解析几何第一章习题及解答

第一章 向量代数

习题1.1

1. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立

()().a b c a b c ++=++

证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图），

则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=

()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=

故()().a b c a b c ++=++

2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=

证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，

则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于

0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量

,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。

A

B

C

a

b

c

A

B

C

D

a

b

c

a b +

b c +

3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。

证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F （如下图），并且记

,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是

111

(),(),(),222

CD c b AE a c BF b a =

-=-=- 所以，111

()()()0,222

CD AE BF c b a c b a ++=

-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。

4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ，记向量,AB a FA b ==，

则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在

,FB b a =+,FC b a λ=-+由于E 是BC 的中点，所以

1111

()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=

+=++-=+=+且 111

(1)()().222

FE AB AB AB AB DC λλ=

+=+=+ 故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

5. 试证命题1.1.2。

A B

a

b

c

E F

D C

证明：必要性，设,,a b c 共面，如果其中有两个是共线的，比如是,a b ，则,a b 线性相关，从而,,a b c 线性相关。现在设,,a b c 两两不共线，则向量c 可以在两个向量,a b 上的进行分解，即作以c 为对角线，邻边平行于,a b 的平行四边形，则存在实数,λμ使得

c a b λμ=+，因而,,a b c 线性相关。

充分性，设,,a b c 线性相关，则存在不全为零的数123,,k k k ，使得1230k a k b k c ++=。不妨设30k ≠，则向量c 可以表示为向量,a b 的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量c 平行于由向量,a b 决定的平面，故,,a b c 共面。

6. 设,,A B C 是不共线的三点，它们决定一平面∏，则点P 在∏上的充要条件是存在唯一的数组(,,)λμν使得

,

(*)1,

OP OA OB OC λμνλμν⎧=++⎪⎨++=⎪⎩

其中，O 是任意一点。P 在ABC ∆内的充要条件是(*)与0,0,0λμν≥≥≥同时成立。

证明：必要性，作如下示意图，连接AP 并延长交直线BC 于R 。

则由三点,,B R C 共线，存在唯一的数组12,k k 使得12OR k OB k OC =+，并且

121k k +=。由三点,,A P R 共线，存在唯一的数组12,l l 使得12OP l OA l OR =+，并且121

l l +=。

于

是

1212122OP l OA l OR l OA l k OB l k OC

=+=++，设

12122,,,l l k l k λμν===由12,k k ，12,l l 的唯一性知道(,,)λμν的唯一性，则

,OP OA OB OC λμν=++且121221l l k l k λμν++=++=。

充分性，由已知条件有(1)OP OA OB OC OA OB OC λμνλμλμ=++=++--

()()OA OC OB OC OC λμ=-+-+CA CB OC λμ=++,得到CP CA CB λμ=+，

因而向量,,CP CA CB 共面，即P 在,,A B C 决定的平面上。

如果P 在ABC ∆内，则P 在线段AR 内，R 在线段BC 内，于是12120,,,1k k l l ≤≤，则0,,1λμν≤≤。

如果（*）成立且0,,1λμν≤≤，则有CP CA CB λμ=+，这说明点P 在角ACB ∠内。同样可得到AP AB AC μν=+，这说明点P 在角BAC ∠内。故P 在ABC ∆内。

7. 在ABC ∆中，点,D E 分别在边BC 与CA 上，且11

,,33

BD BC CE CA AD =

=与BE 交于R ，试证

14

,.77

RD AD RE BE =

= 证明：作如下示意图，

由三点,,B R E 共线，存在k 使得(1)CR kCB k CE =+-，由三点,,A R D 共线，存

在

l

使得

(1)CR lCA l CD =+-，由于11

,,33

BD BC CE CA =

=有21

,,33

CD CB CE CA =

=因而1(1)3CR kCB k CA =+-2(1)3lCA l CB =+-。由于

向量,CA CB 不共线，所以21(1),(1)33k l l k =

-=-，解此方程组得41

,77

k l ==。由此得43

77

CR CB CE =

+， 4344

()7777

ER CR CE CB CE CE CB CE EB =-=

+-=-=。