信号处理原理PPT课件
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如果在区间(t1,t2)上,函数f1(t)和f2(t)互不含有对方的 分量，则称f1(t)与f2(t)在(t1,t2)上正交。
函数正交的充要条件是它们的内积为0 f1,f2 0
函数f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的内积：
f1,f2
t2 t1
f1(t)f2*(t)dt
{gn(t): 1nN}是区间(t1,t2)上的正交函数集的条件：
12
级数展开与信号变换
13
正交变换（K－L变换）
14
傅里叶级数展开
正交函数集
三角函数集
{1 ,cosn1t,sinn1t:n N }
复指数函数集
n是非负的自然数
{ejn 1t : n Z}
n是可正可负的整数
如果正交函数集是三角函数集或指数 函数集，则周期函数展成的级数就是 “傅里叶级数”。
相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数” 和“指数形式傅里叶级数”。
奇周期信号的FS
积分项为奇函数
Fn是奇对称的
T1
f(t)con s1tdt0
积分项为奇函数
20
傅里叶频谱
Fn FS谱
Fn
FS幅度谱
n Arg(Fn)
FS相位谱
周期信号的傅里叶频谱特点：
(1) 仅在一些离散频率点(nf1)上有值。
(2) 离散间隔为f1, 1 2f1 2/T 1
f(t),gn(t) K n
K 1 n t1 t2f(t)gn *(t)dt
K ng n(t),g n(t)t1 t2g n(t)g n *(t)d t
9
信号正交分量分解
N
f (t)
cngn (t) 正交函数集 {g n (t ) }
n1
对此函数集有一些疑问: 疑问一：是否还有其他函数与函数集中的函数都正交？
15
傅里叶级数展开
狄义赫利条件：在一个周期内 (1) 间断点的个数有限 (2) 极值点的个数有限 (3) 绝对积分数值有限
满足上述条件的任何周期函数，都可以 展成“正交函数线性组合”的无穷级数。
16
三角形式的傅里叶级数
设周期函数f(t)的周期为T1 展开成三角函数的无穷级数形式
f(t) a0
(a nco sn1 t bnsinn1 t)
对表示的要求： 能不能做到少失真？甚至不失真（即完全相等）？
现有的分解方法： 有的太简单－－交直流分量分解、奇偶分量分解、虚实部分量分解 有的太粗糙－－脉冲分量分解
希望分解方法：简单、精确、直观、有效 4
正交分解（二维平面）
Y CyVy
V
V CxVx CyVy
X 简单、精确、直观、有效
CxVx
对基本成分有要求。基本分量必须满足下面的条件： 1 数量上有要求。（对平面上的矢量：Vx Vy 两个） 2 质量上有要求。（对平面上的矢量：Vx 和 Vy 相互垂直（正交）） 3 能力上有要求。（对平面上的矢量：任意矢量都可唯一地合成出来）
t 1 t2 g m ( t) g n * ( t) d t K n[m n ], n[1 ..N ], K n 0 8
信号正交分量分解
任一函数 f (t)在(t1,t2)上可（近似）表 示为正交函数集内函数的线性组合。
f (t)
N
cngn (t)
n1
正交分量的系数
cn
f(t),gn(t) gn(t),gn(t)
信号处理原理
2011秋
第二章 连续时间傅里叶变换
连续时间信号可分解为一组基本信号的加权积分（和）
基本信号： 延时冲激信号：第一章 三角信号（复指数信号）：第二章 傅里叶级数，傅里叶变换 傅里叶分析
1807年：傅里叶提出“任何”周期信号均可用正弦级数表示 1829年：狄义赫利指出，分解要满足若干限制条件（三个） 应用领域很多：
5
正交分解（多维空间）
简单、精确、直观、有效
K
V
C kVk
k1
基本矢量Vk两两之间要垂直（正交）
系数： Ck
V,Vk Vk,Vk
V1和V2垂直的充分必要条件： <V1, V2> = 0
函 推广 数
空 间
6
平方可积的函数空间
[3] 《现代信号处理（第2版）》 张贤达
7
函数空间及内积定义
正交函数：
n1
根据正交函数的正交特性，可得：
t0 t0T 1c o sm 1 tc o sn1 td t
T 2 1( mn ) , mn 0 T 1 , mn 0
t0 t0
T 1sinm 1 tsinn1 td t
T 1[mn ] 2
17
三角形式FS系数的计算
cn
f(t),gn(t) gn(t),gn(t)
(3) Fn是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实
际幅度。
(4) 信号的功率为 F n 2 n
由于复指数完备正交函数集 中含有正负项，故为双边谱
21
傅里叶频谱
把傅里叶级数表示式的两边平方，并在一个 周期内进行积分，再利用三角函数及复指数 函数的正交性，可以得到周期信号f(t)的平 均功率P与傅里叶级数有下列关系：
地球气候变化分析 交流电源的电压、电流分析 海浪、电台发射信号等的分析
2
本章概要（导读）
周期信号的正交函数分解 周期信号的傅里叶级数（建立信号频谱的概念） 非周期信号的傅里叶变换（连续频谱）傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 采样信号（离散信号）的傅里叶变换 采样定理
3
正交分解
研究（信号）的方法： 用熟悉的、已知的信号 （表示） 陌生、未知的信号 用简单的信号 （表示） 复杂的信号
疑问二：是否存在某个函数集能精确地表示其他（任意）函数？
f (t) 完备正交函数集定义一
完备正交函数集定义二
cngn (t)
n1
10
信号正交分量分解
f(t)
cngn(t), t (t0,t0 T)
n1
如果满足 f(t) f(t T)
f(t nT) f(t)
cngn(t)
n1
11
函数空间中的标准正交基
f(t),gn(t) K n
K 1 n t1 t2f(t)gn *(t)dt
a0
1 T1
f(t)dt
T1
信号的直流分量
an T 2 1 T 1f(t)cosn1tdt, n N
bn T 2 1 T 1f(t)sinn1tdt, n N
系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，
简称为傅里叶系数。
18
复指数形式的FS
设周期函数f(t)的周期为T1 展开成复指数函数 e jn 1t 的无穷级数形式
f(t)
n
系数计算方法
Fnejn 1t
基 函
数
共
轭
Fn
1 T 1
f(t)ejn1tdt, n
T 1
Z
19
偶周期信号和奇周期信号的FS
偶周期信号的FS
Fn是偶对称的实数序列，只有直流分量和余弦项。
bnT21 T1f(t)sin1tdt0
函数正交的充要条件是它们的内积为0 f1,f2 0
函数f1(t)和f2(t)在(t1,t2)上的内积：
f1,f2
t2 t1
f1(t)f2*(t)dt
{gn(t): 1nN}是区间(t1,t2)上的正交函数集的条件：
12
级数展开与信号变换
13
正交变换（K－L变换）
14
傅里叶级数展开
正交函数集
三角函数集
{1 ,cosn1t,sinn1t:n N }
复指数函数集
n是非负的自然数
{ejn 1t : n Z}
n是可正可负的整数
如果正交函数集是三角函数集或指数 函数集，则周期函数展成的级数就是 “傅里叶级数”。
相应的级数通常被称为“三角形式傅里叶级数” 和“指数形式傅里叶级数”。
奇周期信号的FS
积分项为奇函数
Fn是奇对称的
T1
f(t)con s1tdt0
积分项为奇函数
20
傅里叶频谱
Fn FS谱
Fn
FS幅度谱
n Arg(Fn)
FS相位谱
周期信号的傅里叶频谱特点：
(1) 仅在一些离散频率点(nf1)上有值。
(2) 离散间隔为f1, 1 2f1 2/T 1
f(t),gn(t) K n
K 1 n t1 t2f(t)gn *(t)dt
K ng n(t),g n(t)t1 t2g n(t)g n *(t)d t
9
信号正交分量分解
N
f (t)
cngn (t) 正交函数集 {g n (t ) }
n1
对此函数集有一些疑问: 疑问一：是否还有其他函数与函数集中的函数都正交？
15
傅里叶级数展开
狄义赫利条件：在一个周期内 (1) 间断点的个数有限 (2) 极值点的个数有限 (3) 绝对积分数值有限
满足上述条件的任何周期函数，都可以 展成“正交函数线性组合”的无穷级数。
16
三角形式的傅里叶级数
设周期函数f(t)的周期为T1 展开成三角函数的无穷级数形式
f(t) a0
(a nco sn1 t bnsinn1 t)
对表示的要求： 能不能做到少失真？甚至不失真（即完全相等）？
现有的分解方法： 有的太简单－－交直流分量分解、奇偶分量分解、虚实部分量分解 有的太粗糙－－脉冲分量分解
希望分解方法：简单、精确、直观、有效 4
正交分解（二维平面）
Y CyVy
V
V CxVx CyVy
X 简单、精确、直观、有效
CxVx
对基本成分有要求。基本分量必须满足下面的条件： 1 数量上有要求。（对平面上的矢量：Vx Vy 两个） 2 质量上有要求。（对平面上的矢量：Vx 和 Vy 相互垂直（正交）） 3 能力上有要求。（对平面上的矢量：任意矢量都可唯一地合成出来）
t 1 t2 g m ( t) g n * ( t) d t K n[m n ], n[1 ..N ], K n 0 8
信号正交分量分解
任一函数 f (t)在(t1,t2)上可（近似）表 示为正交函数集内函数的线性组合。
f (t)
N
cngn (t)
n1
正交分量的系数
cn
f(t),gn(t) gn(t),gn(t)
信号处理原理
2011秋
第二章 连续时间傅里叶变换
连续时间信号可分解为一组基本信号的加权积分（和）
基本信号： 延时冲激信号：第一章 三角信号（复指数信号）：第二章 傅里叶级数，傅里叶变换 傅里叶分析
1807年：傅里叶提出“任何”周期信号均可用正弦级数表示 1829年：狄义赫利指出，分解要满足若干限制条件（三个） 应用领域很多：
5
正交分解（多维空间）
简单、精确、直观、有效
K
V
C kVk
k1
基本矢量Vk两两之间要垂直（正交）
系数： Ck
V,Vk Vk,Vk
V1和V2垂直的充分必要条件： <V1, V2> = 0
函 推广 数
空 间
6
平方可积的函数空间
[3] 《现代信号处理（第2版）》 张贤达
7
函数空间及内积定义
正交函数：
n1
根据正交函数的正交特性，可得：
t0 t0T 1c o sm 1 tc o sn1 td t
T 2 1( mn ) , mn 0 T 1 , mn 0
t0 t0
T 1sinm 1 tsinn1 td t
T 1[mn ] 2
17
三角形式FS系数的计算
cn
f(t),gn(t) gn(t),gn(t)
(3) Fn是双边谱，正负频率的频谱幅度相加才是实
际幅度。
(4) 信号的功率为 F n 2 n
由于复指数完备正交函数集 中含有正负项，故为双边谱
21
傅里叶频谱
把傅里叶级数表示式的两边平方，并在一个 周期内进行积分，再利用三角函数及复指数 函数的正交性，可以得到周期信号f(t)的平 均功率P与傅里叶级数有下列关系：
地球气候变化分析 交流电源的电压、电流分析 海浪、电台发射信号等的分析
2
本章概要（导读）
周期信号的正交函数分解 周期信号的傅里叶级数（建立信号频谱的概念） 非周期信号的傅里叶变换（连续频谱）傅里叶变换的性质 周期信号的傅里叶变换 采样信号（离散信号）的傅里叶变换 采样定理
3
正交分解
研究（信号）的方法： 用熟悉的、已知的信号 （表示） 陌生、未知的信号 用简单的信号 （表示） 复杂的信号
疑问二：是否存在某个函数集能精确地表示其他（任意）函数？
f (t) 完备正交函数集定义一
完备正交函数集定义二
cngn (t)
n1
10
信号正交分量分解
f(t)
cngn(t), t (t0,t0 T)
n1
如果满足 f(t) f(t T)
f(t nT) f(t)
cngn(t)
n1
11
函数空间中的标准正交基
f(t),gn(t) K n
K 1 n t1 t2f(t)gn *(t)dt
a0
1 T1
f(t)dt
T1
信号的直流分量
an T 2 1 T 1f(t)cosn1tdt, n N
bn T 2 1 T 1f(t)sinn1tdt, n N
系数an和bn统称为三角形式的傅里叶级数系数，
简称为傅里叶系数。
18
复指数形式的FS
设周期函数f(t)的周期为T1 展开成复指数函数 e jn 1t 的无穷级数形式
f(t)
n
系数计算方法
Fnejn 1t
基 函
数
共
轭
Fn
1 T 1
f(t)ejn1tdt, n
T 1
Z
19
偶周期信号和奇周期信号的FS
偶周期信号的FS
Fn是偶对称的实数序列，只有直流分量和余弦项。
bnT21 T1f(t)sin1tdt0