演示文稿微积分第三章导数与微分

什么情况下必须用左右导数f(x0 )，f(x0)来确定f (x0)?
即y 12x 16
法线方程为：
y 8 1 (x 2) f (2)
即y 1 x 49 12 6
四、左、右导数
定义3：设函数y f (x)在点x0的某左邻域(x0 x， x0（) x 0）内有定义，如果函数的改变量y f (x0 x) f (x0 )与自变量的改变量（x x 0） 的比值当x 0的极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
存在，则称f (x)在点x0处左可导，而上述极限就 称为函数f (x)在点x0处的左导数,记为f(x0 ).
即：f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
同样，也可以定义点 x0处的右导数
f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
函数f (x)在点x0处可导的充分必要条件是： 函数f (x)在点x0处的左右导数存在并相等
例3. 讨论函数 f (x) | x | 在 x 0处的可导性.
演示文稿微积分第三章导数与 微分
（优选）微积分第三章导数与 微分
§3.1 导数的概念
一、引例
引例1、变速直线运动的瞬时速度
设S表示一物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动 所经过的路程，则S是时刻t的函数S=f (t).求t t0时 的瞬时速度.
当时间由t0改变到t0 t时，物体t这段时间内所 经过的距离为
且切线的斜率为f (x0 ). 曲线在点M (x0, y0 )处切线方程为：
y y0 f (x0 )(x x0 )
曲线在点M (x0, y0 )处法线方程为：
y
y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
例2：求曲线y x3在点(2,8)处的切线方程 和法线方程.
解：由前例知f (2) 12
点(2，,8)处切线方程为： y 8 f (2)(x 2)
f (x) lim f (x x) f (x) x (a,b)
x0
x
则称f (x)在区间(a,b)内可导，上述极限为函数 f (x)在区间(a,b)内的导函数，简称导数
记为f (x); y; df (x) ; dy dx dx
我们用 d [ f (x)] 或 [ f (x)]表示f (x)的导数运算 dx
即 f (x) d [ f (x)] 或 f (x) [ f (x)] dx
注意 f (x0 ), f (x)的区别与联系： 区别： f (x0 )是一个数 , f (x)是一个函数；
联系： f (x0 ) f (x) xx0
例1.已知y x3,求f (x)，f (2).
解: f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
lim (x x)3 x3
x0
x
lim 3x2x 3（x x）2 （x）3
x0
x
lim[3x2 3xx （x）2 ] 3x2 x0
f (2) 3x2 x2 12
源自文库、导数的几何意义
若函数f (x)在点x0处有导数f (x0 )， 则曲线y f (x)在对应点M (x0 , y0 )处 有唯一的一条不垂直于x轴的切线，
S f (t0 t) f (t0 )
（1）当物体作匀速运动时
v0
s t
f (t0 t) t
f (t0 )
（2）当物体作变速运动时
s t
表示从t0到t0
t这一段时间的平均速度v
t很小时，v0 v
且t越小，近似程度越好
当t 0时，如果 lim s 存在
t0 t
则v0
lim
t 0
s t
x
x
当x0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线MN也将
随之变动而趋向于切线MT
即割线 MN 的极限位置就是
曲线 L 在点 M 处的切线MT .
当 x 0时,
tan lim tan
切线 MT 的斜率为：
k tan lim tan
lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
k y xx0 f (x0 )
我们把终值x0 x记为x 即x x0 +x，有x x x0 则x 0就是x x0，故定义的式子可写为：
f
(
x0
)
lim
x0
y x
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
定义2：如果函数f (x)在区间(a,b)内的每一点x 处都可导，即对(a, b)内的每一点x，都对应着 一个确定的导数值
解
f (x) | x |
x, x,
x0 x0
f(0)
f (x) f (0)
lim
x0
x0
x 0
lim
1
x x0
f(0)
lim f (x) f (0) lim x 0 1
x0
x0
x x0
f(0) f(0)
y y x
所以,函数 f (x) | x | 在 x 0 处不可导.
o
x
思考
lim f (t0 t) f (t0 )
t 0
t
引例2 —— 平面曲线的切线斜率
求曲线L：y f ( x)在点 M( x0 , y0 ) 处切线的斜率.
已知定点M（x0, y0 ),
切线 MT 倾角
作动点N（x0 x，y0 y） 割线 MN 倾角
割线 MN 的斜率为：tan y f (x0 x) f (x0 )
f (x0 );
y |xx0 ;
df (x) dx |xx0 ;
dy dx |xx0
即 f (x0)
lim y x0 x
lim
x0
f
(x0
x) x
f
( x0 )
x0定点
如果函数（f x）在点x0处可导，也称点x0为函数 （f x）的可导点，否则称x0为函数（f x）的不可导点.
v0 s tt0 f (t0 )
x0 x x0
x
二、导数的定义
定义1：设函数y f (x)在点x0处的某邻域内有定义， 如果函数的改变量y f (x0 x) f (x0 )与自变量 的改变量x的比值当x 0的极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称f (x)在点x0处可导，而上述极限值称为 函数f (x)在点x0处的导数，也叫微商，有四种等价 的表达方式