (x) EI
Fcr v EI
(b)
令
K 2 Fcr
(c)
EI