第五章 微分方程模型

模型求解有
w(t)
w0 e dt
a d
(1 edt )
（Hale Waihona Puke Baidu）
三、模型分析
w(t )
w0edt
a d
(1 edt )
（2）
1、在（2）式中假设a=0，即假设停止进食，无任何能量摄入，
这时体重的变化完全是体内脂肪的消耗而产生的，于是有
[w0 w(t)] / w0 1 e dt
这表明在（0，t）内体重减少的百分率由 1 edt 给出，称之为
第五章 微分方程模型
5.1 减肥问题 5.2 湖水污染问题 5.3 传染病问题 5.4 经济增长问题 5.5 战争问题 5.6 香烟过滤嘴问题 5.7 万有引力定律的发现
微分方程建模
对于微分方程建模，虽然我们得不到一种建立和解决所有 问题的通用法则，但我们可以注意以下几点：
（1）转化：在实际问题中，有许多表示“导数”的常用词，如 “速度”、“增长”、“衰变”、“边际”等。“改变”、“变 化”、“增加”、“减少”等词都是信号，要注意什么在变化，导 数也许用得上。其次想一想你所考虑的问题是否遵循什么原则或物 理定律？是应该用已知的定律呢？还是必须去推导问题的合适结果？ 对这些问题的回答将直接引到你如何去处理问题。不少问题都遵循 着下面的模式：
净变化率=输入率－输出率
（2）写出微分方程：微分方程是一个在任何时刻都必须正确的 瞬时表达式，这是数学问题的核心。如果你看到了表示导数的关键 词。你就想要寻找y’，y及t之间的关系。首先把注意力集中在文字 形式的总关系式上，如“变化率=输入－输出”，写出这些关系式， 然后确信你填写好了式子中所有的项。
于基础代谢和活动而消耗掉的那部分），于是a/d就表示通过能量
的摄取对每1%的体重消耗所获得的体重的补充量．
2、容易证明，对于（1）式来说，当切仅当w*=a/d＜w0时有
dw 0 dt
这表明只有当w*＜w0时，才有可能产生减肥的效果．另外由（2）
式也可以看到 t 时，w(t) w* 也就是说（1）式的解渐进稳
体重改变的能量变化＝[w(t+△t)－w(t)]D 摄入与消耗的能量之差＝[A－(B+R)w(t)] △t
由能量平衡原理，有 ［w(t+△t)－w(t)]D＝[A－(B+R)w(t)] △t
取 t 0，可得
dw
dt
a
dw
w(0) w0
（1）
其中a=A/D，d=(B+R)/D，t=0模型开始考察时刻，即减肥问题的数 学模型．
定于w*=a/d．他给出了减肥过程的最终结果．因此我们不妨称w*
为减肥效果指标．注意到a和d的表达式可知由w*=A/(B+R)，由于B
是基础代谢的能量消耗，它不能作为减肥的措施随着每个人的意愿
进行改变，对于每个人可以认为它是一个常数．于是我们就有如下
结论：减肥的效果主要是有两个因素控制的：由于进食而摄取的能
（3）单位：一旦你认为那些项应该列入微分方程中，你就要注 意每一项都采用同样的单位。
（4）给定初始条件：这是关于系统在某一特定时刻的信息。它 独立于微分方程而成立。在微分方程解出后，利用它来确定有关常 数。
5.1 减肥问题
随着社会的进步和发展，小康社会的建立，人们的生活 水平在不断地提高．饮食营养摄入量的不断改善和提高、生 活方式的改变，使得“肥胖”成了一个社会关注的问题．无论 从健康的角度，还是从审美的角度，人们越来越重视减肥． 大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥 行列，盲目的减肥，使得人们感到很不理想。如何对待减肥 问题，我们也不妨通过组建模型，从数学的角度对有关的规 律作一些探讨和分析．
Ａ
l0
Ａ
Ｂ ｗ0B
l1
Ｃ W1B
－Ｂ
０
R1
Ｒ
称w1为减肥的临界指标．另外，人们为减肥所采取的各种体力活动 对能量的消耗也有一个人所能承受的范围，我们记为0<R<R1于是 见图在R－A平面上由R=0，R=R1和A=0所界出的上半带形区内， 被直线l0:A=W0B+W0R和l1:A=W1B+W1R分割为三个区域A、B、C 这表明减肥的效果是由控制饮食和增加消耗综合作用，相互协调的
量以及由于活动消耗的能量．从而减肥的两个重要措施就是控制饮
食和增加活动量，这恰是通常人们对减肥的认识，是否就一定少吃
多练呢？
Ａ
l0
Ａ
Ｂ ｗ0B
l1
Ｃ W1B
－Ｂ
０
R1
Ｒ
3、进一步讨论能量摄取量A与消耗量R对减肥的效果w*影响．显然 A=w*B+w*R，它是R－A坐标系中过（－B，0）点斜率位w*的直 线．根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄取的能量不能低于 用于维持人体正常生理功能所需要的能量．因此作为人体体重极限 值的减肥效果指标一定存在一个下限w1，当w*<w1时表明能量的摄 入过低并致使无法维持他本人正常的生理功能的所需，这时减肥所 得到的结果不能认为是有效的，它将危及人的身体健康，是危险的
（3）由于体重的增加或减少都是一个渐变的过程，所以w(t)是连 续而且光滑的；
（4）单位时间内人体通过各种活动来消耗自身能量与其体重成正 比，记r为每千克体重每小时某种活动所消耗的能量，(rJ/kg)/h；
（5）单位时间内人体用于基础代谢所消耗的能量与其体重成正 比，记b为每千克体重每小时所消耗的能量，(bJ/kg)/h；
（0，t）时间内的体重消耗率，特别当t=1时，1 ed 给出了单位
时间的体重消耗率．自然 e dt 应理解为（0，t）时间内体重的保
存率，它表明在时间t保存的体重占初始体重的百分率．a/d是模型
中一个重要的参数，由于a=A/D表示由于能量的摄入而增加的体重，
而d=(B+R)/D表示由于能量的消耗而失掉的体重（每单位体重中由
一、模型假设 （1）由于人体的脂肪是能量的主要贮存和提供方式，而且也是减
肥的主要目标．所以不妨以人体的脂肪的重量作为体重的标志．已 知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为4.2×107焦耳 的能量，记D=4.2×107J/kg,称为脂肪的能量转换系数；
（2）忽略个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影 响，人体的体重仅仅看成是时间t的函数w(t)；
（6）人体每天摄入的能量是一定的，记为A．
二、建模与求解 如果以1天（=24小时）为时间的计量单位，于是每天基础代谢
的能量消耗量应为B=24b(J/d)，由于人的某种活动一般不会是全天 候的，不妨假设每天活动h小时，则每天由于活动所消耗的能量应 为R=rh(J/d)．在时间段(t，t+△t）内考虑能量的改变，