数学建模校获奖作品

西安邮电学院第七届
大学生数学建模竞赛
参赛作品
参赛队编号： B321
赛题类型代码： B
摘要：大学生科技竞赛活动已成为我国高校发展最快、潜力最大的一项学生活动，是高校校园文化和人才培养的重要手段和内容。

而对各项科技竞赛影响力的评估，有利于高校在经费及资源有限的情况下，采取有效措施，合理选择竞赛项目。

对问题1我们采用互联网采集相关数据，查阅相关统计资料，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充，从搜集到的56项科技竞赛中重点列出了其中20项科技竞赛的主管部门、主办单位、初次举办时间、竞赛规模、报名费用、设立奖项类别。

对于问题2,经过对多个模型分析，最终我们采用层次分析法（AHP），对模型进行了合理的证明和推导，得出各主要因素的权重指数，利用归一法求影响力综合指数，进而通过影响力综合指数与影响力的直接关系，对竞赛进行了排序。

对于问题3我们采用灰色系统因素分析法理论，对数据进行Matlab软件编程，得到各因素与影响力的关联度的定量关系，并根据关联度给校方提供合理建议，以得到有益决策。

如果在数据容易得到或已给定的条件下，模型可以进行适当修改，更符合实际。

关键字：科技竞赛影响力归一法层次分析法灰色系统理论因素分析法
一、问题重述
大学生科技竞赛等创新活动对于培养大学生的创新能力，加强校园文化建设都有非常重要的意义。

在此背景下，大学生科技竞赛已成为培养大学生创新能力的主要载体。

但是竞赛活动出现一些“锦标主义”、“功利色彩”等不良现象，致使目前竞赛项目繁多，潜在的影响到正常的教学秩序。

为此，陕西西岳科技大学想通过了解各项竞赛的影响力，对于培养学生创新能力的影响等因素，在经费及资源有限的情况下，你重点参加20项科技竞赛活动。

我们将解决以下几个问题：
1.调查各项竞赛主管部门、主办单位、初次举办时间、竞赛规模、报名费用、设
立奖项类别等信息。

2.根据你的调查结果对参加的竞赛进行定性、定量分析，并对此分类，根据影响
力对各项竞赛进行排序。

3.如果校方拟将竞赛控制在20项以内，建立数学模型，为校方提供有益的决策。

二、模型假设与符号说明
2.1 模型假设
1.假设题目所给的数据真实可靠；
2.认为各项竞赛的主管部门、主办单位对大学生的影响力作用基本相同；
3.假设报名费用包括竞赛需要的一切开销（包括网络、打印、查阅资料等的费用）；
4.假设报名费用，获奖比率都符合实际（因为有的竞赛其数据无法得到）；
5.假设奖项对影响力的影响集中表现在竞赛的获奖比率上。

2.2 符号说明
S：第i个竞赛的影响力综合评价值,影响力随值的增大而增大；
i
CR：一致性比例；
W：第i个竞赛第j个指标的标准值；
CI：一致性指标
ij
X：对应评价指标最大值；
max
X：对应评价指标最小值；
min
W(2)：各指标权重；
X：各评价指标原始值；
u：代表各竞赛；
i
ξ
(k)：关联系数；
i
λ：最大特征值。

max
2.3公式
○
1 CI=1
max --n n
λ
○
2 RI CI CR =
○3 ⎩⎨⎧≥=时当－－时＝当m i n
m i n m a x m i n m i n
X X ，)X )
/(X X (X ,0
X X W ij
○4 i S =ij
W * W(2) ○5 ξi
(k)=)
()(max max )()()
()(min min )()(0000k A k A k A k A k A k A k A k A i k
i
i i k
i
i -+--+-ρρ
○6 ∑==n
i i k n k 1
)(1)(ξξ 三、问题分析
3.1问题(1) 的分析
问题1是让我们搜集资料，为问题二研究打下基础。

鉴于问题特殊性，我们可以从网上搜集资料，查找56个竞赛的主管部门、主办单位、初次举办时间、竞赛规模、报名费用、设立奖项类别。

鉴于56个数据过多，并根据题目要求，从中选取20个竞赛作为重点研究对象。

3.2问题(2)的分析
此题的难点在于对数据的分析得出竞赛的影响力。

影响力又与多个变量因素有关，为了使分析结果更加合理准确，我们通过层次分析法（AHP 法）计算出不同评价数据相应的权重，再用归一法算出各指标标准值，通过各指标标准值值乘以权重求出影响力综合指数。

进而得出影响力模型，根据影响力大小对20各竞赛排序。

3.2问题(3)的分析
在第2问得到的影响力综合指数基础上，分析各因素对影响力综合指数的关联度，建立灰色系统理论因素分析法模型，获得各因素的评价结果，并因此给校方有益的建议。

四、模型建立与求解
4.1模型准备
归一化综合分析方法模型的原理：
归一化是一种简化计算的方式即将有量纲的表达式,经过变换,化为无量纲的表达式,成为纯量,从而定量计算出各因素对科技竞赛的影响。

层次分析法（Analytic Hierarchy Process 简称AHP ）：
层次分析法是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。

灰色系统理论因素分析法：
为了分析系统中的各个因素，哪些是主要因素，哪些是次要因素，就要对系统进行因素分析。

4.2问题（1）信息的收集
4.3问题（2）模型的建立与求解
1.影响大学科技竞赛影响力因素的确立
我们考虑到在竞赛规模足够大、费用合适、初次举办时间合适、奖项合理时，主管部门、主办单位可以忽略。

影响因素主要确定在初次举办时间、奖项类别、竞赛规模、报名费用。

2．利用层次分析法求权重：
先从20个竞赛中选出3个：全国大学生数学建模竞赛，“E 路通”大学生网络商务创新应用大赛，全国大学生英语竞赛。

4.2.1． 3种比赛的结构图：
4.2.2构造两两比较判断矩阵
假设数模为1u ，“E 路通”为2u ，英语竞赛为3u 。

两个元素相互比较时，以其中一个元素作为1(如i u )，如果相对上一层, i u ，j u 比较,好坏相同，则j u 记为1；j u 比 i u 较好, j u 记为3; j u 比i u 好, j u 记为5；j u 比i u 明显好，j u 记为7;如果j u 比i u 好的多，则j u 记为9; 2, 4, 6, 8则是介于1,3,5,7,9之间的情况。

把与上层某元素有关系的所有下层元素逐一比较，且每一个元素与各元素比较的结果排成一行则可得到一个方阵A=(a ij)n ×n ，称为两两比较矩阵。

设u 与j u 比为aij ，则j u 与i u 比应为a ji=1/a ij , 所以两两比较矩阵A 也称为正互反矩阵。

上图建立层次分析模型：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=142/14/117/12711A ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=1262/1176/17/112A
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1242/1154/15/113A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=17/15/171353/114A
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=11
2/15/1113
/12/12313/15231
B
4.2.3用特征向量法由判断矩阵计算元素对于上层支配元素的权重：
求A 属于特征值 的正特征向量（分量全大于0的特征向量，一定存在！） 并将其归一化，所得向量即为权重向量。

4.2.4一致性检验步骤：
（1）计算判断矩阵的一致性指标CI ： CI=
1
max --n n
λ
（2）根据矩阵的阶数由下表找平均随机一致性指数RI ：
RI CI CR =
若1.0<CR 时或max λ=n ，0=CI 时，认为P 具有满意的一致性，否则需调整P 中元素以使其具有满意的一致性。

一致性检验：
1A CI =0.002/2=0.001； 2A CI =0.04； 3A CI =0,047；
4
A CI =0.0325；
1A CR =0.0017；
2A CR =0.069； 3A CR =0.081； 4A CR =0.056； B CI =0.00775； B CR =0.00574；
一致性指标均小于0.1，一致性满意。

最大特征值和对应正特征向量分别为：
λ=3.002，X=(5.903867500, 0.8066923031, 3.086293726)T λ=3.080，X=(0.0846216595,0.4466019878,0.6734288503)T λ=3.094，X=(0.0913*******, 0.3366828382, 0.4961400716)T λ=3.065，X=(3.658853431, 8.514030366, 0.943422178)T
λ
=4.0155, X=(9.15749285,3.529892637,3.90998156,1.8409641)T
特征向量归一化得第三层3个元素对第二层4个元素的权重（排序）向量为： W1=(0.6028,0.08236,0.3151)T
，W2=(0.07023,0.3706,0.5589)T
W3=(0.09888,0.3643,0.5368)T ，W4=[0.2791,0.6494,0.07196)T 第二层4个元素对目标的权重向量为：
W(2)= (0.4966, 0.1914, 0.1904, 0.1216)T 所以有：
4．3利用归一法求解各竞赛的影响力指数
4．3.1根据资料整理计算出20项竞赛的详细资料 其中报名费用指数=报名费用平均值/报名费用 获奖比率=奖项总数/参加队伍总数 据今年限=今年—初次举办年 4.3.2用归一化处理计算： 计算公式⎩⎨
⎧≥=时
当－－时
＝当min min max min min X X ，)
X )/(X X (X ,0
X X W ij
4.3.3计算竞赛的综合影响力数值
竞赛的综合影响力值i S=ij W* W(2)= (0.4966, 0.1914, 0.1904, 0.1216)T
对问题2的总结：通过对问题1的数据的分析计算，最终得到了各竞赛的综合影响力，
从中我们可以看出在这20个竞赛中全国大学生数学建模竞赛，中国机器人大赛暨和RoboCup公开赛的综合影响力较高，应着重参加！
4.4对第3问的建模
根据第2问的构造方法，得到相关的初始化数据如下表：
符号说明：
k行数字所代表
综合影响力标准化值---------0 距今的年份---------1 竞赛规模------2 报名费用效应指数---------3 设立奖项---------4
根据数据整理得出表格
ξi (k)=
)
()(max max )()()
()(min min )()(0000k A k A k A k A k A k A k A k A i k
i
i i k
i
i -+--+-ρρ
（ρ为分辨系数)
式中的关联系数)(i k ξ若看成是分辨系数ρ的函数，则它是随ρ的增加而单调增加的，即ρ越大，关联系数)(i k ξ也越大。

但从公式⑤中可以看出，制约)(i k ξ大小的主要因素应是)()(A 0k A k i -，若ρ取大，)()(A 0k A k i -对)(i k ξ的作用就越小。

所以应用时应综合考虑以上两方面的情况来确定ρ的取值。

一般取ρ=0.5。

本模型的重要目标之一是得出最终的个因素对综合影响力关联程度的结果，所以有
必要将同一因素对影响力的关联系数集中为一个值，也就是求同一因素对影响力关联程度的平均值。

记平均关联度为：
∑==n
i i k n k 1
)(1)(ξξ 显然)(k ξ值越大，说明该因素对综合影响力的关联程度就越大。

根据计算公式ξi (k)=)()(max max )()()
()(min min )()(0000k A k A k A k A k A k A k A k A i k
i
i i k i
i -+--+-ρρ、∑==n
i i k n k 1
)(1)(ξξ和
数据，利用Matlab 软件设计程序，得到
ξi (0)=（ ξi (1)=（ ξi (2)=（ ξi (3)=（ ξi (4)=（
ξi (k)
i
ξi (1) ξi (2)
ξi (3
ξi (4)
1 0.593464 0.563815 0.682977 0.133705
2 0.666667 0.028169 0.000000 0.320197
3 0.843081 0.844852 0.81164
4 0.863184 4 0.35253
5 0.153614 0.679224 0.10509
6 5 0.644823 0.767781 0.79233
7 0.745061 6 0.701135 0.257056 0.465942 0.683691 7 0.732981 0.426952 0.666422 0.61635
8 8 0.525000 0.747788 0.756410 0.754310
9 0.659763 0.457547 0.447115 0.737443 10 0.692907 0.749471 0.763333 0.550633 11 0.610052 0.617997 0.271845 0.703557 12 0.341887 0.217937 0.694998 0.486757 13 0.723748 0.382671 0.717355 0.679174 14 0.502002 0.462403 0.014263 0.668267 15 0.350943 0.706485 0.717570 0.398601 16 0.448848 0.273390 0.703814 0.276904 17 0.711553 0.318266 0.410686 0.419025 18 0.466563 0.699913 0.635417 0.249453 19 0.057692 0.673333 0.140351 0.319444 20 0.624654 0.453629
0.738921
0.660401
i=1,2,3, (20)
根据计算公式∑==n
i i k n k 1)(1)(ξξ算出平均相关度
∑==n
i i n 1)1(1)1(ξξ=0.373
∑==n
i i n 1
)2(1)2(ξξ=0.836
∑==n
i i n 1)3(1)3(ξξ=0.427
∑==n
i i n 1
)4(1)4(ξξ=0.763
由关联度的平均值可知：
初始时间即竞赛举办的累计年限对竞赛影响0.373, 可看出关联程度较小； 竞赛规模对影响力的平均关联度为0.836， 可看出关联程度较大； 竞赛费用对影响力的平均关联度为0.427 可看出关联程度较小； 获奖比率对影响力的平均关联度为0.763 ， 可看出关联程度较大； 由以上结论给校方有如下建议：
第一：由于竞赛规模对竞赛影响力的关联度是0.836，校方重点参加全国范围内规模较大的竞赛。

但也要充分考虑竞赛的实质内容对学生创新能力的影响。

第二：获奖比率对竞赛影响力的关联度为0.763，理论上讲，校方选择可以考虑获奖比率较大的项目，但也不能仅仅要考虑单个因素，应多方面考虑，根据校方自身特点参加竞赛，避免参加“锦标主义”、“功利色彩”强的竞赛。

第三：对由于资源及经费的限制，并且根据竞赛费用与竞赛影响力的关联度，因为其关联度不是很强，因此建议学校可以参加竞赛费用适中，但影响力高的竞赛，避免经费的浪费。

第四：初始时间即累计年限对竞赛影响力的关联度为0.373，关联度较小，校方不应只选择历史较长的竞赛，对于一些具有实质性内容新兴的竞赛，也要充分考虑。

五、模型评价
5.1模型优缺点 5.1.1模型优点
(1)对于问题2，采用了层次分析法和归一法，因此对权重和影响力的求解过程中数据处理较为准确。

本模型在同类数据处理中具有通用性，可直接导入数据分析，简单易行。

(2)对参赛费用采用了均值法，该方法保留了各变量取之差异程度上信息，差异程度越大的变量对综合分析的影响也越大，均值法在保留原始变量变异程度时并不是仅取决于原始变量标准差而是原始变量的变异系数，这也就保证了保留变量变异程度信息的同时，数据的可比性问题。

(3)巧妙运用灰色理论系统的因素分析法，使得结果更加真实。

(4) 在数据的处理上，对问题（2）对参赛费用求均值得到最大承受限度值，经处理得到效应参数，得到的结果更符合实际情况；对问题（3），将各项竞赛综合影响力值作
为关联标准，得到每项因素对综合影响力的关联度，并求均值得到平均关联度，避免了偶然误差，使最终结果更加准确可信。

5.1.2模型缺点
（1）在数据的收集上，部分数据缺失，信息不全，导致在数据处理上存在偏差。

但是如有相关数据，也可按照模型中的方法计算。

（2）由于部分数据不全，在处理奖项类别上，我们只考虑获奖比率，忽略了奖金数量等的吸引力。

（3）在确定权重的过程中，因为使用的是层次分析法，依赖了主观判断，因此客观性较差。

（4）在考虑影响力时，省略了主管部门，主办单位因子的影响，导致结果具有一定的片面性。

5.2 模型改进
因我们学识浅薄，考虑不很全面，在模型改进时应数据收集更加全面具体，在模型中加入奖金的吸引力因素和对大学生创新力培养因素。

在确定权重时，尽量依据事实，减少主观因素。

参考文献
[1]冯杰，黄力伟著，数学建模原理与案例，2001；
[2]母丽华，周永芳著，数学建模，2011；
[3]韩中庚著，数学建模竞赛——获奖论文精选与点评，2007；
[4]百度知道> 教育/科学>层次分析法确定指标权重的计算方法；
[5]百度文库>数学建模；
[6]数模协会>数模中权重的确定（PPT）；
及网络百度。