浅谈函数思想在数列中的应用

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ｉｒ ８０； 解 题 技巧 与方 法
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镰 数 擦
◎ 陈俊 平 （江 苏省 如 皋 市 搬 经 中 学 ２２６５００）
函 数 思 想 ，就 是 用 运 动 和 变 化 的 观 点 。分 析 和 研 究 自
然 界 中 具 体 问 题量 的依 存 关 系 ，剔 除 问题 中的非 数 学 因素 ，
、
ｑ
鱼 ｌ二旦 ：Ａ＋却ｎｆ其中Ａ＝— Ｌ ，Ａ＋曰＝０ １，其图像
一
、
ｌ 一 口
，
都 是 指 数 函 数 型 曲线 ，所 以 我 们 可 以 运 用 指 数 函数 的 图像
和 性 质 ，求 解 有 关 等 比数 列 的 问题 ．
例 ３ 等 比 数 列 ｛％｝ 的各 项 都 是 正 数 ，Ｓ ＝８０， ＝
％ ＝—
，孔∈Ｎ ＿
函数 内容 主 要 包 括 函 数 的 概 念 、图像 和性 质 等 ．函数 思 想 是 最 重要 的 数 学 思 想 方 法 之 一 ，是 对 函数 内容 在 更 高 层 次 上 的抽 象 、概 括 与 提 炼 ，是 从 函数 各 部 分 内容 的 内在 联 系 和 整 体角 度 来 考 虑 问题 ，研 究 问题 和解 决 问题 ．数 列作 为 一 种 特 殊 的 函数 ，更 是 与 函数 思 想 密 不 可 分．从 以 上 论 述 中 不 难 发 现 ，在 数 列 问 题 中应 用 函数 思 想 ，要 善 于 运 用 联 系 和 发 展 的 观 点 分 析 问 题 ，要 善 于 借 助 于 函 数 的 图像 、性 质 、 研 究 方 法 等 灵 活 地 处 理 问 题 ，做 到 函数 思 想 与 数 列 问题 的 相 互 渗 透 ，从 而 有 助 于 学 生 对 所 学 知 识 的 融 会 贯 通 ，同 时 也 提 高 了他 们 分 析 问 题 和 解 决 问题 的能 力 ．
评 注 等 比数 列 的通 项 公 式 ％ ＝ａｌｑ一 ，对 等式 两边 同 时 取 以 ｍ 为 底 的 对 数 ，可 有 ｌｏｇ １ Ｉ＝ｌｏｇ ｌａ。ｌ＋ （ｎ一１）· ｌｏｇ棚 （ｍ ＞０且 ｍ ≠ １），ｌｏ 可 看 成 是 ｎ的一 次 函数 ，对 一 切 ｎ∈Ｎ，点 （ｎ，ｌｏｇ ｌａＪ）共 线 ．因此 我 们 也 可 运 用 一 次 函 数 思 想 求 解 有关 等 比数 列 的 通 项 公式 问题 ．
例 ２ 在等差数列中，已知 ：ｑ，Ｓ ：ｐ（Ｐ≠ｑ），求 的值． 解 因为 ．ｓ 可 看 成 是 常 数项 为 ０的 二 次 函 数 ，设 ＝ 帆 ＋ｂｎ（ａ≠ ０），贝０ ＝叩 ＋６ｐ＝ｑ（１），Ｓｑ＝ａｑ ＋ｂｑ＝ｐ（２）， 由 （１）一（２），得 Ⅱ（ｐ 一ｑ ）＋６（ｐ—ｑ）＝ｑ—Ｐ，即 ａ（ｐ＋ｑ）＋
之 对 应 ，因 此 ，数 列 可 以 看 成 以 正 整 数 集 或 它 的 有 限 子 集
为 定 义 域 的 函数 ％ ＝厂（ｎ），当 自变 量 按 照 从 小 到 大 的 顺 序
依次 取值 时所 对 应 的 一 列 函 数 值 ．由 于 数 列 是一 类特 殊 的
函 数 ，因 此 我 们 在 求 解 数 列 问 题 时 ，应 充 分 利 用 函 数 的有
数 学 学 习与 研 究 ２００９．１０
关 知 识 ，应 用 函 数 思 想 去 求 解 有 关 的 数 列 问题 ，从 而 更 有
效 地 求 解 数 列 问 题 ，因此 函 数 的 思 想 方 法 也 是 研 究 和 解 决
数 列 问题 的重 要 方 法 ．
一 、 函数 思 想在 等 差数 列 中的 应 用 等 差 数 列 是 一 类 常 见 的数 列 ，我 们 可 以运 用 一 次 函 数
式 Ｓ ＝ 。＋型
ｄ
，
则化简得 ＝车二 ｎ ＋（、 口－一手厶 ）ｎ，
其 中 ｄ≠ ０．则 等 差 数 列 前 ｎ项 和 Ｓ 可 以 看 成 是 关 于 ｎ的 常数 项 为 ０的 二次 函数 ，因此 我 们 可 用 二 次 函数 思 想 求 解 有关 等 差 数 列 的 前 项 和 的 问题 ．
唯一 的元 素 Ｙ和 它 对 应 ，这 样 的对 应 叫做 从 到 口 的一 个
函数 ，通 常 记 为 Ｙ＝ ）， ∈Ａ．
所谓 数 列 ，就 是按 一 定 次序 排 列 的一 列 数 ．其 一般 形 式
可 以 写成 ｏｌ，啦，哟，… ， ，… ，简 记 为 ｛ ｝．
在数 列 ｛ ｝中 ，对 于 每 一 个 正 整 数 ｎ，都 有 一 个 数 与
６５６０，且 在 前 ｎ项 中的 最 大值 为 ５４，求 项 数 ｎ．
解 由 已 知 条 件 可 以 知 道 Ｓｈ—Ｓ ＝６５６０—８０＝６４８０，
所 ＝
＝
： ｓ ．
因 为 Ｓ ＝堕 二咝 ＝８ｏ 故 吼＝ｑ—ｌ，Ｙ－Ｎ为 ｑ ＝８１＞ ， ｌ— ｑ
１，即 ｑ＞１，由 指 数 函 数 的性 质 可 知 最 大 ，即 ％ ＝ａｌｑ ｌ＿ ５４可 知 ８ｌａｌ＝５４ｑ．可 解 得 ∞＝２，ｑ＝３．所 以 ｎ＝４．
三 、函 数 思 想 在 可 转 化 为 等 差 、等 比 数 列 的 数 列 中 的 应 用
数 列 的 知 识 是 在 等 差 、等 比数 列 的 基 础 上 发 展 起 来 的 ，因 此 我们 在 碰 到某 类 在 形 式 上 非 等 差 、等 比的 数 列 时 ， 第 一 反 应 就 是 想 方 设 法 把 它们 转化 成 我 们 所 熟 悉 的 等 差 、 等 比数 列 问题 加 以解 决 ．构造 函数 是 函数 思 想 的重 要 体 现 ， 构 造 法 在 求 数 列 通 项 公 式 中是 一 种 比 较 常 见 的 方 法 ，通 常 我 们 需 要 将 已知 的 递 推 数 列 通 过 变 形 或 重 组 构 造 出新 的 等 差 数 列 、等 比数 列 或 其 他 能 够 求 出通 项 的 形 式 ，使 问 题 得 以解 决 ．
ｎ的一 次函数 ，那么对一切 ｎ∈Ｎ，点 ｆｎ，且 ｌ共线 ，所 以我
、
ｎ ／
们 可 以运 用一 次 函数 思 想 求 解 等 差 数列 前 ｎ项 和 的问 题 ．
例 １ 等差 数列 中的第 Ｐ项是 ｑ，第 ｑ项是 Ｐ，求 第Ｐ＋ｑ项．
解 因 为 等 差 数 列 的 通 项 可 看 成 是 关 于 ｎ的 一 次
抽象 其 数 学 特征 ，用 函 数 的形 式 把 这 种 数 量 关 系表 示 出来 。
并加 以研 究 ，运 用 函数 的性 质 使 问题 获得 解 决 的思 想 ．
一 般 地 ，设 Ａ，曰是 两 个 非 空 的数 集 ，如 果 按 照 某 种 对
应 法 则 对 于 集 合 Ａ 中 的 每 一 个 元 素 ，在 集 合 中都 有
想 求 解 等 差数 列 的通 项 公 式 ．
以 为 首 项 ，ｄ为 公 差 的 等 差 数 列 ｛ ｝的 前 ｎ项 和 的
公 式 ：ｎｎ。＋
二
ｄ， 则 有 ５ｎ ：ａｌ－４－
！Ｌ
Ｌ
ｄ 即 ，
：Ａｎ＋Ｂｆ其中Ａ＝ ，Ｂ＝Ⅱ。一 １，所以 可看成是
ｎ
、
二
，
Ｃ 、
函数 ，则 可 知点 （ｎ，％）共 线 ，所 以点 （Ｐ，ｑ），（ｑ，Ｐ），（ｐ ｑ， ＋ ）
共 线 ，则 有 卫二 ＝了 Ｌ ，化 简 得
ｑ —Ｐ ｐ ＋ ｑ Ｊ— ｑ
２．二 次 函数 思 想 的 应 用
＝０．
以 为 首 项 ，ｄ为公 差 的 等 差 数 列 ｛％｝的前 ｎ项 和 公
ｂ＝－１，故 ＋ｇ＝Ⅱ（ｐ ｇ） ＋ｂ（Ｐ＋ｑ）＝ ＋ｑ）［ａ（ｐ ｑ）＋６］： 一 （ｐ＋ｑ）．
二 、函数 思 想在 等 比数 列 中的 应 用 以 。 为 首 项 ，ｑ为 公 比 的 等 比数 列 ｔ％｝的通 项 公 式 为
％＝ａｌｑ ＝ｃｑｎｆ其中Ｃ＝ １，以及前几项和公式 ｜ｓｎ：
思 想 和二 次 函数 思 想 求 解 这 类 数列 问题 ．
１．一 次 函 数 思 想 的应 用
以 为 首 项 ，ｄ为 公 差 的 等差 数 列 ｔ ｝的通 项 公 式 ％＝
＋（ｎ—１）ｄ，则 通百度文库项 ‰ 可 以看 成 是 项 数 ｎ的 一 次 函数 ，对
一 切 ∈Ｎ，点 （ｎ，％）共 线 ，所 以 我 们 可 以 运 用 一 次 函数 思
例 ４ 已 知 数 列 ｛％ ｝ 中 ， ＝２， 当 ｎ ≥ ２ 时 ， ＝
求 －
，
解 将 等 式 两边 取 倒 数 ，得 ＝２＋ 一 ，ｎ≥ ２．令 ６ ＝
（
ｌ
１ 则 ｂ１＝ １ ；当 ｎ≥ ２时 ｂ ＝２＋６ ．则 数 列 ｛６ ｝是 以
，
，
ｚ
为 首 项 ，２为 公 差 的 等 差 数 列 ．即可 得 ｂ ＝２ｎ— Ｎ －，所 以