372-关于力学量算符本征函数的正交归一性

关于力学量算符本征函数的正交归一性

一、余雷，力学量算符本征函数的正交归一性，贵州师范大学学报(自然科学版)，1998年第16卷第1期

量子力学中关于力学量的基本假设要求：

设某力学量用算符A

ˆ表示，则 n

n n a A ϕϕ=ˆ（分立谱） （1） a

a a A ϕϕ=ˆ（连续谱） （2）

1 力学量用线性厄米算符表示；

2 表示力学量算符的本征函数构成完全集，即任一波函数ψ可用力学量算符A

ˆ的本征函数n ϕ或a ϕ展开：

n

n n c ϕψ∑=

（3）

da a c a ⎰=ϕψ)( （4） 3 几率描述：

在（3）或（4）的ψ态中测力学量A 所得的值必在（1）的n a 或（2）的a 之内。若ψ、n ϕ、a ϕ均是归一化的，则在（1）中测得A 的值为n a 的几率为2

n c ；在（4）中测A 得的值在da a a +→内的几率为da a c 2)(

同一力学量算符的线性无关的本征函数的归一化系数一般不同。

例如，一维线性谐振子的能量算符的本征函数的归一化系数n N 与量子数n 有关；轨道角动量平方算符、轨道角动量第三个分量算符的共同本征函数的归一化系数与量子数 和m 有关；当然，也有例外，如一维无限深势阱能量算符的本征函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<+>=a x a x a n A a x x n n )(2sin 0)(πψ

其归一化系数a

A n 1=，所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 又如，轨道角动量第三个分量算符的本征函数ϕϕψim m m e A =)(的归一化系数为π

21=m A ，也是所有线性无关的本征函数的归一化系数相同；再有，动量分量算符的所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。

● 力学量算符线性无关的本征函数并不全部正交

力学量算符是厄米算符，厄米算符具有属于不同本征值的本征函数正交的重要性质，而对于同一本征值的多个线性无关的本征函数（有简并情况）并不一定正交。此时，对属于同一本征值的多个线性无关的本征函数，可以把它们线性叠加为个数相同的线性无关且相互正交的本征函数。正交化方法很多，常用的方法是选择一组力学量，这组力学量算符间两两对易，它们的本征值能对简并的本征函数分类，此时，正交性问题自动得到解决。

● 力学量算符本征函数的正交归一性是力学量几率描述假设的要求

几率描述假设要求力学量算符的本征函数正交

几率描述假设要求力学量算符的本征函数是归一化的