滑坡动力学方程及其应用方法

滑坡动力学方程及其应用方法

王昌益

中国山东省蓬莱市国土资源局 邮政编码265600

摘要 据研究，滑坡与其控制因素之间存在统一关系方程，这种关系方程就是滑坡动力学方程。根据滑坡动力学方程确立的滑坡预警判据，是一种准确可靠的科学判据。

关键词 滑坡；动力学方程；预警判据

滑坡是危害性巨大、仅次于地震的地质灾害之一。为了减小、预测与防治滑坡灾害，世界各国一直在进行滑坡预测与防治研究，在滑坡预测与防治研究方面每年都投入巨额资金。然而，长期以来，始终没有一种能够指导人们进行滑坡预测与防治的动力学理论与方程存在。据研究，滑坡与其控制因素之间存在统一关系方程，这种关系方程就是滑坡动力学方程。根据滑坡动力学方程确立的滑坡预警判据，是一种准确可靠的科学判据。

1． 滑坡动力学方程

控制滑坡现象发生的因素很多，但最重要的因素有二：动力因素和决定边坡物质滑坡还是不滑坡的力学性质。其中，动力因素由自然作用规律控制，其中最主要的作用是重力和大气降水产生的驱动力。作用因素是不可改变的天然因素。边坡物质力学性质由边坡物质自身的力学性质和环境的力学性质共同构成。力学性质因素是可以人工改变的，但限于人力、物力与财力条件，人类所能改变的滑坡条件是有局限性的的。因此，预测与预防滑坡灾害是必要的。

控制滑坡现象发生的这两个重要因素都不是恒定不变的自然科学量，而是在不断变化的两种变量。动力学因素中的重力可以认为是不变的衡量，其值由力学确定：a F ρ=0；但由大气降水产生的动力是变力：单位体积边坡物质的质量ρ在单位时间t 内获得的降水冲力是：

t q F 2

11=∆牛顿； 1-1 式中，q 1表示大气降水经过单位体积边坡物质所在空间的降雨量。由大气降水形成的地表水流、降雨期间产生的渗流水、地下水、泥石流等的驱动力与通过滑坡区域的水流量或泥石流流量q 22成正比，即

S

t

q F 2

222λ=∆牛顿。 1-2

式中，λ1为流体的密度；S 为单位体积边坡物质接受流体冲击断面面积；由于单位体积的面积等于1，所以，S =1.因此，控制滑坡的驱动力是变力

t q t q mg F F F F t 2

2221210λ++=∆+∆+=. 1-3 因此，将控制滑坡运动现象发生的驱动力表示为

t F F t ε+=0. 1-4 式中，F 0和F t 分别是ρ受的初始驱动力和终止驱动力；ε表示力的变化率；t 表示变化时间。控制边坡物质滑坡还是不滑坡的力学性质因素是规定滑坡现象发生还是不发生的第二种最重要的决定因素。如果假设控制边坡物质滑坡的可滑性质特征值是E ，那么，滑坡现象发生与不发生，除了动力以外，就决定于这个E 值。即，描述滑坡运动的动力学方程式是

dt dt m F v E x t t ⎰⎰⎪⎭

⎫

⎝⎛+=000. 1-5

式中，v 0为滑坡质量的滑坡运动初速度。由这个方程可以看出，在驱动力F 不变和滑坡质量m 不变条件下，E 值越大，滑坡运动距离x 越大；反之，也反。当E 值等于零时，滑坡距离等于零；当E 值等于1时，滑坡距离只受驱动力控制。因此，可滑性特征值的区间范围是E [0.1].对式1-5进行二次微分，得

m EF

dt

x d a ==22或Ema EF F ==合. 1-6

该式被称为滑坡动力学方程的力学形式。式中，a 为滑坡运动加速度；F 合就是合力（力学关于力与阻力之合力）。随着时间的推移、自然作用的进行和边坡物质的变化（运动或变形），边坡质量的可滑性质特征值也在改变。若设可滑性特征值的初始值为E 0，终止值为E t ，那么，可滑性特征值与其变化率β和变化时间t 之间的关系是为

t E E t β+=0. 1-7

将式t E E t β+=0和式t F F t ε+=0代入合力方程EF F =合，得

()()t F t E F E F t t t εβ++==00合. 1-10 因此，滑坡物质在作用控制下运行的曲线距离是

()()dt dt m t F v t E x t

t ⎰⎰⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+++=00000εβ. 1-11

式1-11被称为滑坡运动规律描述的动力学方程的完整形式。

将式1-11进行一次微分并整理，得

()3200000003121t m t F E m t m F E v v E v t βεβεβ+++

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

++=； 1-12 此式为滑坡速度与其控制因素之间的关系方程。将式1-12进行一次微分并整理，得

()200000t m

t m F E m F E v a βεβεβ++++

=. 1-13 这是滑坡运动加速度与其控制因素之间统一关系规律描述的一般方程。将式1-13进行一次微分并整理，得

ε

β

βε

βε0

0F E F

E t -

-

=+-

=. 1-14

可见，控制滑坡事件发生时间的关键4个量是：边坡物质在初始时刻的可滑性质特征值E 0、边坡物质的虚度变化率β、初始作用力F 0（也就是重力）、作用力的增大率ε.因此，这四个量是滑坡预测研究的四个关键量，只要确定了这四个量，滑坡预测工作也就基本完成了。滑坡的地点就是被观测研究的地点，滑坡运动的规模与强度由方程

()32000003

121

t t F E t F E mv mv I t t βεβε++++== 1-15 来确定。

边坡坡度角是控制滑坡现象发生的重要因素。如图所示，无论滑坡现象从怎样一种变形开始，从总体来看，滑坡总是存在一定角度，这个角度就叫滑坡角。假设滑坡角是α，控制滑坡的驱动力是F ，阻力是R ，根据力学关于力、合力、阻力三者之间的关系理论，合力、力、阻力三者之间的数量关系式是

αcos 22

2FR R F F -+=合. 1-16

式中，R 仅代表阻力的大小，取正值。据研究，阻力的大小与力之间的关系式是 ()F E R -=1, 1-17 所以，

()()2

1cos 12E E F F +--=α合. 1-18

可见，边坡角与合力、可变性特征值之间的统一关系规律。由于t E E β+=0，

t F F ε+=0，所以，

()()()()ma t E t E t F F =++---+=2

0001cos 12ββαε合. 1-19