数学物理方法作业习题第二篇第3章
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习 题
1. 求下列方程的通解：
(1)032=--yy xy xx u u u ； (2)032=-+yy xy xx u u u ； (3)23253=++--y x yy xy xx u u u u u ； (4)022
2
=+++-y x yy xy
xx yu xu u y xyu u x ；
(5)03222=--yy xy
xx u y xyu u x ；(6)y
x y x xy e u u u u +=+--2632；
(7)
22
2
)(y
u x
u x
x
∂∂=∂∂∂∂；提示：令),(1),(y x v x
y x u =
.
2. 求解下列初值问题： (1)|
|2)0,(,2)0,(x t
xx tt e x u x u u a u -=⎩⎨⎧== (2)2211)0,(,cos )0,(x
x u x x u u a u t
xx
tt +=⎩⎨
⎧== (3)⎪⎩⎪⎨⎧
==+=)
()0,(,)()0,()2(2x x u x x u u x u a u t x xx tt ψϕ 3. 求解下列定解问题： (1)x x u x x u u u t xx tt 4)0,(,)0,(6
2
=⎩⎨
⎧=+= (2)⎩
⎨⎧==+=x o x u x x u xt
u u t xx tt ),(,)0,(42 (3)⎩⎨⎧==+=0)0,(,sin )0,(sin x u x x u x
u u t xx tt (4)⎩⎨
⎧+==+=x
x x u x x u e u u t x xx tt cos )0,(,
sin )0,(
(5)⎩⎨⎧==+=0
)0,(,0)0,(sin 2x u x u x
u a u t xx tt ω (6)⎩⎨⎧==+=0)0,(,0)0,(sin 2x u x u t u a u t xx tt ω
4. 求解下列定解问题： (1)、⎩⎨
⎧==∞
<<∞-=+==1|,
sin |0
x y x x y x xy u x u x u u (2)⎩⎨⎧===++-==0|,
|02200y y y y x yy xx u x u u u u u
(3)⎩⎨⎧-=-==---==1|,|4
2200
y u y u u u u u x x x y x yy xx
(4)⎩⎨
⎧<===+++-==)
1(|,
0|0
2
533x e
u u xyu xu yu u x
x y y x y y
x xy
(5)⎪⎩⎪⎨⎧
==>=+-==,0|,
|)
0(02
100y y y x yy xx u x u x u u xu
(6)⎪⎩
⎪⎨⎧=-=>=-+==3|,1|)0(,
02112
y y y y yy xy u x u y u y u u y 5. 求解下列初值问题：
(1)⎩⎨⎧==++===20202|,|)(z u y u u u u a u t t t zz yy xx tt (2)⎩⎨⎧=+=++===0|,|)(03
02t t t zz yy xx tt u yz x u u u u a u (3)⎩⎨⎧==+++===2
02022|,|)(8z u y u t x u u u u t t t zz yy xx tt (4)⎩⎨⎧==++===y u x u u u u t t t yy xx tt 00|,|2 (5)⎩⎨⎧+=-=+===2
202
202|,
2|)
(2y
x u y x u u u u t t t yy xx tt
(6)⎪⎩⎪⎨⎧>=>==>>+====)0(,|0,0|,
|)0,0(,
643003
0t t u x u x u t x xt u u t t t t xx tt (7)⎪⎩
⎪⎨⎧-=--=+=>>+====1
|)(9|,
|)0,0(,29202
030t u u x u x x u t x u u x x t t t xx tt 6. 求解下列古尔沙问题：
(1)⎩⎨⎧>+===++--==|)|(,)1(|,1|0
22x y e x u u u u u u x
x y x y y x yy xx
(2)⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=><<-=++-+-==1|,13|)
0,2
1(,0221x
y x y y x yy xy xx u x u x x y x u u u u u
(3)⎪⎩
⎪
⎨⎧==-=++==24|,|18
54x u x u u u u x y x
y yy xy xx (4)⎩⎨
⎧====-=)
(|,
)(|x u x u u u x t x t xx
tt ψϕ
其中)(),(x x ψϕ为充分光滑的已知函数，且)0()0(ψϕ=. (5)⎩⎨⎧=+==+--+-==1|,
5|0434x t x
x t t x tt xt xx u e x u u u u u u。