高等代数课件ppt

第一章 多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数 §8 复、实系数多项式
的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
一、数域 二、数域性质定理
§1.1 数域
一、数域
定义 设P是由一些复数组成的集合，其中包括
二、数域的性质定理
任意数域P都包括有理数域Q． 即，有理数域为最小数域．
证明： 设P为任意一个数域．由定义可知， 0 P， 1 P.
于是有 m Z , m 1 1 L 1 P
§1.1 数域
进而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集P为一个数域．
§1.1 数域
例1．证明：数集 Q( 2) a b 2 | a,b Q
是一个数域． 证：Q 0 0 0 2, 1 1 0 2, 0,1 Q( 2)
又对 x, y Q( 2), 设 x a b 2, y c d 2, a,b,c,d Q, 则有
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2), x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2) 设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
§1.1 数域
（否则，若 a b 2 0, 则 a b 2, 于是有 a 2 Q, b 或 a 0,b 0 a b 2 0. 矛盾）
意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一
一个数域．
证：由题设任取 a,b P, 有
0
aa aP
P, 1 (b 0),
b b
P (b 0), a b a (0
a b P, b) P,
b
b 0 时,
ab
1
1
P
,
b 0 时, ab 0 P.
b
所以，P是一个数域．
ห้องสมุดไป่ตู้
§1.1 数域
0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域． 常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q； （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）
§1.1 数域
说明： 1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P
中，则说数集P对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数
Q P.
§1.1 数域
附:
数环 设P为非空数集，若 a,b P, a b P, a b P
则称P为一个数环． 例如，整数集Z 就作成一个数环．
§1.1 数域
练习 判断数集 P1, P2 是否为数域？为什么? P1 {2n 1 | n Z }, P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
c d 2 (c d 2)(a b 2) a b 2 (a b 2)(a b 2)
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q.
Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
§1.1 数域
例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任
§1.1 数域
作业
1．若 P1, P2为数域，证明：P1 I P2也为数域．
２．证明：集合
S
m
2n
m,
n
Z
是一个数环．
S是数域吗？
§1.1 数域