不允许卖空下的无风险资产借贷的最优投资组合
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第 ２卷 第 ６ ５ 期
２ １ 年 １ 月 ０１ １
湖
南
工
业
大
学
学
报
Ｖ０ ．５ ＮＯ６ １ ． ２ ＮＯ ．２ １ Ｖ ０ １
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆＴ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｏ Ｈｕ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｙ
不 允许卖空下 的无风险资 产借贷 的最优投资组合
式 ；还 给出有效 前沿 的解 析表 达式 以及它 的几 何特
征 ；最后 给 出了一个 行之 有效 的例 子 ，对 本文 所给
均值 一绝对偏 差模 型 】 ，均值 一下半 方差模型 以 及 均值 一方差 一偏 度模 型 等 。近 年来 ，学 者们提
出 了均值 一方 差模 型 ，但该 模 型对资 产收 益率 的期 望 值 变化非 常 敏感 。基 于此 ，学 者们 又提 出 了新 的 方法 和模 型来解决最优投 资组合 问题 ，如 Ｔ Ｌ ｏ ． ｅ ｎ等 人 喁利 用模 糊决 策 的方 法处 理 了投资 组合 选择 模 型 的不可行性 ；Ｓ Ｓ ｎ ． ｅ ，Ｒ Ｋｏ 和 Ｕ Ｃ Ｋ ｋ【 等 ． ｍｔ ． ａ ｍａ “ 人 利 用 随机规 划 建立 了投 资 组合 的 随机控 制 模 型 ；
Ａｂｓｒ ｃ ：Ｐｏ ｔｏ ｉ ｅ ｅ ｔｏ ｎｔ ｅｃ ｓ ｆｎ ｈ ｒ ａｅ ｆａ ｓ ｔ ｎ ｓ － ｅ ｒｏ ｎ ｒｌｎ ｉ ｇｉ ｎ ｅ ｔｇ ｔｄ ｔａ ｔ ｒｆ ｌ ｓ ｌｃ ｎｉ ａ ｅｏ ｏｓ ｏ ｔ ｌｓｏ ｓｅｓａ ｄｒ ｋ ｆ ｅｂｏ ｒ ｗｉ ｇｏ ｄｎ ｉ ｖ ｓｉ ａｅ ． ｏ ｉ ｈ ｓ ｉ ｌ ｅ ｓ Ａ ｉ ｉ ａ ｏ ｅ ｓｅ ｔ ｂ ｉｈ ｄ ａ ｄｔ ｅｍ ａｈ ｍ ａ ｃｃ ａ ａ ｔｒｓｉｓｏ ｅｍ ｏ ｅ ｒ ｔ ｉ ｄ Ｔｈ ｆ ｃｅ ｔｐ ｒｆ ｌｏ ｔ ｅ ｍ ｎ ｍ ｘ ｍ ｄ ｌｉ ｓａ ｌｓ ｅ ｎ ｔｅ ｔ ｈ ｒ ｃｅｉｔｃ ｆｔ ｄ ｌ ｅｓｕｄｅ ． ｅｅ ｈ ｉ ｈ ａ ｉ ｉ ｎ ｏ ｔｏ ｉ ， ｈ ｅ ｃｅ ｔ ｒ ｎｉｒｏ ｅａ ａｙ ｉ ｘ ｒ ｓｉ ｎａ ｄ ｔｅｇ ｏ ｅｒｃｃ ａ ａ ｔｒｓ ｃ ｅｇ ｖ ｎ， ｄａｓ ｅ ｉ ｃｅ ａ ｐ ｅｉ ｒ ｓ ｎ ｅ ｉ ｆ ｉｎ ｏ ｔｅ ｆｔ ｎ ｌｔｃｅ ｐ ｅ ｓｏ ｅ ｍ ｔｉ ｈ ｒ ｃｅ ｔ ｓａ ｉ ｅ ａ ｐ ｃｆ ｘ ｍ ｌ ｐ ｅ ｅ ｔｄ． ｆ ｈ ｎ ｈ ｉｉ ｒ ｎ ｉ ｓ Ｋｅ ｗｏ ｄｓ：ｍ ｉｉ ａ ｕ ｅ ｐ ｍ ｉａ ｉｎ ｏ ｔｏ ｉ ；ｂ ｒｏ ｎ ｒｌｎ ｉｇ ｙ ｒ ｎ ｍ ｘ ｒ ｌ；ｏ ｔ ｚ ｔ ；ｐ ｒｆ ｌｏ ｏ ｒ ｗｉ ｇｏ ｄｎ ｉ ｏ ｅ
０ 引 言
１５ 年 ，Ｈａ ｙＭａ ｏ ｉ 发表 了一篇题为 “ ９２ ｒ ｒ ｗｔ ｒ ｋ ｚ 投资 组合选择 ”的论文…，并创立 了现代证 券投资组合理 论 。 自他 开创 性 的工作 后 ，投资 组合 理论 得到 了很 大发 展 ，许多 学者 将其 改进 、推 广 和完善 ，建 立 了
作者简介 ：陈
峰 （ ９ ６ ，男 ，江苏宿迁人 ，湘潭大学硕 士生 ，主要研究方 向为金融数学 ， １８ 一）
的方 法作进 一 步 阐述 。
１ 不允许 卖空下的无风 险资产借贷模型
考 虑一 个无 摩擦 的 资本市 场 ，假设 有 ｎ个 收益 率为 随机变 量 的风险 资产 与一个 无风 险资 产进行 借 贷。为表述方便 ，引进如下记号 ，其 中 ｉ ＝ ， …， 。 ， ｌ ２ ｎ ｊ
收 稿 日期 ：２ ， － ９ ０ ０ １０ － ５ １
陈 峰 ，成 央 金 ，吕婷 婷 ，李 光 荣
（ 湘潭 大学 数学与计算科学学院 ，湖南 卖空条件 下无风险 资产借 贷 的最优 证券投 资组合 问题 ，介 绍 了极 大极 小模 型 ，研 究 了该 模 型的数 学特 征 ，给 出 了有 效投 资组合 与有 效前 沿的解 析表 达式及 其表 达 式的几 何特征 ， 并给 出了
邓小 铁等人 ¨ 出了极大极 小模 型 ，但 该模 型没有 提 考 虑市 场 的摩擦 因素 及不 允 许卖 空 和借 贷 的 限制 。 本文基 于文献 ［３ 中的极 大极小 模型 ，在不允许卖空 １］
和允 许借 贷 的情 况 下 ，研 究该模 型 的数学 特征 ，给 出模 型 的求 解 方 法 以及 有 效 投 资 组 合 的解 析 表 达
Ｃ ｅ ｅ ｇ ｈ ｎ ａｇｉ，Ｌ ｉｇｉ ，Ｌ ｕ ｎ ｒｎ ｈｎＦ ｎ ，Ｃ ｅｇＹ ｎｊ ｎ ｎ ｎ ｔ ｇ ｉ ａ ｇｏ ｇ Ｔ ｎ Ｇ
（ ｏｌ ｅ ｆ ｔｅ ｔ ａ ａ ｄＣ ｍｐ ｔｔ ｎ ｃ ｎ ｅ ｉｎ ｔｎＵ ｉｅ ｓ ｙ Ｃ ｌ ｇ ｈ ｍａｉ ｌ ｎ ｏ ｕａ ｏ ａ Ｓ ｉ ｃ ，Ｘ ａ ｇａ ｎｖ ｒｉ ，Ｘｉ ｇａ ｕ ａ １ ５ ｈｎ ） ｅ ｏ Ｍａ ｃ ｉ ｌ ｅ ｔ ｎ ｎ ａ ｔ Ｈ ｎ ４ ０ ，Ｃ ｉａ ｎ １ １
具 体 算例 。
关 键词 ：极 大极 小方 法 ；最优 化 ；组合 证券 ；资产借 贷 中图分类号 ： ８０ Ｆ３ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ：１７ — ８３２ １）６ ０ ８— ５ ６３ ９ ３ （０ １ － ０ １０ ０
Ａｎ Ｏｐ ｉ ａ ｒｆ ｌｏｏ ｈ ｒ ａｅ ｆＡｓ ｅｓａ ｔｍ ｌ Ｐｏ ｔｏ ｉ ｆＮｏ Ｓ ｏ Ｓ ｌ ｓｏ ｓ ｔ ｎｄ ｔ Ｒｉｋ Ｆｒ ｅＢｏ ｒ ｗｉ ｇｏ ｎ ｉ ｇ ｓ — ｅ ｒｏ ｎ ｒＬｅ ｄ ｎ
２ １ 年 １ 月 ０１ １
湖
南
工
业
大
学
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报
Ｖ０ ．５ ＮＯ６ １ ． ２ ＮＯ ．２ １ Ｖ ０ １
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不 允许卖空下 的无风险资 产借贷 的最优投资组合
式 ；还 给出有效 前沿 的解 析表 达式 以及它 的几 何特
征 ；最后 给 出了一个 行之 有效 的例 子 ，对 本文 所给
均值 一绝对偏 差模 型 】 ，均值 一下半 方差模型 以 及 均值 一方差 一偏 度模 型 等 。近 年来 ，学 者们提
出 了均值 一方 差模 型 ，但该 模 型对资 产收 益率 的期 望 值 变化非 常 敏感 。基 于此 ，学 者们 又提 出 了新 的 方法 和模 型来解决最优投 资组合 问题 ，如 Ｔ Ｌ ｏ ． ｅ ｎ等 人 喁利 用模 糊决 策 的方 法处 理 了投资 组合 选择 模 型 的不可行性 ；Ｓ Ｓ ｎ ． ｅ ，Ｒ Ｋｏ 和 Ｕ Ｃ Ｋ ｋ【 等 ． ｍｔ ． ａ ｍａ “ 人 利 用 随机规 划 建立 了投 资 组合 的 随机控 制 模 型 ；
Ａｂｓｒ ｃ ：Ｐｏ ｔｏ ｉ ｅ ｅ ｔｏ ｎｔ ｅｃ ｓ ｆｎ ｈ ｒ ａｅ ｆａ ｓ ｔ ｎ ｓ － ｅ ｒｏ ｎ ｒｌｎ ｉ ｇｉ ｎ ｅ ｔｇ ｔｄ ｔａ ｔ ｒｆ ｌ ｓ ｌｃ ｎｉ ａ ｅｏ ｏｓ ｏ ｔ ｌｓｏ ｓｅｓａ ｄｒ ｋ ｆ ｅｂｏ ｒ ｗｉ ｇｏ ｄｎ ｉ ｖ ｓｉ ａｅ ． ｏ ｉ ｈ ｓ ｉ ｌ ｅ ｓ Ａ ｉ ｉ ａ ｏ ｅ ｓｅ ｔ ｂ ｉｈ ｄ ａ ｄｔ ｅｍ ａｈ ｍ ａ ｃｃ ａ ａ ｔｒｓｉｓｏ ｅｍ ｏ ｅ ｒ ｔ ｉ ｄ Ｔｈ ｆ ｃｅ ｔｐ ｒｆ ｌｏ ｔ ｅ ｍ ｎ ｍ ｘ ｍ ｄ ｌｉ ｓａ ｌｓ ｅ ｎ ｔｅ ｔ ｈ ｒ ｃｅｉｔｃ ｆｔ ｄ ｌ ｅｓｕｄｅ ． ｅｅ ｈ ｉ ｈ ａ ｉ ｉ ｎ ｏ ｔｏ ｉ ， ｈ ｅ ｃｅ ｔ ｒ ｎｉｒｏ ｅａ ａｙ ｉ ｘ ｒ ｓｉ ｎａ ｄ ｔｅｇ ｏ ｅｒｃｃ ａ ａ ｔｒｓ ｃ ｅｇ ｖ ｎ， ｄａｓ ｅ ｉ ｃｅ ａ ｐ ｅｉ ｒ ｓ ｎ ｅ ｉ ｆ ｉｎ ｏ ｔｅ ｆｔ ｎ ｌｔｃｅ ｐ ｅ ｓｏ ｅ ｍ ｔｉ ｈ ｒ ｃｅ ｔ ｓａ ｉ ｅ ａ ｐ ｃｆ ｘ ｍ ｌ ｐ ｅ ｅ ｔｄ． ｆ ｈ ｎ ｈ ｉｉ ｒ ｎ ｉ ｓ Ｋｅ ｗｏ ｄｓ：ｍ ｉｉ ａ ｕ ｅ ｐ ｍ ｉａ ｉｎ ｏ ｔｏ ｉ ；ｂ ｒｏ ｎ ｒｌｎ ｉｇ ｙ ｒ ｎ ｍ ｘ ｒ ｌ；ｏ ｔ ｚ ｔ ；ｐ ｒｆ ｌｏ ｏ ｒ ｗｉ ｇｏ ｄｎ ｉ ｏ ｅ
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作者简介 ：陈
峰 （ ９ ６ ，男 ，江苏宿迁人 ，湘潭大学硕 士生 ，主要研究方 向为金融数学 ， １８ 一）
的方 法作进 一 步 阐述 。
１ 不允许 卖空下的无风 险资产借贷模型
考 虑一 个无 摩擦 的 资本市 场 ，假设 有 ｎ个 收益 率为 随机变 量 的风险 资产 与一个 无风 险资 产进行 借 贷。为表述方便 ，引进如下记号 ，其 中 ｉ ＝ ， …， 。 ， ｌ ２ ｎ ｊ
收 稿 日期 ：２ ， － ９ ０ ０ １０ － ５ １
陈 峰 ，成 央 金 ，吕婷 婷 ，李 光 荣
（ 湘潭 大学 数学与计算科学学院 ，湖南 卖空条件 下无风险 资产借 贷 的最优 证券投 资组合 问题 ，介 绍 了极 大极 小模 型 ，研 究 了该 模 型的数 学特 征 ，给 出 了有 效投 资组合 与有 效前 沿的解 析表 达式及 其表 达 式的几 何特征 ， 并给 出了
邓小 铁等人 ¨ 出了极大极 小模 型 ，但 该模 型没有 提 考 虑市 场 的摩擦 因素 及不 允 许卖 空 和借 贷 的 限制 。 本文基 于文献 ［３ 中的极 大极小 模型 ，在不允许卖空 １］
和允 许借 贷 的情 况 下 ，研 究该模 型 的数学 特征 ，给 出模 型 的求 解 方 法 以及 有 效 投 资 组 合 的解 析 表 达
Ｃ ｅ ｅ ｇ ｈ ｎ ａｇｉ，Ｌ ｉｇｉ ，Ｌ ｕ ｎ ｒｎ ｈｎＦ ｎ ，Ｃ ｅｇＹ ｎｊ ｎ ｎ ｎ ｔ ｇ ｉ ａ ｇｏ ｇ Ｔ ｎ Ｇ
（ ｏｌ ｅ ｆ ｔｅ ｔ ａ ａ ｄＣ ｍｐ ｔｔ ｎ ｃ ｎ ｅ ｉｎ ｔｎＵ ｉｅ ｓ ｙ Ｃ ｌ ｇ ｈ ｍａｉ ｌ ｎ ｏ ｕａ ｏ ａ Ｓ ｉ ｃ ，Ｘ ａ ｇａ ｎｖ ｒｉ ，Ｘｉ ｇａ ｕ ａ １ ５ ｈｎ ） ｅ ｏ Ｍａ ｃ ｉ ｌ ｅ ｔ ｎ ｎ ａ ｔ Ｈ ｎ ４ ０ ，Ｃ ｉａ ｎ １ １
具 体 算例 。
关 键词 ：极 大极 小方 法 ；最优 化 ；组合 证券 ；资产借 贷 中图分类号 ： ８０ Ｆ３ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ：１７ — ８３２ １）６ ０ ８— ５ ６３ ９ ３ （０ １ － ０ １０ ０
Ａｎ Ｏｐ ｉ ａ ｒｆ ｌｏｏ ｈ ｒ ａｅ ｆＡｓ ｅｓａ ｔｍ ｌ Ｐｏ ｔｏ ｉ ｆＮｏ Ｓ ｏ Ｓ ｌ ｓｏ ｓ ｔ ｎｄ ｔ Ｒｉｋ Ｆｒ ｅＢｏ ｒ ｗｉ ｇｏ ｎ ｉ ｇ ｓ — ｅ ｒｏ ｎ ｒＬｅ ｄ ｎ